课时4 向量的数乘
【学习目标】
要求学生掌握和理解实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的条件并会判断两向量共线的条件。
【知识梳理】
1．实数与向量的积：
定义：实数λ与向量 的积是一个向量，记作λ ，并规定：
1?
2?
3?．运算定律：结合律：
第一分配律：
第二分配律：
2．向量共线定理：
【例题选讲】
1．已知向量 、 求作向量-2.5 和2 -3 。
例2．计算：
（1）3（ - ）-2（ +2 ）
（2）2（2 +6 - ）-3（-3 +4 -2 ）
（3）(m+ n)( + )-(m+ n)( - )
例3．已知向量 =2 -2 ， =-3（ - ），求证： ， 是共线向量。
例4．已知 =4 +2 ， = +2 ，求证：M、P、Q三点共线。
【归纳反思】
1．在代数里，几个相等的实数相加，便得到几倍实数的概念，将它推广到几个相等的向量相加，就是正整数n与向量 的积，关于数乘向量的这种运算，若将n推广到实数 ，就得到实数 与向量 的积的概念。
2．数乘向量可以像实数多项式那样去运算。
3．实数 与向量 的积 是向量。
4．向量共线的等价条件是： （ ）共线 （ ）
【课内练习】
1．已知向量 、 是非零向量，在下列条件中，能使 、 共线的是
（1）2 -3 =4 且 +2 =-3 （2）存在相异实数 ，使 + =
（3）x +y = （其中实数x,y满足x+y=0）
（4）已知梯形ABCD中，其中
2．下列命题中，为真命题的是
（1） // 存在唯一的实数 ，使 =λ ；
（2） // 存在不全为零的实数 ，使 ；
（3） 与 不共线 若 ，则
（4） 与 不共线 不存在实数 使 。
3．如图， 中， ，则 为
A （2 + ） B （2 + ）
C （2 + ） D （2 + ）
4．如图，OADB是以向量 ， 为边的平行四边形，又BM= BC，CN= CD，试用 表示 。
5．如图，点E、F分别是四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设 ，试用 表示
【巩固提高】
1．已知点E是正方形ABCD的CD边的中点，若 ，则 为
A B C D
2．已知 三个顶点A、B、C及平面内一点P，若 则
A 点P在 内部 B 点P在 外部
C 点P在AB边所在直线上 D 点P在AC线段上
3．如图，点M是 的重心，则 为
A B 4 C 4 D 4
4． ABC中, ，则 为
A （ +2 ） B （2 + ） C （ +3 ） D （ +2 ）
5．已知 = -2 ， =2 + ，其中 与 不共线，则 + 与 =6 -2 的关系为
6．若M是 的重心，则下列各向量中与 共线的是
A B C D
7．已知向量 不共线，判断下列向量 是否共线？
（1） ， （2）
8．证明：起点相同的三个向量 , ,3 -2 的终点在一条直线上（ ）
9．若 ， ， ，且B、C、D三个点共线，求实数 的值。
10．如图，在 中， ，AD与BC交于M点，设 ， ，
试用 表示
【学习目标】
要求学生掌握和理解实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的条件并会判断两向量共线的条件。
【知识梳理】
1．实数与向量的积：
定义：实数λ与向量 的积是一个向量，记作λ ，并规定：
1?
2?
3?．运算定律：结合律：
第一分配律：
第二分配律：
2．向量共线定理：
【例题选讲】
1．已知向量 、 求作向量-2.5 和2 -3 。
例2．计算：
（1）3（ - ）-2（ +2 ）
（2）2（2 +6 - ）-3（-3 +4 -2 ）
（3）(m+ n)( + )-(m+ n)( - )
例3．已知向量 =2 -2 ， =-3（ - ），求证： ， 是共线向量。
例4．已知 =4 +2 ， = +2 ，求证：M、P、Q三点共线。
【归纳反思】
1．在代数里，几个相等的实数相加，便得到几倍实数的概念，将它推广到几个相等的向量相加，就是正整数n与向量 的积，关于数乘向量的这种运算，若将n推广到实数 ，就得到实数 与向量 的积的概念。
2．数乘向量可以像实数多项式那样去运算。
3．实数 与向量 的积 是向量。
4．向量共线的等价条件是： （ ）共线 （ ）
【课内练习】
1．已知向量 、 是非零向量，在下列条件中，能使 、 共线的是
（1）2 -3 =4 且 +2 =-3 （2）存在相异实数 ，使 + =
（3）x +y = （其中实数x,y满足x+y=0）
（4）已知梯形ABCD中，其中
2．下列命题中，为真命题的是
（1） // 存在唯一的实数 ，使 =λ ；
（2） // 存在不全为零的实数 ，使 ；
（3） 与 不共线 若 ，则
（4） 与 不共线 不存在实数 使 。
3．如图， 中， ，则 为
A （2 + ） B （2 + ）
C （2 + ） D （2 + ）
4．如图，OADB是以向量 ， 为边的平行四边形，又BM= BC，CN= CD，试用 表示 。
5．如图，点E、F分别是四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设 ，试用 表示
【巩固提高】
1．已知点E是正方形ABCD的CD边的中点，若 ，则 为
A B C D
2．已知 三个顶点A、B、C及平面内一点P，若 则
A 点P在 内部 B 点P在 外部
C 点P在AB边所在直线上 D 点P在AC线段上
3．如图，点M是 的重心，则 为
A B 4 C 4 D 4
4． ABC中, ，则 为
A （ +2 ） B （2 + ） C （ +3 ） D （ +2 ）
5．已知 = -2 ， =2 + ，其中 与 不共线，则 + 与 =6 -2 的关系为
6．若M是 的重心，则下列各向量中与 共线的是
A B C D
7．已知向量 不共线，判断下列向量 是否共线？
（1） ， （2）
8．证明：起点相同的三个向量 , ,3 -2 的终点在一条直线上（ ）
9．若 ， ， ，且B、C、D三个点共线，求实数 的值。
10．如图，在 中， ，AD与BC交于M点，设 ， ，
试用 表示
