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锐角三角函数值的求法

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一、知识概述
(一)锐角的三角函数的意义
1、正切的概念
在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与邻边的比,叫做∠A的正切,记作tanA.


2、正弦和余弦的概念
  如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即

  锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
3、三角函数的概念:在直角三角形中,锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA),都叫做∠A的三角函数.
(二)同角的三角函数之间的关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1
(2)商数关系:
(三)互余的两角的关系
  任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值,任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1.即若A+B=90°,则sinA=cosB,cosA=sinB,tanA?tanB=1.
(四)特殊锐角的三角函数值
 0°30°45°60°90°
sinA0 1
cosA1 0
tanA0 1 ―
(五)锐角三角函数值的求法
1、用计算器求三角函数值
  求整数度数的锐角三角函数值.
  在计算器的面板上涉及三角函数的键有 和 键,当我们计算整数度数的某三角函数值时,可先按这三个键之一,然后再从高位向低位按出表示度数的整数,然后按 ,则屏幕上就会显示出结果.
例如:计算sin44°.
解:
  按键 ,再依次按键 .
  则屏幕上显示结果为0.69465837.
  求非整数度数的锐角三角函数值.
  若度数的单位是用度、分、秒表示的,在用计算器计算三角函数值时,同样先按 和 三个键之一,然后再依次按度 分 秒 键,然后按 键,则屏幕上就会显示出结果.
2、已知三角函数值,用计算器求角度
  已知三角函数值求角度,要用到 、 键的第二功能“sin-1,cos-1,tan-1”和 键.具体操作步骤是:先按 键,再按 键之一,再依次按三角函数值,最后按 键,则屏幕上就会显示出结果.
  值得注意的是型号不同的计算器的用法可能不同.
二、重点难点疑点突破
1、(1)sinA和cosA都是一个整体符号,不能看成sin?A或cos?A.
(2) 是一个比值,没有单位,只与角的大小有关,而与三角形的大小无关.
(3)sinA+sinB≠sin(A+B)sinA?sinB≠sin(AB)
(4)sin2A表示(sinA)2,cos2A=(cosA)2
(5)0<sinA<1,0<cosA<1
2、同名三角函数值的变化规律
  当角α在0°~90°间变化时,它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大;余弦三角函数值随着角度的增大而减少.
三、解题方法技巧点拨
1、求锐角三角函数的值
例1、(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,若 ,求cosB,tanB的值.
分析:本题主要考查锐角三角函数的定义,结合图形求解可化繁为简,迅速得解.
解:如图,设BC=3m,则AB=5m,

  
(2)如图所示,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,且CD⊥AB,BC=6,AC=8,则sin∠ABD的值是( )

  
分析:
  因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90°.因为BC=6,AC=8,所以AB=10.因为∠ABD=∠ACD=∠ABC,所以在Rt△ACB中, 故正确答案为D.
答案:D

分析:
  (1)要求sinα与cosα的关系的值,而已知tanα的值,故可通过 来求值.
  (2)已知tanα的值,也可通过 ,把要求的式子的分子,分母同时除以cos2α转化成关于tanα的关系,这样便可求出结论.

点评:在进行三角函数有关计算时,常利用有关公式进行变换.
2、化简计算
例3、计算

分析:
  这是一组有关特殊角三角函数值的计算题,计算中最关键是将它们先化成具体的数值,同时还要应用其它一些知识帮助求值,如(1)注意分母有理化,(2)应掌握整数指数幂的意义.
解:
  
  
点评:
  学过锐角三角函数后,特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容,做这类题主要分两步:(一)代入;(二)计算.因此,特殊角的三角函数值必须牢记.
3、三角函数的增减性
例4、若α为锐角且sinα>sinβ,那么( )
A.tanα>tanβ       B.tanα<tanβ
C.tanα=tanβ        D.tanα、tanβ大小关系不确定

4、已知三角函数值求角
对于非特殊角可用计算器求角,若是特殊角的三角函数值则可以直接得角度.
例如:已知cosα=0.5237,求锐角α.
解:
  按键 ,再依次按键 .
  则屏幕上显示结果为58.41923095.
例5、求适合下列各式的锐角α.
  
点拨:所有锐角三角函数值都是正数,而且正弦和余弦值都不大于1,不符合条件的三角函数值应舍去.
5、求线段长与面积
例6、如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=4,求BC的长.

分析:
  题中有30°,45°特殊角,想把它们放到直角三角形中,利用三角函数来解题.

点评:
  (1)在作高线构造直角三角形时,一般不过特殊角的顶点作垂线,这样便于利用特殊角解题.
  (2)有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合,从而利用三角函数的定义求解.
例7、如图所示.在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠D=∠B=90°,求此四边形ABCD的面积.

分析:
  由已知∠B=90°,∠A=60°这两个条件想到延长BC,AD,使它们相交,构成直角三角形.

例8、在矩形ABCD中DE⊥AC于E,设∠ADE=α,且 ,AB=4,求AD.

分析:
  在矩形中AB=DC=4,可证∠α=∠1,于是条件转移到△DCE中来了,求出DE.
解:
  在矩形中AB=DC=4,
  ∠2+∠α=90°
  又DE⊥AC,
  ∠1+∠2=90°
  ∴∠1=∠α
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