33.4几 何 概 率
教学目标
知识与技能：理解几何概率的意义，会求简单事件的几何概率，会应用几何概率解决有关实际问题．
数学思考：经历猜想、探索等数学活动过程，积累数学活动经验，发展合情推理能力．
解决问题：能从数学的角度理解问题，能用几何概率等知识解决问题，发展应用意识．
情感态度与价值观：通过解决现实生活的问题，培养学生乐于应用数学的态度，有助于形成勤于探索的精神．
重点、难点
重点：理解几何概率的意义，能借助几何图形的度量求简单事件的概率．
难点：将实际问题转化为数学问题，建立几何概率模型．
透彻理解几何概率的意义．
教学过程设计
一、情境引入
借助多媒体演示转盘游戏．提出问题“转动圆盘，停下时，指针停留的位置有多少种？指向哪种颜色区域的可能性大？这个问题的概率和以往研究的概率类型一样吗？它有什么特点？”
通过此情境的创设使学生感受到几何概型的特点，及学习它的必要性．激发学生要学习几何概率的欲望．
二、猜想探究、形成概念
引例1：如图，转动圆盘，等停下时指针指向红色区域的概率是多大？
引例2：在数轴上0到60之间任取一点，那么该点落在40到60之间的概率是多大？
借助多媒体动画演示，进一步让学生感受几何概型的特点（事件的等可能结果不可数），对事件的概率得出猜想，并借助教具实验估算概率．
通过对以上两个引例共同特点的讨论，形成几何概率的概念．
几何概率：当实验的结果用线段或平面区域表示，事件的概率定义为部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比．这些概率与几何度量有关，数学上称为几何概率．
三、应用建模
例题1、 某人午睡醒后，发现手表停了，于是打开收音机等侯整点报时，那么等待时间不超过20分的概率是多大？
提问1、这是几何概率问题吗？（是）
2、该用怎样的图形表示 ？（用长为60的线段或一个圆来表示）
解：设A=“等待时间不超过20分钟”，
则P（A）= = = ．
或P（A）= = 或P（A）= = ．
例题2 我市海阳路与河北大街交叉路口，目前由东向西红绿灯时间设置是：红灯32秒，绿灯35秒，黄灯3秒．张明同学匀速骑车由东向西通过路口，可以直接通过的概率是多大？
分析：这是几何概率问题．可以把它转换到数轴上研究．用长为32的线段表示红灯的时间，用长为35的线段表示绿灯时间，用长为3的线段表示黄灯时间，在70秒中的任意一时刻该同学都可能经过路口，在绿灯时间内事件发生．
解：设A=“直接通过”，
则P（A）= = ．
四、巩固拓展，启迪思维
走进知识平台
1、某公共汽车站每隔10分钟有一辆车发往A地，李磊不定时地到车站等车去A地，求他等车时间不超过4分钟的概率．
分析：如图，用长为10的线段AB表示两车的间隔时间．
解：设A=“等待时间不超过4分钟”,
则P（A）= = = .
2、在一个5000?2的海域里有面积达40?2的大陆架蕴藏着石油，在这个海域里随意选定一点钻探，钻出石油的概率是多大？
解：设A=“钻出石油”，
则P（A）= = ．
此题组选名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后师生共同评析反馈．
跨上知识阶梯
1、将长度为9?的细铁丝任意剪成两段，A表示“较长的一段大于或等于较短一段的2倍”求事件A的概率．
分析：可以把9?长的铁丝看作是长为9的线段CD，由于剪法的任意性，分点落在CD上任意一位置均可．当点落在CE或FD上时,事件A发生．
解：P（A）= = = ．
2、抛阶砖游戏；参与者将手上的“金币”抛落在离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的硬币刚巧落在任何一个阶砖的范围内（不压阶砖相连的线）获胜．当正方形阶砖的边长为5cm，金币直径为2.5 cm时，请你计算“金币”落在阶砖范围内的概率．（提示：圆心落在正中间边长为2.5cm的正方形内，游戏获胜）
解：设A=“金币落在阶砖内”，
则P（A）= = ．
先分组讨论，然后全班交流，形成解决问题的方法．对于“抛阶砖”游戏，
教师借助多媒体动画演示，加深学生对这个问题的理解．
五、课堂反思
引导学生从知识获得途径、结论、应用等方面与反思本节课内容．（①、这节课你有哪些收获？②、你最感兴趣的地方是什么？③、你还有哪些想研究的问题？）
六、作业设计
基础巩固1、如图是一个被等分成16个扇形的转盘，请在转盘选出若干个扇形涂上斜线，使得自由转动这个转盘当它停止转动时，指针落在阴影区域内的概率为 ．
2、把一个骰子沿棱剪成如图所示的形状，把其中若干正方形涂成红色，使得投针时投中红色纸板的概率为 ．
这两道问题类型一样，学生根据兴趣选做一道即可．
这两道题是类型一样的较为简单的开放型问题，但在思维上具有可逆性，通过此题想加深学生对几何概率的意义的理解．
研讨升华
用概率知识估算一个不规则图形的面积．
（提示1：在不规则的图形中画一个规则图形．提示2：设计一个实验来估算几何概率．）
这是借助实验估算和理论计算来解决的一道应用题，通过此题让学生到几何概率知识在解决现实问题中的作用．同时，利用这样一个纯数学问题有利于在班级内形成一个研讨的氛围．另外，学生可以根据自身的情况向老师索要不同的提示．这样把题目分出梯度，使不同的学生得到各自的收获，获得各自的发展．
系统综合
阶段性作业：通过对概率知识的学习请你观察生活中的某一种活动，利用概率知识揭示其中的规律，并撰写一份研究，在全班进行交流．
根据学生的个体差异，布置了这样一道开放性题目，目的是通过这样的作业使学生对所学概率知识进行系统的整理，进一步加深对知识的理解，增强自主学习的意识，提高学生广泛搜集信息的能力．
教学设计说明：
本节课通过转盘的引入，使学生发现几何概率事件的等可能结果不可数的特点，激发学生学习几何概率的欲望．在引导学生对两个引例进行猜想、实验、探索归纳等数学活动中，进一步几何概率的特征，引出课题，形成几何概率概念．然后，通过两个例题使学生经历分析问题??构建数学模型??解决问题的过程．再通过解决多层面、多角度的两组练习题，使学生对几何概率知识的理解更加透彻．最后通过开放性的问题引导学生对本课进行小结、反思．本节课突出以下几个特点：
1．数学建模与问题的解决．将实际问题转化为数学问题建立概率模型贯穿本节课的始终．
2．自主探索、合作交流贯穿本课．课标指出“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．”本节课中，从概念的形成到应用建模，再到知识的巩固拓展都是学生在自主探索、合作交流中完成，而且这种学习方式除了贯穿课堂，也延伸至课外．如作业中的某些题目也需要学生进行自主探索，合作交流．
教学目标
知识与技能：理解几何概率的意义，会求简单事件的几何概率，会应用几何概率解决有关实际问题．
数学思考：经历猜想、探索等数学活动过程，积累数学活动经验，发展合情推理能力．
解决问题：能从数学的角度理解问题，能用几何概率等知识解决问题，发展应用意识．
情感态度与价值观：通过解决现实生活的问题，培养学生乐于应用数学的态度，有助于形成勤于探索的精神．
重点、难点
重点：理解几何概率的意义，能借助几何图形的度量求简单事件的概率．
难点：将实际问题转化为数学问题，建立几何概率模型．
透彻理解几何概率的意义．
教学过程设计
一、情境引入
借助多媒体演示转盘游戏．提出问题“转动圆盘，停下时，指针停留的位置有多少种？指向哪种颜色区域的可能性大？这个问题的概率和以往研究的概率类型一样吗？它有什么特点？”
通过此情境的创设使学生感受到几何概型的特点，及学习它的必要性．激发学生要学习几何概率的欲望．
二、猜想探究、形成概念
引例1：如图，转动圆盘，等停下时指针指向红色区域的概率是多大？
引例2：在数轴上0到60之间任取一点，那么该点落在40到60之间的概率是多大？
借助多媒体动画演示，进一步让学生感受几何概型的特点（事件的等可能结果不可数），对事件的概率得出猜想，并借助教具实验估算概率．
通过对以上两个引例共同特点的讨论，形成几何概率的概念．
几何概率：当实验的结果用线段或平面区域表示，事件的概率定义为部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比．这些概率与几何度量有关，数学上称为几何概率．
三、应用建模
例题1、 某人午睡醒后，发现手表停了，于是打开收音机等侯整点报时，那么等待时间不超过20分的概率是多大？
提问1、这是几何概率问题吗？（是）
2、该用怎样的图形表示 ？（用长为60的线段或一个圆来表示）
解：设A=“等待时间不超过20分钟”，
则P（A）= = = ．
或P（A）= = 或P（A）= = ．
例题2 我市海阳路与河北大街交叉路口，目前由东向西红绿灯时间设置是：红灯32秒，绿灯35秒，黄灯3秒．张明同学匀速骑车由东向西通过路口，可以直接通过的概率是多大？
分析：这是几何概率问题．可以把它转换到数轴上研究．用长为32的线段表示红灯的时间，用长为35的线段表示绿灯时间，用长为3的线段表示黄灯时间，在70秒中的任意一时刻该同学都可能经过路口，在绿灯时间内事件发生．
解：设A=“直接通过”，
则P（A）= = ．
四、巩固拓展，启迪思维
走进知识平台
1、某公共汽车站每隔10分钟有一辆车发往A地，李磊不定时地到车站等车去A地，求他等车时间不超过4分钟的概率．
分析：如图，用长为10的线段AB表示两车的间隔时间．
解：设A=“等待时间不超过4分钟”,
则P（A）= = = .
2、在一个5000?2的海域里有面积达40?2的大陆架蕴藏着石油，在这个海域里随意选定一点钻探，钻出石油的概率是多大？
解：设A=“钻出石油”，
则P（A）= = ．
此题组选名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后师生共同评析反馈．
跨上知识阶梯
1、将长度为9?的细铁丝任意剪成两段，A表示“较长的一段大于或等于较短一段的2倍”求事件A的概率．
分析：可以把9?长的铁丝看作是长为9的线段CD，由于剪法的任意性，分点落在CD上任意一位置均可．当点落在CE或FD上时,事件A发生．
解：P（A）= = = ．
2、抛阶砖游戏；参与者将手上的“金币”抛落在离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的硬币刚巧落在任何一个阶砖的范围内（不压阶砖相连的线）获胜．当正方形阶砖的边长为5cm，金币直径为2.5 cm时，请你计算“金币”落在阶砖范围内的概率．（提示：圆心落在正中间边长为2.5cm的正方形内，游戏获胜）
解：设A=“金币落在阶砖内”，
则P（A）= = ．
先分组讨论，然后全班交流，形成解决问题的方法．对于“抛阶砖”游戏，
教师借助多媒体动画演示，加深学生对这个问题的理解．
五、课堂反思
引导学生从知识获得途径、结论、应用等方面与反思本节课内容．（①、这节课你有哪些收获？②、你最感兴趣的地方是什么？③、你还有哪些想研究的问题？）
六、作业设计
基础巩固1、如图是一个被等分成16个扇形的转盘，请在转盘选出若干个扇形涂上斜线，使得自由转动这个转盘当它停止转动时，指针落在阴影区域内的概率为 ．
2、把一个骰子沿棱剪成如图所示的形状，把其中若干正方形涂成红色，使得投针时投中红色纸板的概率为 ．
这两道问题类型一样，学生根据兴趣选做一道即可．
这两道题是类型一样的较为简单的开放型问题，但在思维上具有可逆性，通过此题想加深学生对几何概率的意义的理解．
研讨升华
用概率知识估算一个不规则图形的面积．
（提示1：在不规则的图形中画一个规则图形．提示2：设计一个实验来估算几何概率．）
这是借助实验估算和理论计算来解决的一道应用题，通过此题让学生到几何概率知识在解决现实问题中的作用．同时，利用这样一个纯数学问题有利于在班级内形成一个研讨的氛围．另外，学生可以根据自身的情况向老师索要不同的提示．这样把题目分出梯度，使不同的学生得到各自的收获，获得各自的发展．
系统综合
阶段性作业：通过对概率知识的学习请你观察生活中的某一种活动，利用概率知识揭示其中的规律，并撰写一份研究，在全班进行交流．
根据学生的个体差异，布置了这样一道开放性题目，目的是通过这样的作业使学生对所学概率知识进行系统的整理，进一步加深对知识的理解，增强自主学习的意识，提高学生广泛搜集信息的能力．
教学设计说明：
本节课通过转盘的引入，使学生发现几何概率事件的等可能结果不可数的特点，激发学生学习几何概率的欲望．在引导学生对两个引例进行猜想、实验、探索归纳等数学活动中，进一步几何概率的特征，引出课题，形成几何概率概念．然后，通过两个例题使学生经历分析问题??构建数学模型??解决问题的过程．再通过解决多层面、多角度的两组练习题，使学生对几何概率知识的理解更加透彻．最后通过开放性的问题引导学生对本课进行小结、反思．本节课突出以下几个特点：
1．数学建模与问题的解决．将实际问题转化为数学问题建立概率模型贯穿本节课的始终．
2．自主探索、合作交流贯穿本课．课标指出“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．”本节课中，从概念的形成到应用建模，再到知识的巩固拓展都是学生在自主探索、合作交流中完成，而且这种学习方式除了贯穿课堂，也延伸至课外．如作业中的某些题目也需要学生进行自主探索，合作交流．
