反函数性质的应用

j.Co M
反函数性质的应用


只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数，反函数是由原函数派生出来的，它的定义域、对应法则、值域完全由原函数决定。因此利用这一关系可以将原函数的问题与反函数的问题相互转化，使问题容易解决。现在看一下反函数性质的应用。
⒈利用反函数的定义求函数的值域
例1：求函数y= 的值域。
分析：这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域，下面利用反函数法来求解。解：由y= 得y(2x+1)=x-1
∴(2y-1)x=-y-1
∴x=
∵x是自变量，是存在的，
∴2y-1 0，∴ y 。
故函数y= 的值域为：{y│y }。
点评：形如y= 的函数都可以用反函数法求它的值域。
⒉原函数与反函数定义域、值域互换的应用
例2：已知f(x)=4 -2 ，求f (0)。
分析：要求f (0)，只需求f(x)=0时自变量x的值。
解：令f(x)=0，得4 -2 =0，∴2 （2 -2）=0，
∴2 =2或2 =0（舍），
∴x=1。
故f (0)=1。
点评：反函数的函数值都可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值，反之也成立。
⒊原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的应用
例3：求函数y= （x (-1，+ )）的图像与其反函数图像的交点。
分析：可以先求反函数，再联立方程组求解；也可以利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称求解，这里用后一种方法求解。只要原函数与反函数不是同一函数，它们的交点就在直线y=x上。
解：由 得 或
∴原函数和反函数图像的交点为（0，0）和（1，1）。
点评：利用利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的性质，可以简化运算，提高准确率。但要注意原函数与反函数不能是同一函数，它们的交点才在直线y=x上。

⒋原函数与反函数的单调性相同的应用
例4：已知f(x)=2 +1的反函数为f (x)，求f (x)<0的解集。
分析：因为f(x)=2 +1在R上为增函数，所以f (x)在R上也为增函数。又因为原函数与反函数定义域、值域互换，所以f (x)中的x的范围就是f(x)的范围。
解：由f(x)=2 +1>1得f (x)中的x>1。
又∵f (x)<0且f(x)=2 +1在R上为增函数，
∴f ∴x故f (x)<0的解集为：{x│1点评：利用原函数与反函数的单调性相同的性质，可以避免求反函数这一复杂的运算，从而减少了失误。
⒌原函数与反函数的还原性即 x及 =x的应用
例5：函数f(x)= (a、b、c是常数)的反函数是 = ，求a、b、c的值。
分析：本题可以利用 =x，将反函数的条件转化为原函数的关系来应用，利用恒等找到关于a、b、c的方程组，即可求解。
解：∵ =
∴ = = = =x
∴(3a+b)x-a+2b=(c+3) +(2c-1)x
∴
∴
点评： 上述解法利用了原函数与反函数的还原性，避免了求反函数 ，若求反函数 ，步骤非常烦琐，容易出现计算失误。