不等式教案

不等式教案

1、 ( 、 )。
2、 ( 、 , )(当且仅当 时取等号)。
3、若 、 、 且 ,则 (真分数的分子分母加上同一个正数,值变大)。
4、若 、 、 且 ,则 。
5、 。
6、一个重要的均值不等式链:设 ,则有 (当且仅当 时取等号)。
7、若已知条件中含有或隐含着" "或" "这一信息,常常可以设" "用这种和式增量法来证明不等式、求值、或比较大小。
8、不等式证明常用的放缩方法:
(1) ;
(2) 。
七、解析几何:
1、两条平行直线 和 之间的距离为 。
2、直线 过定点 ,且点 在圆 内,则 与圆 必相交。
过圆内一点 的弦长,以直径为最大,垂直于 ( 为圆心)的弦为最小。
3、直线在 轴、 轴上的截距相等包含有直线过原点这一特殊情况。
4、直线过定点 时,根据情况有时可设其方程为 ( 时直线 )应用点斜式解题,应检验直线斜率不存在的情况。
5、 已知圆的方程是 和点 ,若点 是圆上的点,则方程 表示过点 的圆的切线方程;若点 在圆外,则方程 表示过点 向圆所作的两条切线的切点所在的直线方程(又称切点弦方程)。
6、过圆 上一点 的圆的切线方程是:
。
7、圆 和 相交于 、 两点,则直线 为这两圆的"根轴",其方程为 (即为公共弦 所在的直线方程。利用此法,可以推导圆的切点弦方程)。
8、已知一个圆的直径端点是 、 ,则圆的方程是:
。
9、给一定点 和椭圆: , 、 分别为左右焦点,有如下性质:
(1)若点 在椭圆上,则 , (由椭圆第二定义推出);
(2)若点 在椭圆上,过这一点的椭圆的切线方程则可表示为: ;
(3)若点 在椭圆外,则这一点对应的椭圆的切点弦可表示为: ;
(4)若点 在椭圆内,则这一点对应的椭圆的极线可表示为: ;
补充:直线 与椭圆 相切的充要条件是:
。
10、三种圆锥曲线的通径(通径是最短的焦点弦):
(1)椭圆 的通径长为 ;
(2)双曲线 的通径长为 ;
(3)抛物线 的通径长为 。
11、双曲线的焦半径公式:点 为双曲线 上任意一点, 、 分别为左右焦点
(1)若 在右支上,则 , ;
(2)若 在左支上,则 , 。
12、双曲线标准方程(焦点在 轴或 轴上)的统一形式为 ( ),双曲线 的渐近线方程为 ,也可记作 。
13、过抛物线 的焦点且倾斜角为 的弦 , 时,最短弦长为 ,即为抛物线的通径。
14、圆锥曲线中几条特殊的垂直弦和定点弦:
(1)过抛物线 的顶点作两条互相垂直的弦 ,则弦 过定点 ;
(2)过抛物线 的顶点作两条互相垂直的弦 ,点 分别为 的中点,则直线 过定点 ;
(3)过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 ,则弦 过定点 ;
(4)过椭圆 的中心 作两条相互垂直的弦 ,则原点到弦ab的距离为定值: ,且 (此时弦ab最短), (此时弦ab最长);
(5)过椭圆 的右顶点 作两条相互垂直的弦 ,则弦mn过定点: ;
(6)过椭圆 的右焦点 作两条相互垂直的弦 ,点 分别为 的中点,则直线mn过定点: ;
(7)过双曲线 的中心 作两条相互垂直的弦 ,则原点到弦ab的距离为定值: ;
15、过抛物线 上一点 的焦半径 ;若 、 是过焦点 弦的端点, , 则:
(1) , ;
(2) ;
(3) ( 为直线 与 轴的夹角);
(4)若 、 在准线 上的射影分别为 、 ,则 ;
(5)以焦点弦 为直径的圆与准线 相切,切点为 的中点;