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共面向量定理学案练习题

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§3.1.2 共面向量定理

一、知识要点
1.共面向量定义:
2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,那么向量 与向量 共面的充要条件是存在有序实数组 ,使得 。
二、典型例题
例1.如图所示,已知矩形 和矩形 所在平面相交于 ,点 分别在对角线 上,且 ,求证: 。

例2.设空间任意一点 和不共线三点 ,若点 满足向量关系
(其中 )。试问: 四点是否共面?


思考:由 ,你能得到什么结论?

例3.已知四棱锥 的底面是平行四边形, 是 的中点,求证: 。

三、巩固练习
1.在四面体 中,点 分别为 的中点,问: 与 , 是否共面?

2.已知空间向量 ,若存在实数组 和 满足 , ,且 ,试证明向量 共面。

3.已知 是 所在平面外一点,连 ,点 分别是 , 的重心,求证:⑴ 共面;⑵ 。


四、小结
五、课后作业
1. 不共线时, 与 的关系是 ;
A.共面B.不共面C.共线D.无法确定
2.已知正方体 的中心为 ,则在下列各结论中正确的共有 (写出序号)
① 与 是一对相反向量;② 与 是一对相反向量;
③ 与 是一对相反向量;
④ 与 是一对相反向量。
3.非零向量 不共线,若 与 共线,则 ;
4.在长方体 中,化简向量表达式 的结果是 ;
5.⑴对于空间任一点 和不共线的三点 ,且有 则“ ”是“ 四点共面”的 条件。
⑵已知 四点共面且对于空间任一点 ,都有 ,则 = ;
6.在 中,已知 是 边上的点,若 ,则 等于 ;
7. 是异面直线, 分别是 的中点,证明 。


8.在平行六面体 中, 是 的中点,求证: 。

9.在正方体 中, 是 的中点, 在 上且 ,求证: 四点共面。

10.如图,从 所在平面外一点 作向量
求证:⑴ 四点共面;⑵面 。


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