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有条件的分式的化简与求值

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给出一定的条件,在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值.而分式的化简与求值是紧密相 连的,求值之前必须先化简,化简的目的是为了求值,先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略.
解有条件的分式化简与求值问题时,既要瞄准目标. 又要抓住条件,既要根据目标变换条件.又要依据条件来调整目标,除了要用到整式化简求值的知识方法外,还常常用到如下技巧:
1.恰当引入参数;
2.取倒数或利用倒数关系;
3.拆项变形或拆分变形;
4.整体代入;
5.利用比例性质等.
例题求解
【例1】若 ,则 的值是 .
( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 引入参数,利用参数寻找a、b、c、d的关系.
注:解数学题是运用巳知条件去探求未知结论 的一个过程.如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提,对巳知条件的运用有下列途径:
(1)直接运用条件;
(2) 变形运用条件;
(3) 综合运用条件;
(4)挖掘隐含条件.
在解某些含多个字母的代数式问题时,如果已知与未知之间的联系不明显,为了沟通已知与未知之间的联系,则可考虑引入一个参数,参数的引入,可起到沟通变元、消元的功能.
【例2】如果 , ,那么 等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(全国初中数学联赛武汉选拔赛)
思路点拨 把c、a用b的代效式表示.
【例3】已知 , , ,求代数式 的值. (北京市竞赛题)
思路点拨 直接通分,显然较繁,由x+y+z=2,得z=2-x-y,x=2-y-z,z=2-x-y,从变形分母入手.
【例4】不等于0的三个数a、b、c满足 ,求证a、b、c中至少有两个互为相反数.(天津市竞赛题)

思路点拨 要证a、b、c中至少有两个互为相反数,即要证明(a+b)(b+c)(c+a)=0,使证明的目标更加明确.
【例5】 (1)已知实数a满足a2-a-1=0 ,求 的值.
河北省竞赛题)
(2)汜知 ,求 的值.
(“北京数学科普日”攻擂赛试题)
思路点拨 (1)由条件得a2=a+1, ,通过不断平方,把原式用较低的多项式表 示是解题的关键.(2)已知条件是 、 、 三个数的乘积,探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系,从而求出 + + 的值是解本例的关键.
学历训练
1.已知 ,那么 = .
(淄博市中考题)
2.已知 ,则 = .
3.若a、b、c满足a+b +c=0,abc>0,且 ,y= ,则 = . (“祖冲之杯”邀请赛试题)
4.已知 ,则 = .
( “五羊杯”竞赛题)
5.已知a、b、c、d都是正数,且 ,给出下列4个不等式:① ;② ;③ ;④ ,其中正确的是( )
A.①③ B. ①④ C.②④ D.②③
(山东省竞赛题)
6.设a、b、c是三个互不相同的正数,如果 ,那么( )
A. 3b=2c B.3a=2b C.2b=c D.2a=b
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
7.若4x?3y一6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),则代数式 的值等于( ).
A. C.-15 D. -13
(全国初中数学竞赛题)
8.设轮船在静水中速度为 ,该船在流水(速度为 < )中从上游A驶往下游B,再返回A,所用时间为T,假设 =0 ,即河流改为静水,该船从A至B再返回B,所用时间为t, 则( )
A.T=t B.Tt D.不能确定T、t 的大小关系
9.(1)化简,求值: ,其中 满足 ;
(山西省中考题)
(2)设 ,求 的值.
10.已知 ,其中x、y、z互不相等,求证:x2y2z2=1.
11.若 ,且 ,则 = .
12.已知a、b、c满足 , ,那么 a+b+c的值为 .
13.已知 , , ,则x的值为 .
14.已知x、y、z满足 , , ,则xyz的值为 .
(全国初中数学竞赛题)
15.设a、b、c满足abc≠0,且 ,则 的值为
A.-1 B.1 C.2 D.3 (2003年南通市中考题)
16.已知abc=1,a+b+c=2, ,则 的值为( )
A.-1 B. C.2 D.
(大原市竞赛题)
17.已知?列数 、 、 、 、 、 、 ,且 =8, =5832, ,则 为( )
A.648 B. 832 C.1168 D.1944
18.已知 ,则代数式 的值为( )
A.1996 B.1997 C.1998 D.1999
19.(1)已知 ,求 的值;
(2)已知x、y、z满足 ,求代 数式 的值.
(北京市竞赛题)
20.设a、b、c满足 ,求证:当n为奇数时, (波兰竞赛题)
21.已知 ,且 ,求x的值.
(上海市高中理科班招生试题)
22.某企业有9个生产车间,现在每个车间原有的成品一样多,每个车间每天生产的成品也一样多,有A,B两组检验员,其中A组有8名检验员,他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后,再检验第三、四两个车间 的所有成品,又用去了3天时间,同时,用这5天时间,B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品.如果每个检验员的检验速度一样快,每个车间原有的成品为a件,每个车间每天生产b件成品.
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