1.3.1函数单调性的应用
一、内容与解析
(一）内容：函数单调性的应用
（二）解析：本节课要学的内容指的是会判定函数在某个区间上的单调性、会确定函数的单调区间、能证明函数的单调性,其关键是利用形式化的定义处理有关的单调性问题,理解它关键就是要学会转换式子 .学生已经掌握了函数单调性的定义、代数式的变换、函数的概念等知识,本节课的内容就是在此基础上的应用.的重点是应用定义证明函数在某个区间上的单调性,解决重点的关键是严格按过程进行证明。
二、目标及解析
(一)教学目标:
掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.
(二)解析:
会证明就是指会利用三步曲证明函数的单调性；会求函数的单调区间就是指会利用函数的图象写出单调增区间或减区间；应用知识解决问题就是指能利用函数单调性的意义去求参变量的取值情况或转化成熟悉的问题。
三、问题诊断分析
在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是如何才能准确确定 的符号,产生这一问题的原因是学生对代数式的恒等变换不熟练.要解决这一问题,就是要根据学生的实际情况进行知识补习，特别是因式分解、二次根式中的分母有理化的补习.
四、教学支持条件分析
在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().
五、教学过程
问题1.用三种语言描述函数单调性的意义
问题2.基本例题
例1如图是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.
解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.
点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.
图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
变式训练
课本P32练习1、3.
例2物理学中的玻意耳定律p= （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.
活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时，压强p将增大是指函数p= 是减函数；刻画体积V减少时，压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.
解：利用函数单调性的定义只要证明函数p= 在区间(0,+∞)上是减函数即可.
点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1变式训练
课本P32练习4.
1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.
解：①正比例函数：y=kx(k≠0)
当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.
②反比例函数：y= (k≠0)
当k>0时，函数y= 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y= 的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间.
③一次函数：y=kx+b(k≠0)
当k>0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.
④二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是(-∞, ］，单调递增区间是［ ,+∞)；
当a<0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是［ ,+∞)，单调递增区间是(-∞, ］.
点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.
2.已知函数y=kx+2在R上是增函数，求实数k的取值范围.
答案：k∈(0,+∞).
3.二次函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a的值.
答案：a=2.
问题3。能力型例题
例1（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；
（2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间 (-∞,1］上是增函数；
（3）当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.
图1-3-1-4
解：（1）函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.
(2)设x1、x2∈(-∞,1］，且x1f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.
（3）函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(-∞,1］.
点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内.
判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明.
判断函数单调性的三部曲：
第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；
第二步，结合图象来发现函数的单调区间；
第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.
函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.
例2.已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；
活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；解：（1）设x1、x2∈R，且x1F(x1)-F(x2)=［f(x1)-f(a-x1)］-［f(x2)-f(a-x2)］
=［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］.
又∵函数f(x)是R上的增函数，x1∴［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］<0.
∴F(x1)知能训练
课本P32练习2.
例3.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f (a+1)点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式.
拓展提升
例4．1. 画出函数y= 的图象，根据图象指出单调区间.
2. 试分析函数y=x+ 的单调性.
六、课堂小结
本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
一、内容与解析
(一）内容：函数单调性的应用
（二）解析：本节课要学的内容指的是会判定函数在某个区间上的单调性、会确定函数的单调区间、能证明函数的单调性,其关键是利用形式化的定义处理有关的单调性问题,理解它关键就是要学会转换式子 .学生已经掌握了函数单调性的定义、代数式的变换、函数的概念等知识,本节课的内容就是在此基础上的应用.的重点是应用定义证明函数在某个区间上的单调性,解决重点的关键是严格按过程进行证明。
二、目标及解析
(一)教学目标:
掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.
(二)解析:
会证明就是指会利用三步曲证明函数的单调性；会求函数的单调区间就是指会利用函数的图象写出单调增区间或减区间；应用知识解决问题就是指能利用函数单调性的意义去求参变量的取值情况或转化成熟悉的问题。
三、问题诊断分析
在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是如何才能准确确定 的符号,产生这一问题的原因是学生对代数式的恒等变换不熟练.要解决这一问题,就是要根据学生的实际情况进行知识补习，特别是因式分解、二次根式中的分母有理化的补习.
四、教学支持条件分析
在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().
五、教学过程
问题1.用三种语言描述函数单调性的意义
问题2.基本例题
例1如图是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.
解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.
点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.
图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
变式训练
课本P32练习1、3.
例2物理学中的玻意耳定律p= （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.
活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时，压强p将增大是指函数p= 是减函数；刻画体积V减少时，压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.
解：利用函数单调性的定义只要证明函数p= 在区间(0,+∞)上是减函数即可.
点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1
课本P32练习4.
1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.
解：①正比例函数：y=kx(k≠0)
当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.
②反比例函数：y= (k≠0)
当k>0时，函数y= 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y= 的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间.
③一次函数：y=kx+b(k≠0)
当k>0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.
④二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是(-∞, ］，单调递增区间是［ ,+∞)；
当a<0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是［ ,+∞)，单调递增区间是(-∞, ］.
点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.
2.已知函数y=kx+2在R上是增函数，求实数k的取值范围.
答案：k∈(0,+∞).
3.二次函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a的值.
答案：a=2.
问题3。能力型例题
例1（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；
（2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间 (-∞,1］上是增函数；
（3）当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.
图1-3-1-4
解：（1）函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.
(2)设x1、x2∈(-∞,1］，且x1
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1
（3）函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(-∞,1］.
点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内.
判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明.
判断函数单调性的三部曲：
第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；
第二步，结合图象来发现函数的单调区间；
第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.
函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.
例2.已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；
活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；解：（1）设x1、x2∈R，且x1
=［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］.
又∵函数f(x)是R上的增函数，x1
∴F(x1)
课本P32练习2.
例3.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f (a+1)
拓展提升
例4．1. 画出函数y= 的图象，根据图象指出单调区间.
2. 试分析函数y=x+ 的单调性.
六、课堂小结
本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
