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4.1.1 定积分的背景――面积和路程问题

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定积分的背景――面积和路程问题
过程:
一、问题引入
师:1.求下图中阴影部分的面积:

师:对于哪些图形的面积,大家会求呢?(学生回忆,回答)
师:对于 , , , 围成的图形(曲边三角形)的面积如何来求呢?(一问激起千层浪,开门见山,让学生明确本节课的所要学习的内容,对于学生未知的东西,学生往往比较好奇,激发他们的求知欲)今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。
二、学生活动与意义建构
1、让学生自己探求,讨论(3―4分钟)
2、让学生说出自己的想法
希望学生说出以 的面积近似代替曲边三角形的面积,但误差很大,如何减小误差呢?希望学生讨论得出将曲边三角形进行分割,形成若干个曲边梯形。(在讨论的过程中渗透分割的思想)
师:如何计算每个曲边梯形的面积呢?(通过讨论希望学生能出以下三种方案,在讨论的过程中,让学生想到以直代曲,给学生创新的机会)


方案一 方案二 方案三

方案一:用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积,梯形分割的越多,三角形的面积越小,小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。
方案二:用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积,梯形分割的越多,三角形的面积越小,大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。
方案三:以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。
(对于其中的任意一个曲边梯形,我们可以用“直边”来代替“曲边”(即在很小的范围内以直代曲),这三种方案是本节课内容的核心,故多花点时间引导学生探求,讨论得出,让学生体会“以曲代直”的思想,从近似中认识精确,给学生探求的机会)
师:这样,我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值,从而可以计算出整个曲边三角形面积的近似值,(求和),并且分割越细,面积的近似值就越精确,当分割无限变细时,这个近似值就无限逼近所求的曲边三角形的面积。如何求这个曲边三角形的面积,以方案一为例:
⑴分割细化
将区间 等分成 个小区间 , ,…, ,…, ,每个区间的长度为 (学生回答),过各个区间端点作 轴的垂线,从而得到 个小曲边梯形,它们的面积分别记作 , ,…, ,…, 。
⑵以直代曲
对区间 上的小曲边梯形,以区间左端点 对应的函数值 为一边的长,以 为邻边的长的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。即
(当分割很细时,在 上任一点的函数值作为矩形的一边长都可以,常取左右端点或中点,这样为以后定积分的定义埋下了伏笔,为学生的解题提供了方法)
⑶作和
因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值,所以 个小矩形面积之和就是所求曲边三角形面积 的近似值:

(复习 符号的运用)


⑷逼近
当分割无限变细时,即 无限趋近于 ( 趋向于 )

当 趋向 时, 无限趋近于 , 无限趋近于 ,故上式的结果无限趋近于 , ,即所求曲边三角形面积是 。(在逼近的过程中,难点是求 在此应给学生一些时间探求自然数的平方和,
最好在讲数列知识时补充进去。新教材有很多知识点前后顺序编排的有所不妥,有好多知识应该先有伏笔,而不是要用到什么就补充什么,在研究解析几何中直线部分时,这个问题也有所体现)
3、分成两组,分别以方案二、方案三按上述四个步骤重新计算曲边三角形的面积,并将操作过程和计算结果与方案一进行比较。
(设计的目的是培养学生的合作交流的能力,优化解题方案)
师:请用流程图表示求曲边三角形面积的过程

4、反思
在求曲边梯形面积过程中,你认为最让你感到困难的是什么?(如何分割,求和逼近是两大难点)
(在新课程的课堂过程中,经常性地问学生一些这样的问题,可以让学生对自己的学习过程起到一个自查作用,查漏补缺,对培养学生学习数学的自查意识是一个很好的途径,也可以活跃课堂气氛)
三、数学应用
1、典型例题
师:在方案一中,和式 (*)表示曲边梯形的面积的近似值,这一和式不仅是有直观的几何意义,还有丰富的实际背景。
例1:火箭发射后 的速度为 (单位 ),假定 ,对函数 按(*)式所作的和具有怎样的意义?
解:将区间 等分成 个小区间,每个小区间的长度为 ,在每个小区间上取一点,依次为 ,虽然火箭的速度不是常数,但在一个小区间内其变化很小,可以用 来代替火箭在第一个小区间上的速度,这样,
火箭在第一个时段内运行的路程
同理 火箭在第二个时段内运行的路程
从而
火箭在 内运行的路程总和
这就是函数 在时间区间 上按(*)式所作的和的实际背景。
(由于学生初次遇到这类问题,语言表达比较困难,故教师在教学过程中最好采用对话式教学,边说边写,规范板书)
例2:如图,有两个点电荷 、 ,电量分别为 、 ,固定电荷 将电荷 从距 为 处移到距 为 处,求库仑力对电荷 所做的功。

先分析,再让学生尝试书写,然后投影解题过程。
(设计两道例题的目的,一是培养学生的文字表达能力,二是让学生体会数学在物理上的应用,也为后面的定积分的物理意义变力所做的功,变速运动的位移埋下伏笔)
学生练习:课本P46练习
四、回顾反思
知识点:⑴求曲边梯形面积的四个步骤;⑵数学知识在物理上的应用。
反思消化:⑴对今天学习的内容,你觉得有什么困难?
⑵在以前的学习过程中,有哪些地方用到了与今天类似的方法?
(希望学生能回忆起初中圆的周长、高中球的表面积以及线性回归方程等类似的内容)
五、布置作业:
1、探究:有没有不同于方案一、方案二、方案三的以直代曲的方案?
2、课课练P41 1. 2

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