专题三：三角函数
【考点审视】
1、掌握三角函数概念，其中以三角函数的定义学习为重点。（理科：兼顾反三角）
2、提高三角函数的恒等变形的能力，关键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。
3、解决三角函数中的求值问题，关键是把握未知与已知之间的联系。
4、熟练运用三角函数的性质，需关注复合问题，在问题转化过程中，进一步重视三角恒等变形。
5、掌握 等的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。
6、解决与三角函数有关的（常见的）最值问题。
7、正确处理三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角角转化意识。
8、提高综合运用的能力，如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。
【疑难点拔】
一、概念不清
例1． 若 、 为第三象限角，且 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）以上都不对
错解 选（A）
分析：角的概念不清，误将象限角看成类似 区间角。如取 ，可知（A）不对。用排除法，可知应选（D）。
二、以偏概全
例2． 已知 ，求 的值及相应 的取值范围。
错解 当 是第一、四象限时， ，当 是第二、三象限时， 。
分析：把 限制为象限角时，只考虑 且 的情形，遗漏了界限角。应补充：当 时， ；当 时， ，或 。
三、忽略隐含条件
例3． 若 ，求 的取值范围。
错解 移项得 ，两边平方得
即
分析：忽略了满足不等式的 在第一象限，上述解法引进了 。
正解： 即 ，由 得
∴
四、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性
例4． 设 、 为锐角，且 + ，讨论函数 的最值。
错解
可见，当 时， ；当 时， 。
分析：由已知得 ，∴ ，则
∴当 ，即 时， ，最大值不存在。
五、忽视应用均值不等式的条件
例5． 求函数 的最小值。
错解
∴当 时，
分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。
正解：
当且仅当 ，即 ，时，
专题四：三角函数
【经典题例】
例1：点P从（1，0）出发，沿单位圆 逆时针方向运动 弧长到达Q点，则Q点的坐标为（ ）
（A） （B） （C） （D）
[思路分析] 记 ，由三角函数定义可知Q点的坐标 满足 ，故选（A）
[简要评述]三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的效果。
例2：求函数 的最小正周期、最大值和最小值.
[思路分析]
所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 .
[简要评述]三角恒等变形是历年高考考察的主要内容，变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外，求函数的周期、最值是考察的热点，变形化简是必经之路。
例3：已知 ，
的值.
[思路分析] ∵
∴得 又
于是
[简要评述] 此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。
例4：已知b、c是实数，函数f(x)= 对任意α、β R有：
且
（1）求f（1）的值；（2）证明：c ；（3）设 的最大值为10，求f（x）。
[思路分析]（1）令α= ，得 令β= ，得 因此 ；
（2）证明：由已知，当 时， 当 时， 通过数形结合的方法可得： 化简得c ；
（3）由上述可知，[-1，1]是 的减区间，那么 又 联立方程组可得 ,所以
[简要评述]三角复合问题是综合运用知识的一个方面，复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点，这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。
例5：关于正弦曲线回答下述问题：
（1）函数 的单调递增区间是 ；
（2）若函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 1 ；
（3）把函数 的图象向右平移 个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数解析式子是 ；
（4）若函数 的最大值是 ，最小值是 ，最小正周期是 ，图象经过点（0，- ），则函数的解析式子是 ；
[思路分析] 略
[简要评述]正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容，必须熟练掌握。上述问题的解答可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案。
例6：函数
（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对应的x值。
[思路分析] （1）{xx
(2)设t=sinx+cosx, 则y=t-1
[简要评述]若 关于 与 的表达式，求函数的最值常通过换元法，如令 ，使问题得到简化。
例7：在ΔABC中，已知 （1）求证：a、b、c成等差数列；（2）求角B的取值范围。
[思路分析]（1）条件等式降次化简得
（2）
∴……，得B的取值范围
[简要评述]三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换。
例8：水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角α应该是多少？
[思路分析] CD= , C= ,转化为考虑y= 的最小值，可得当 时，y最小，即C最小。
[简要评述]“学以致用”是学习的目的之一，三角知识的应用很广泛，在复习过程中应受到重视。
【热身冲刺】
一、选择题：
1．若 ，则满足 =0.5的角 的个数是（C）
（A）2 （B）3 （C） 4 （D）5
2．为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（B ）
（A）向右平移 个单位长度 （B）向右平移 个单位长度
（C）向左平移 个单位长度 （D）向左平移 个单位长度
3．已知函数 ，则下面三个命题中：（1） ；（2） ；（3） ；其中正确的命题共有（ B ）
（A） 0个 （B） 1个 （C）2个 （D）3个
4．若 是奇函数，且当 >0时， ，则当 时， 为( C )
（A） （B） （C） （D）
5．函数 是奇函数，则 等于（ D）
（A） （B） （C） （D）
6．如果圆 至少覆盖函数 的一个最大值点和一个最小值点，则 的取值范围是（ B ）
（A） （B） （C） （D）
7．若 ∈[ ]，则y＝
的最大值是（ C ）
（A） （B） （C） （D）
8．．函数 在区间[ 上的最小值为- ，则 的取值为（ C ）
（A）[ （B）[0， （C）[ （D）
9．若△ABC面积S= 则∠C=（ C）
（A） （B） （C） （D）
10．已知向量 则 与 的夹角为（ A ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：
11．若 是以5为周期的奇函数， =4,且cos ，则 = -4 .
12．函数 =lg(sin cos )的增区间是
13．用 表示不超过实数 的最大整数。
则 = -81 。
14．设 ，且 ，则 的取值范围是 ；
三、解答题：
15．（文）求函数 的定义域。
答案：
（理）二次函数f（x）的二次项系数是负数，对任何 ，都有 ）= ，设M= [arcsin(sin4)]，N= [arcos(cos4)]，讨论M和N的大小。
答案： M>N
16．在锐角三角形ABC中，
（Ⅰ）求证 ； （Ⅱ）设 =3，求 边上的高.
略解（Ⅰ）证明：
所以
（Ⅱ）解： ，
即 ，将 代入上式并整理后解得
，舍去负值，∴
设 边上的高为 .由AB=AD+DB= 得CD=2+ .
17．已知 ， ，其中 ，
(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的最大值、最小值。
答案： ；
18．在锐角ΔABC中，已知A略证：由已知得 ，……进一步可求出 ……，得 ，
∴
19．（1）已知 ，证明不存在实数 能使等式cos +msin =m(*)成立；
（2）试扩大 的取值范围，使对于实数 ，等式(*)能成立；
（3）在扩大后的 取值范围内，若取 ,求出使等式(*)成立的 值。
提示：（1）可化为 （2） （3）
20．设函数 = ? ，其中向量 =(2cos ，1)， =(cos ， sin2 )， ∈R.
(1)若 且 ∈[－ ， ]，求 ；
（2）若函数y=2sin2 的图象按向量 =(m，n)(m< )平移后得到函数y= 的图象，求实数m、n的值.
略解：（Ⅰ）依题设， =2cos2 + sin2 =1+2sin(2 + ).
由 ，得 ，∵ ∴ .
（Ⅱ）函数 =2sin2 的图象按向量 =(m，n)平移后得到函数 的图象，即函数y= 的图象.
由（Ⅰ）得 =2sin2( + )+1. ∵m< ，∴m= ，n=1.
【考点审视】
1、掌握三角函数概念，其中以三角函数的定义学习为重点。（理科：兼顾反三角）
2、提高三角函数的恒等变形的能力，关键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。
3、解决三角函数中的求值问题，关键是把握未知与已知之间的联系。
4、熟练运用三角函数的性质，需关注复合问题，在问题转化过程中，进一步重视三角恒等变形。
5、掌握 等的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。
6、解决与三角函数有关的（常见的）最值问题。
7、正确处理三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角角转化意识。
8、提高综合运用的能力，如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。
【疑难点拔】
一、概念不清
例1． 若 、 为第三象限角，且 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）以上都不对
错解 选（A）
分析：角的概念不清，误将象限角看成类似 区间角。如取 ，可知（A）不对。用排除法，可知应选（D）。
二、以偏概全
例2． 已知 ，求 的值及相应 的取值范围。
错解 当 是第一、四象限时， ，当 是第二、三象限时， 。
分析：把 限制为象限角时，只考虑 且 的情形，遗漏了界限角。应补充：当 时， ；当 时， ，或 。
三、忽略隐含条件
例3． 若 ，求 的取值范围。
错解 移项得 ，两边平方得
即
分析：忽略了满足不等式的 在第一象限，上述解法引进了 。
正解： 即 ，由 得
∴
四、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性
例4． 设 、 为锐角，且 + ，讨论函数 的最值。
错解
可见，当 时， ；当 时， 。
分析：由已知得 ，∴ ，则
∴当 ，即 时， ，最大值不存在。
五、忽视应用均值不等式的条件
例5． 求函数 的最小值。
错解
∴当 时，
分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。
正解：
当且仅当 ，即 ，时，
专题四：三角函数
【经典题例】
例1：点P从（1，0）出发，沿单位圆 逆时针方向运动 弧长到达Q点，则Q点的坐标为（ ）
（A） （B） （C） （D）
[思路分析] 记 ，由三角函数定义可知Q点的坐标 满足 ，故选（A）
[简要评述]三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的效果。
例2：求函数 的最小正周期、最大值和最小值.
[思路分析]
所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 .
[简要评述]三角恒等变形是历年高考考察的主要内容，变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外，求函数的周期、最值是考察的热点，变形化简是必经之路。
例3：已知 ，
的值.
[思路分析] ∵
∴得 又
于是
[简要评述] 此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。
例4：已知b、c是实数，函数f(x)= 对任意α、β R有：
且
（1）求f（1）的值；（2）证明：c ；（3）设 的最大值为10，求f（x）。
[思路分析]（1）令α= ，得 令β= ，得 因此 ；
（2）证明：由已知，当 时， 当 时， 通过数形结合的方法可得： 化简得c ；
（3）由上述可知，[-1，1]是 的减区间，那么 又 联立方程组可得 ,所以
[简要评述]三角复合问题是综合运用知识的一个方面，复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点，这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。
例5：关于正弦曲线回答下述问题：
（1）函数 的单调递增区间是 ；
（2）若函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 1 ；
（3）把函数 的图象向右平移 个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数解析式子是 ；
（4）若函数 的最大值是 ，最小值是 ，最小正周期是 ，图象经过点（0，- ），则函数的解析式子是 ；
[思路分析] 略
[简要评述]正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容，必须熟练掌握。上述问题的解答可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案。
例6：函数
（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对应的x值。
[思路分析] （1）{xx
(2)设t=sinx+cosx, 则y=t-1
[简要评述]若 关于 与 的表达式，求函数的最值常通过换元法，如令 ，使问题得到简化。
例7：在ΔABC中，已知 （1）求证：a、b、c成等差数列；（2）求角B的取值范围。
[思路分析]（1）条件等式降次化简得
（2）
∴……，得B的取值范围
[简要评述]三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换。
例8：水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角α应该是多少？
[思路分析] CD= , C= ,转化为考虑y= 的最小值，可得当 时，y最小，即C最小。
[简要评述]“学以致用”是学习的目的之一，三角知识的应用很广泛，在复习过程中应受到重视。
【热身冲刺】
一、选择题：
1．若 ，则满足 =0.5的角 的个数是（C）
（A）2 （B）3 （C） 4 （D）5
2．为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（B ）
（A）向右平移 个单位长度 （B）向右平移 个单位长度
（C）向左平移 个单位长度 （D）向左平移 个单位长度
3．已知函数 ，则下面三个命题中：（1） ；（2） ；（3） ；其中正确的命题共有（ B ）
（A） 0个 （B） 1个 （C）2个 （D）3个
4．若 是奇函数，且当 >0时， ，则当 时， 为( C )
（A） （B） （C） （D）
5．函数 是奇函数，则 等于（ D）
（A） （B） （C） （D）
6．如果圆 至少覆盖函数 的一个最大值点和一个最小值点，则 的取值范围是（ B ）
（A） （B） （C） （D）
7．若 ∈[ ]，则y＝
的最大值是（ C ）
（A） （B） （C） （D）
8．．函数 在区间[ 上的最小值为- ，则 的取值为（ C ）
（A）[ （B）[0， （C）[ （D）
9．若△ABC面积S= 则∠C=（ C）
（A） （B） （C） （D）
10．已知向量 则 与 的夹角为（ A ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：
11．若 是以5为周期的奇函数， =4,且cos ，则 = -4 .
12．函数 =lg(sin cos )的增区间是
13．用 表示不超过实数 的最大整数。
则 = -81 。
14．设 ，且 ，则 的取值范围是 ；
三、解答题：
15．（文）求函数 的定义域。
答案：
（理）二次函数f（x）的二次项系数是负数，对任何 ，都有 ）= ，设M= [arcsin(sin4)]，N= [arcos(cos4)]，讨论M和N的大小。
答案： M>N
16．在锐角三角形ABC中，
（Ⅰ）求证 ； （Ⅱ）设 =3，求 边上的高.
略解（Ⅰ）证明：
所以
（Ⅱ）解： ，
即 ，将 代入上式并整理后解得
，舍去负值，∴
设 边上的高为 .由AB=AD+DB= 得CD=2+ .
17．已知 ， ，其中 ，
(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的最大值、最小值。
答案： ；
18．在锐角ΔABC中，已知A
∴
19．（1）已知 ，证明不存在实数 能使等式cos +msin =m(*)成立；
（2）试扩大 的取值范围，使对于实数 ，等式(*)能成立；
（3）在扩大后的 取值范围内，若取 ,求出使等式(*)成立的 值。
提示：（1）可化为 （2） （3）
20．设函数 = ? ，其中向量 =(2cos ，1)， =(cos ， sin2 )， ∈R.
(1)若 且 ∈[－ ， ]，求 ；
（2）若函数y=2sin2 的图象按向量 =(m，n)(m< )平移后得到函数y= 的图象，求实数m、n的值.
略解：（Ⅰ）依题设， =2cos2 + sin2 =1+2sin(2 + ).
由 ，得 ，∵ ∴ .
（Ⅱ）函数 =2sin2 的图象按向量 =(m，n)平移后得到函数 的图象，即函数y= 的图象.
由（Ⅰ）得 =2sin2( + )+1. ∵m< ，∴m= ，n=1.
