【例题求解】
【例1】 设 、 、 、 都为实数， ，满足 ，求证： ．
思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形 已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式特点， 、 可看作方程 的两根，则 ，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻．
注：一般说来，构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学 模型；利用具 体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等．
【例2】 求代数式 的最小值．
思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．
，于是问题转化为： 在 轴上求一点C(1，0)，使它到两点A(一1，1)和B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，利用对称性可求出C点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．
【例3】 已知 、 为整数，方程 的两根都大于 且小于0，求 和 的值．
思路点拨 利用求根公式，解不等式组求出 、 的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令 ，从讨论抛物线与 轴交点在 与0之间所满足的约束条件入手．
【例4】 如图，在矩形ABCD中，AD= ，AB= ，问：能否在Ab边上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的E点有几个?若不能找到，请说明理由．
思路点拨 假设在AB边上存在点E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又设AE= ，则 ，即 ，于是将问题转化为关于 的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．
【例5】 试证：世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．
思路点拨 构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形，否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：
已知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．
注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在：
(1)几何问题代数化；
(2)利用图形图表解代数问题；
(3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解．
利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明．
特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性．
有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握．
对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明”．
学历训练
1．若关于 的方程 的所有根都是比1小的正实数，则实数 的取值范围是 ．
2．已知 、 、 、 是四个不同的有理数，且 ， ，那么 的值是 ．
3．代数式 的最小值为 ．
4．A、B、C、 D、E、F六个 足球队单循环赛，已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场，则还未与B队比赛的球队是 ．
5．若实数 、 满足 ，且 ，则 的取值范围是 ．
6．设实数分别 、 分别满足 ， ，并且 ，求 的值．
7．已知实数 、 、 满足 ，求证： ．
8．写出10个不同的自然数，使得它们中的每个是这10个数和的一个约数，并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由．
9．求所有的实数 ，使得 ．
10．若是不全为零且绝对值都小于106的整数．求证： ．
11．已知关于 的方程 有四个不同的实根，求 的取值范围．
12．设 0，求证 ．
13．从自然数l，2，3，…354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差为 177．
【例1】 设 、 、 、 都为实数， ，满足 ，求证： ．
思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形 已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式特点， 、 可看作方程 的两根，则 ，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻．
注：一般说来，构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学 模型；利用具 体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等．
【例2】 求代数式 的最小值．
思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．
，于是问题转化为： 在 轴上求一点C(1，0)，使它到两点A(一1，1)和B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，利用对称性可求出C点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．
【例3】 已知 、 为整数，方程 的两根都大于 且小于0，求 和 的值．
思路点拨 利用求根公式，解不等式组求出 、 的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令 ，从讨论抛物线与 轴交点在 与0之间所满足的约束条件入手．
【例4】 如图，在矩形ABCD中，AD= ，AB= ，问：能否在Ab边上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的E点有几个?若不能找到，请说明理由．
思路点拨 假设在AB边上存在点E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又设AE= ，则 ，即 ，于是将问题转化为关于 的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．
【例5】 试证：世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．
思路点拨 构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形，否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：
已知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．
注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在：
(1)几何问题代数化；
(2)利用图形图表解代数问题；
(3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解．
利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明．
特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性．
有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握．
对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明”．
学历训练
1．若关于 的方程 的所有根都是比1小的正实数，则实数 的取值范围是 ．
2．已知 、 、 、 是四个不同的有理数，且 ， ，那么 的值是 ．
3．代数式 的最小值为 ．
4．A、B、C、 D、E、F六个 足球队单循环赛，已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场，则还未与B队比赛的球队是 ．
5．若实数 、 满足 ，且 ，则 的取值范围是 ．
6．设实数分别 、 分别满足 ， ，并且 ，求 的值．
7．已知实数 、 、 满足 ，求证： ．
8．写出10个不同的自然数，使得它们中的每个是这10个数和的一个约数，并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由．
9．求所有的实数 ，使得 ．
10．若是不全为零且绝对值都小于106的整数．求证： ．
11．已知关于 的方程 有四个不同的实根，求 的取值范围．
12．设 0，求证 ．
13．从自然数l，2，3，…354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差为 177．
