共面向量定理学案练习题

§3.1.2 共面向量定理

一、知识要点
1.共面向量定义：
2.共面向量定理：如果两个向量 不共线，那么向量 与向量 共面的充要条件是存在有序实数组 ，使得 。
二、典型例题
例1.如图所示，已知矩形 和矩形 所在平面相交于 ，点 分别在对角线 上，且 ，求证： 。

例2.设空间任意一点 和不共线三点 ，若点 满足向量关系
(其中 )。试问： 四点是否共面？


思考：由 ，你能得到什么结论？

例3.已知四棱锥 的底面是平行四边形， 是 的中点，求证： 。

三、巩固练习
1.在四面体 中，点 分别为 的中点，问： 与 ， 是否共面？

2.已知空间向量 ，若存在实数组 和 满足 ， ，且 ，试证明向量 共面。

3.已知 是 所在平面外一点，连 ，点 分别是 ， 的重心，求证：⑴ 共面；⑵ 。


四、小结
五、课后作业
1. 不共线时， 与 的关系是 ；
A.共面B.不共面C.共线D.无法确定
2.已知正方体 的中心为 ，则在下列各结论中正确的共有 (写出序号)
① 与 是一对相反向量；② 与 是一对相反向量；
③ 与 是一对相反向量；
④ 与 是一对相反向量。
3.非零向量 不共线，若 与 共线，则 ；
4.在长方体 中，化简向量表达式 的结果是 ；
5.⑴对于空间任一点 和不共线的三点 ，且有 则“ ”是“ 四点共面”的 条件。
⑵已知 四点共面且对于空间任一点 ，都有 ，则 = ；
6.在 中，已知 是 边上的点，若 ，则 等于 ；
7. 是异面直线， 分别是 的中点，证明 。


8.在平行六面体 中， 是 的中点，求证： 。

9.在正方体 中， 是 的中点， 在 上且 ，求证： 四点共面。

10.如图，从 所在平面外一点 作向量
求证：⑴ 四点共面；⑵面 。


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