2.2.3 待定系数法
一． 学习目标
1.掌握常用函数的解析式形式；
2.掌握待定系数法求解析式的一般步骤；
二．知识点
1. 待定系数法定义
一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式, 可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做_________.
2. 利用待定系数法解决问题的步骤：
○1确定所求问题含有待定系数解析式.
○2根据_______, 列出一组含有待定系数的方程.
○3解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
3. 用待定系数法求二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
○1 一般式： （a、b、c为常数，且 ）.
○2 顶点式： （a、b、c为常数, ）.
○3 交点式： （a、 、 为常数, ）.
要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的_______， 由于每一种形式中都含有___________，所以用待定系数法求二次函数解析式时，要具备三个独立条件.
三．例题
例1. 已知一个正比例函数的图象经过点（－3，4），求这个函数的解析表达式 .
变式：○1 已知一次函数图象经过点（－4，15），且与正比例函数图象交于点（６，－５），求此一次函数和正比例函数的解析式.
○2 若 是一次函数， ，求其解析式
例2．根据下列条件，求二次函数 的解析式.
○1图象过点（2，0）、（4，0）及点（0，3）；
○2图象顶点为（1，2），并且图象过点（0，4）；
○3图象过点（1，1）、（0，2）、（3，5）.
四．限时训练
1. 已知一次函数 是增函数， 则它的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限
2. 抛物线 ( ) 和 在同一坐标系中如下图，正确的示意图是（ ）
3. 已知二次函数 的图象顶点为（2，－1），与 轴交点坐标为（0，11），则（ ）
A. a=1, b=－4, c=－11 B. a=3, b=12, c=11
C. a=3, b=－6, c=11 D. a=3, b=－12, c=11
4. 已知 与 成正比例， 且当 时， . 则 与 的函数关系式______________.
5. 已知一次函数 有 ， 则 的解析式__________.
6. 若函数 ， 的图象关于直线 对称，则 为__________.
7. 已知抛物线经过点（1，3），顶点是（2，2），则其解析式为___________.
8. 抛物线与 轴交于A ，B , 并且在 轴上的截距为4，则其方程为_______________.
9. 二次函数满足 ， 且在 轴上的一个截距为－1，在 轴上的截距为3，则其方程为_______________.
10. 在函数 中，若 ，且 ，则该函数有最______值(填“大”或“小”)，且该值为___________.
11. 已知 是一次函数，且满足 ， 求 ．
12. 已知二次函数 对任意实数 满足关系式 ，且 有最小值 ．又知函数 的图象与 轴有两个交点，它们之间的距离为 ，求函数 的解析式．
一． 学习目标
1.掌握常用函数的解析式形式；
2.掌握待定系数法求解析式的一般步骤；
二．知识点
1. 待定系数法定义
一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式, 可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做_________.
2. 利用待定系数法解决问题的步骤：
○1确定所求问题含有待定系数解析式.
○2根据_______, 列出一组含有待定系数的方程.
○3解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
3. 用待定系数法求二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
○1 一般式： （a、b、c为常数，且 ）.
○2 顶点式： （a、b、c为常数, ）.
○3 交点式： （a、 、 为常数, ）.
要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的_______， 由于每一种形式中都含有___________，所以用待定系数法求二次函数解析式时，要具备三个独立条件.
三．例题
例1. 已知一个正比例函数的图象经过点（－3，4），求这个函数的解析表达式 .
变式：○1 已知一次函数图象经过点（－4，15），且与正比例函数图象交于点（６，－５），求此一次函数和正比例函数的解析式.
○2 若 是一次函数， ，求其解析式
例2．根据下列条件，求二次函数 的解析式.
○1图象过点（2，0）、（4，0）及点（0，3）；
○2图象顶点为（1，2），并且图象过点（0，4）；
○3图象过点（1，1）、（0，2）、（3，5）.
四．限时训练
1. 已知一次函数 是增函数， 则它的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限
2. 抛物线 ( ) 和 在同一坐标系中如下图，正确的示意图是（ ）
3. 已知二次函数 的图象顶点为（2，－1），与 轴交点坐标为（0，11），则（ ）
A. a=1, b=－4, c=－11 B. a=3, b=12, c=11
C. a=3, b=－6, c=11 D. a=3, b=－12, c=11
4. 已知 与 成正比例， 且当 时， . 则 与 的函数关系式______________.
5. 已知一次函数 有 ， 则 的解析式__________.
6. 若函数 ， 的图象关于直线 对称，则 为__________.
7. 已知抛物线经过点（1，3），顶点是（2，2），则其解析式为___________.
8. 抛物线与 轴交于A ，B , 并且在 轴上的截距为4，则其方程为_______________.
9. 二次函数满足 ， 且在 轴上的一个截距为－1，在 轴上的截距为3，则其方程为_______________.
10. 在函数 中，若 ，且 ，则该函数有最______值(填“大”或“小”)，且该值为___________.
11. 已知 是一次函数，且满足 ， 求 ．
12. 已知二次函数 对任意实数 满足关系式 ，且 有最小值 ．又知函数 的图象与 轴有两个交点，它们之间的距离为 ，求函数 的解析式．
