j.Co M
九年级数学竞赛抛物线讲座
一般地说来，我们称函数 ( 、 、 为常数， )为 的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：
1． 、 、 的符号决定抛物线的大致位置；
2．抛物线关于 对称，抛物线开口方向、开口大小仅与 相关，抛物线在顶点( ， )处取得最值；
3．抛物 线的解析式有下列三种形式：
①一般式： ；
②顶点式： ；
③交点式： ，这里 、 是方程 的两个实根．
确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．
注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题， 由抛物线捕捉对称信息的方式有：
(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；
(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被 轴所截得的弦长获得对称信息．
【例题求解】
【例1】 二次函数 的图象如图所示，则函数值 时，对应 的取值范围是 ．
思路点拨 由图象知 抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出 ， 值，先求出 时，对应 的值．
【 例2】 已知抛物线 ( <0)经过点(一1，0)，且满足 ．以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定 、 、 的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．
【例 3】 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4 分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?
思路点拨 恰当建立直角坐标系，易得出M、N及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A( ， )，建立含 的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出 的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．
注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．
【例4】 二次函数 的图象与 轴交于A、两点(点A在点B左边)，与 轴交于C点，且∠ACB＝90°．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设计两种方案：作一条与 轴不重合，与△A BC两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积为△BOC面积的 ，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明)．
思路点拨 (1)A、B、C三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．
注： 解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键．
【例5】已知函数 ，其中自变量 为正整数， 也是正整数，求 何值时，函数值最小．
思路点拨 将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为 ，因 ， ，故函数的最小值只可能在 取 ， ， 时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．
学历训练
1．如图，若抛物线 与四条直线 、 、 、 所围成的正方形有公共点，则 的取值范围是 ．
2．抛物线 与 轴的正半轴交于A，B两点，与 轴交于C点，且线段A B的长为1，△ABC的面积为1，则 的值为 ．
3．如图，抛物线的对称轴是直线 ，它与 轴交于A、B两点，与 轴交于点C，点A、C的坐标分别为(-l，0)、 (0， )，则(1)抛物线对应的函数解析式为 ；(2)若点P为此抛物线上位于 轴上方的一个动点，则△ABP面积的最大值为 ．
4．已知二次函数 的图象如图所示，且OA＝OC，则由抛物线的特征写出如下含有 、 、 三个字母的式子① ，② ，③ ，④ ，>0，其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填上)．
5．已知 ，点( ， )，( ， )，( ， )都在函数 的图象上，则( )
A． B． C． D．
6．把抛物线 的图象向右平移3 个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为 ，则有( )
A． ， B． ， C． ，c＝3 D． ，
7．二次函数 的图象如图所示，则点( ， )所在的直角坐标系是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．周长是4m的矩形，它的面积S(m2)与一边长 (m)的函数图象大致是( )
9．下面的文字后，回答问题：
“已知：二次函数 的图象经过点A(0， )，B(1，-2) ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 ．
题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由．
(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整．
10．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1. 8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?
11．如图，抛物线和直线 ( )与 轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称轴 与 轴相交于C点，且∠ABC＝90°，求抛物线的解析式．
12．抛物线 与 轴交于A、B两点，与 轴交于点C，若△ABC是直 角三角形，则 ．
13．如图，已知直线 与抛物线 相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于 ．
14．已知二次函数 ，一次函数 ．若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 ．
15．如图，抛物线 与两坐标轴的交点分别是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系式中不能总成立的是( )
A．b=0 B．S△ADC＝c2 C．ac＝一1 D．a+c＝0
16．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线 对称．
根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是( )
A．过点(3，0) B．顶点是(2，一2)
C．在 轴上截得的线段长为2 D．与 轴的交点是(0，3)
17．已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函数 ( )的图象上两 时，二次函数的值是( )
A． B． C． 2002 D ．5
18．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年 产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润＝销售额一费用)．
19．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与 轴交于点C，直线：x＝m(m>1)与 轴交于点D．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)在直线x＝m (m>1)上有一点P (点P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标(用含m的代数式表示)；
(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线 上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形?如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．
20．已知二次函数 及实数 ，求
(1)函数在一2(2)函数在a≤x≤a+2的最小值．
21．如图，在直角坐标： O 中，二次函数图象的顶点坐标为C(4， )，且在 轴上截得的线段AB的长为6．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在 轴上求作一点P (不写作法)使PA+PC最小，并求P点坐标；
(3)在 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少 ，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加 ，纵坐标增加 ，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上．
(1)请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式；
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；
(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般――特殊―一般”的思想，你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由．
参考答案
九年级数学竞赛抛物线讲座
一般地说来，我们称函数 ( 、 、 为常数， )为 的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：
1． 、 、 的符号决定抛物线的大致位置；
2．抛物线关于 对称，抛物线开口方向、开口大小仅与 相关，抛物线在顶点( ， )处取得最值；
3．抛物 线的解析式有下列三种形式：
①一般式： ；
②顶点式： ；
③交点式： ，这里 、 是方程 的两个实根．
确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．
注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题， 由抛物线捕捉对称信息的方式有：
(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；
(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被 轴所截得的弦长获得对称信息．
【例题求解】
【例1】 二次函数 的图象如图所示，则函数值 时，对应 的取值范围是 ．
思路点拨 由图象知 抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出 ， 值，先求出 时，对应 的值．
【 例2】 已知抛物线 ( <0)经过点(一1，0)，且满足 ．以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定 、 、 的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．
【例 3】 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4 分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?
思路点拨 恰当建立直角坐标系，易得出M、N及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A( ， )，建立含 的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出 的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．
注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．
【例4】 二次函数 的图象与 轴交于A、两点(点A在点B左边)，与 轴交于C点，且∠ACB＝90°．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设计两种方案：作一条与 轴不重合，与△A BC两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积为△BOC面积的 ，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明)．
思路点拨 (1)A、B、C三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．
注： 解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键．
【例5】已知函数 ，其中自变量 为正整数， 也是正整数，求 何值时，函数值最小．
思路点拨 将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为 ，因 ， ，故函数的最小值只可能在 取 ， ， 时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．
学历训练
1．如图，若抛物线 与四条直线 、 、 、 所围成的正方形有公共点，则 的取值范围是 ．
2．抛物线 与 轴的正半轴交于A，B两点，与 轴交于C点，且线段A B的长为1，△ABC的面积为1，则 的值为 ．
3．如图，抛物线的对称轴是直线 ，它与 轴交于A、B两点，与 轴交于点C，点A、C的坐标分别为(-l，0)、 (0， )，则(1)抛物线对应的函数解析式为 ；(2)若点P为此抛物线上位于 轴上方的一个动点，则△ABP面积的最大值为 ．
4．已知二次函数 的图象如图所示，且OA＝OC，则由抛物线的特征写出如下含有 、 、 三个字母的式子① ，② ，③ ，④ ，>0，其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填上)．
5．已知 ，点( ， )，( ， )，( ， )都在函数 的图象上，则( )
A． B． C． D．
6．把抛物线 的图象向右平移3 个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为 ，则有( )
A． ， B． ， C． ，c＝3 D． ，
7．二次函数 的图象如图所示，则点( ， )所在的直角坐标系是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．周长是4m的矩形，它的面积S(m2)与一边长 (m)的函数图象大致是( )
9．下面的文字后，回答问题：
“已知：二次函数 的图象经过点A(0， )，B(1，-2) ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 ．
题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由．
(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整．
10．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1. 8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?
11．如图，抛物线和直线 ( )与 轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称轴 与 轴相交于C点，且∠ABC＝90°，求抛物线的解析式．
12．抛物线 与 轴交于A、B两点，与 轴交于点C，若△ABC是直 角三角形，则 ．
13．如图，已知直线 与抛物线 相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于 ．
14．已知二次函数 ，一次函数 ．若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 ．
15．如图，抛物线 与两坐标轴的交点分别是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系式中不能总成立的是( )
A．b=0 B．S△ADC＝c2 C．ac＝一1 D．a+c＝0
16．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线 对称．
根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是( )
A．过点(3，0) B．顶点是(2，一2)
C．在 轴上截得的线段长为2 D．与 轴的交点是(0，3)
17．已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函数 ( )的图象上两 时，二次函数的值是( )
A． B． C． 2002 D ．5
18．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年 产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润＝销售额一费用)．
19．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与 轴交于点C，直线：x＝m(m>1)与 轴交于点D．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)在直线x＝m (m>1)上有一点P (点P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标(用含m的代数式表示)；
(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线 上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形?如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．
20．已知二次函数 及实数 ，求
(1)函数在一2
21．如图，在直角坐标： O 中，二次函数图象的顶点坐标为C(4， )，且在 轴上截得的线段AB的长为6．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在 轴上求作一点P (不写作法)使PA+PC最小，并求P点坐标；
(3)在 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少 ，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加 ，纵坐标增加 ，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上．
(1)请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式；
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；
(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般――特殊―一般”的思想，你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由．
参考答案
