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九年级数学竞赛从创新构造入手专题教案

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【例题求解】
【例1】 设 、 、 、 都为实数, ,满足 ,求证: .

思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形 已知等式等角度尝试.仔细观察已知等式特点, 、 可看作方程 的两根,则 ,通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律,解题思路新颖而深刻.

注:一般说来,构造法包含下述两层意思:利用抽象的普遍性,把实际问题转化为数学 模型;利用具 体问题的特殊性,给所解决的问题设计一个框架,强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表,而后一层意思的“框架”含义更为广泛,如方程、函数、图形、“抽屉”等.
【例2】 求代数式 的最小值.
思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值.
,于是问题转化为: 在 轴上求一点C(1,0),使它到两点A(一1,1)和B(2,3)的距离和(CA+CB)最小,利用对称性可求出C点坐标.这样,通过构造图形而使问题获解.

【例3】 已知 、 为整数,方程 的两根都大于 且小于0,求 和 的值.

思路点拨 利用求根公式,解不等式组求出 、 的范围,这是解本例的基本思路,解法繁难.由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系,构造函数,令 ,从讨论抛物线与 轴交点在 与0之间所满足的约束条件入手.

【例4】 如图,在矩形ABCD中,AD= ,AB= ,问:能否在Ab边上找一点E,使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到,这样的E点有几个?若不能找到,请说明理由.
思路点拨 假设在AB边上存在点E,使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD,又设AE= ,则 ,即 ,于是将问题转化为关于 的一元二次方程是否有实根,在一定条件下有几个实根的研究,通过构造方程解决问题.


【例5】 试证:世界上任何6个人,总有3人彼此认识或者彼此不认识.
思路点拨 构造图形解题,我们把“人”看作“点”,把2个人之间的关系看作染成颜色的线段.比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色;2个人彼此不认识,就把相应的线段染成蓝色,这样,有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形,否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形,这样本题就化作:
已知有6个点,任何3点不共线,每2点之间用线段连结起来,并染上红色或蓝色,并且一条边只能染成一种颜色.证明:不管怎么染色,总可以找出三边同色的三角形.

注:“数缺形时少直观,形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法,主要体现在:
(1)几何问题代数化;
(2)利用图形图表解代数问题;
(3)构造函数,借用函数图象探讨方程的解.
利用代数法解几何题,往往是以较少的量的字母表示相关的几何量,根据几何图形性质列出代数式或方程(组),再进行计算或证明.
特别地,证明几何存在性的问题可构造方程,利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证;应用为韦达定理,讨论几何图形位置的可能性.
有些问题可通过改变形式或换个说法,构造等价命题或辅助命题,使问题清晰且易于把握.
对于存在性问题,可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象,即所谓的存在性问题的“构造性证明”.
学历训练
1.若关于 的方程 的所有根都是比1小的正实数,则实数 的取值范围是 .
2.已知 、 、 、 是四个不同的有理数,且 , ,那么 的值是 .
3.代数式 的最小值为 .
4.A、B、C、 D、E、F六个 足球队单循环赛,已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场,则还未与B队比赛的球队是 .
5.若实数 、 满足 ,且 ,则 的取值范围是 .
6.设实数分别 、 分别满足 , ,并且 ,求 的值.
7.已知实数 、 、 满足 ,求证: .

8.写出10个不同的自然数,使得它们中的每个是这10个数和的一个约数,并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由.
9.求所有的实数 ,使得 .

10.若是不全为零且绝对值都小于106的整数.求证: .

11.已知关于 的方程 有四个不同的实根,求 的取值范围.
12.设 0,求证 .
13.从自然数l,2,3,…354中任取178个数,试证:其中必有两个数,它们的差为 177.
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