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平面向量的数量积及运算律(通用4篇)

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平面向量的数量积及运算律(通用4篇)

平面向量的数量积及运算律 篇1

  教学目的:

  1 掌握平面向量的数量积及其几何意义;

  2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;

  3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;

  4 掌握向量垂直的条件

  教学重点:平面向量的数量积定义

  教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

  授课类型:新授课

  课时安排:1课时

  教    具:多媒体、实物投影仪

  内容分析:

  本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的5个重要性质;平面向量数量积的运算律

  教学过程:

  一、复习引入:    

  1. 向量共线定理  向量 与非零向量 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使 =λ 

  2.平面向量基本定理:如果 , 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数λ1,λ2使 =λ1 +λ2

  3.平面向量的坐标表示

  分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 、 ,使得

  把 叫做向量 的(直角)坐标,记作

  4.平面向量的坐标运算

  若 , ,

  则  ,  , 

  若 , ,则

  5. ∥  (  )的充要条件是x1y2-x2y1=0

  6.线段的定比分点及λ

  p1, p2是直线l上的两点,p是l上不同于p1, p2的任一点,存在实数λ,

  使  =λ ,λ叫做点p分 所成的比,有三种情况:

  λ>0(内分)      (外分) λ<0 (λ<-1)    ( 外分)λ<0  (-1<λ<0)

  7 定比分点坐标公式:

  若点p1(x1,y1) ,p2(x2,y2),λ为实数,且 =λ ,则点p的坐标为( ),我们称λ为点p分 所成的比

  8 点p的位置与λ的范围的关系:

  ①当λ>0时, 与 同向共线,这时称点p为 的内分点

  ②当λ<0( )时, 与 反向共线,这时称点p为 的外分点

  9 线段定比分点坐标公式的向量形式:

  在平面内任取一点o,设 = , = ,

  可得 = 

  10.力做的功:w = | || |cos,是 与 的夹角

  二、讲解新课:

  1.两个非零向量夹角的概念

  已知非零向量 与 ,作 = , = ,则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 与 的夹角

  说明:(1)当θ=0时, 与 同向;

  (2)当θ=π时, 与 反向;

  (3)当θ= 时, 与 垂直,记 ⊥ ;

  (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的 范围0≤≤180

  2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 与 ,它们的夹角是θ,则数量| || |cos叫 与 的数量积,记作  ,即有   = | || |cos,

  (0≤θ≤π) 并规定 与任何向量的数量积为0

  探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

  (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定

  (2)两个向量的数量积称为内积,写成  ;今后要学到两个向量的外积 × ,而  是两个向量的数量的积,书写时要严格区分 符号“• ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替

  (3)在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;但是在数量积中,若  ,且  =0,不能推出 =  因为其中cos有可能为0

  (4)已知实数a、b、c(b0),则ab=bc  a=c

  但是   =       = 

  如右图:   = | || |cos = | ||oa|,  = | || |cos = | ||oa|

      =     但   

  (5)在实数中,有(aa)c = a(ac),但是(  )    (  )

  显然,这是因为左端是与 共线的向量,而右端是与 共线的向量,而一般 与 不共线

  3.“投影”的概念:作图

  定义:| |cos叫做向量 在 方向上的投影

  投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 | |;当 = 180时投影为 | |

  4.向量的数量积的几何意义:

  数量积  等于 的长度与 在 方向上投影| | os的乘积

  5.两个向量的数量积的性质:

  设 、 为两个非零向量, 是与 同向的单位向量

  1    =    =| |cos

  2        = 0

  3 当 与 同向时,   = | || |;当 与 反向时,   = | || |

  特别的   = | |2或

  4  os =

  5|  | ≤ | || |

  三、讲解范例:

  例1 判断正误,并简要说明理由

  ① • = ;②0• =0;③ - = ;④| • |=| || |;⑤若 ≠ ,则对任一非零 有 • ≠0;⑥ • =0,则 与 中至少有一个为 ;⑦对任意向量 , , 都有( • ) = ( • );⑧ 与 是两个单位向量,则 2= 2

  解:上述8个命题中只有③⑧正确;

  对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有 • =0;

  对于②:应有0• = ;

  对于④:由数量积定义有| • |=| |•| |•|cosθ|≤| || |,这里θ是 与 的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有| • |=| |•| |;

  对于⑤:若非零向量 、 垂直,有 • =0;

  对于⑥:由 • =0可知 ⊥ 可以都非零;

  对于⑦:若 与 共线,记 =λ 

  则 • =(λ )• =λ( • )=λ( • ),

  ∴( • )• =λ( • ) =( • )λ =( • )

  若 与 不共线,则( • ) ≠( • ) 

  评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律

  例2 已知| |=3,| |=6,当① ∥ ,② ⊥ ,③ 与 的夹角是60°时,分别求 • 

  解:①当 ∥ 时,若 与 同向,则它们的夹角θ=0°,

  ∴ • =| |•| |cos0°=3×6×1=18;

  若 与 反向,则它们的夹角θ=180°,

  ∴ • =| || |cos180°=3×6×(-1)=-18;

  ②当 ⊥ 时,它们的夹角θ=90°,

  ∴ • =0;

  ③当 与 的夹角是60°时,有

  • =| || |cos60°=3×6× =9

  评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°],因此,当 ∥ 时,有0°或180°两种可能

  四、课堂练习:

  五、小结  通过本节学习,要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律,并能运用它们解决相关的问题

  六、课后作业:

  七、板书设计(略)

  八、课后记及备用资料:

  1 概念辨析:正确理解向量夹角定义

  对于两向量夹角的定义,两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误,如:

  1 已知△abc中, =5, =8,c=60°,求 • 

  对此题,有同学求解如下:

  解:如图,∵| |= =5,| |= =8,c=60°,

  ∴ • =| |•| |cosc=5×8cos60°=20

  分析:上述解答,乍看正确,但事实上确实有错误,原因就在于没能正确理解向量夹角的定义,即上例中 与 两向量的起点并不同,因此,c并不是它们的夹角,而正确的夹角应当是c的补角120°

  2 向量的数量积不满足结合律

  分析:若有( • ) = •( • ),设 、 夹角为 , 、 夹角为β,则( • ) =| |•| |cosα• ,

  •( • )= •| || |cosβ

  ∴若 = ,α=β,则| |=| |,进而有:( • ) = •( • )

  这是一种特殊情形,一般情况则不成立 举反例如下:

  已知| |=1,| |=1,| |= , 与 夹角是60°, 与 夹角是45°,则:

  ( • )• =(| |•| |cos60°) =  ,

  •( • )=(| |•| |cos45°) =

  而  ≠ ,故( • )• ≠ •( • )

平面向量的数量积及运算律 篇2

  教学目的:

  1 掌握平面向量数量积运算规律;

  2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;

  3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题 

  教学重点:平面向量数量积及运算规律

  教学难点:平面向量数量积的应用

  授课类型:新授课

  课时安排:1课时

  教    具:多媒体、实物投影仪

  内容分析:

  启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质 

  教学过程:

  一、复习引入:

  1.两个非零向量夹角的概念

  已知非零向量 与 ,作 = , = ,则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 与 的夹角

  2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 与 ,它们的夹角是θ,则数量| || |cos叫 与 的数量积,记作  ,即有   = | || |cos,

  (0≤θ≤π) 并规定 与任何向量的数量积为0 

  3.“投影”的概念:作图

  定义:| |cos叫做向量 在 方向上的投影

  投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 | |;当 = 180时投影为 | |

  4.向量的数量积的几何意义:

  数量积  等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积

  5.两个向量的数量积的性质:

  设 、 为两个非零向量, 是与 同向的单位向量

  1   =   =| |cos;2       = 0

  3当 与 同向时,   = | || |;当 与 反向时,   = | || |

  特别的   = | |2或

  4cos =  ;5|  | ≤ | || |

  6.判断下列各题正确与否:

  1若  =  ,则对任一向量 ,有   = 0                 ( √ )

  2若    ,则对任一非零向量 ,有    0             ( × )

  3若    ,   = 0,则  =                           ( × )

  4若   = 0,则  、 至少有一个为零                 ( × )

  5若    ,   =   ,则  =                           ( × )

  6若   =   ,则  =  当且仅当    时成立           ( × )

  7对任意向量 、 、 ,有(  )    (  )               ( × )

  8对任意向量 ,有 2 = | |2                           ( √ )

  二、讲解新课:

  平面向量数量积的运算律

  1.交换律:     =    

  证:设 , 夹角为,则     = | || |cos,     = | || |cos

  ∴     =    

  2.数乘结合律:(  )  = (  ) =  (  )

  证:若 > 0,(  )  = | || |cos,  (  ) = | || |cos, (  ) = | || |cos,

  若 < 0,(  )  =|  || |cos() =  | || |(cos) = | || |cos,

  (  ) = | || |cos,

  (  ) =| ||  |cos() =  | || |(cos) = | || |cos

  3.分配律:(  +  )  =  c +  

  在平面内取一点o,作 =  ,  =  , = ,

  ∵  +   (即 )在 方向上的投影等于 、 在 方向上的投影和,

  即   |  +  | cos = | | cos1 + | | cos2

  ∴|   | |  +  | cos =| | | | cos1 + | | | | cos2

  ∴ (  +  ) =    +        即:(  +  ) =    +  

  说明:(1)一般地,( • ) ≠ ( • )

  (2) • = • , ≠   =

  (3)有如下常用性质: 2=| |2,

  ( + )( + )= • + • + • + •

  ( + )2= 2+2 • + 2

  三、讲解范例:

  例1 已知 、 都是非零向量,且  + 3 与7   5 垂直,   4 与7   2 垂直,求 与 的夹角

  解:由(  + 3 )(7   5 ) = 0  7 2 + 16   15 2 = 0    ①

  (   4 )(7   2 ) = 0  7 2  30   + 8 2 = 0    ②

  两式相减:2   =  2

  代入①或②得: 2 =  2

  设 、 的夹角为,则cos =    ∴ = 60

  例2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和

  解:如图: abcd中, , , =

  ∴| |2=

  而 =   

  ∴| |2=

  ∴| |2 + | |2 = 2 = 

  例3 四边形abcd中, = , = , = , = ,且 • = • = • = • ,试问四边形abcd是什么图形?

  分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量

  解:四边形abcd是矩形,这是因为:

  一方面:∵ + + + =0,

  ∴ + =-( + ),∴( + )2=( + )2

  即| |2+2 • +| |2=| |2+2 • +| |2

  由于 • = • ,

  ∴| |2+| |2=| |2+| |2①

  同理有| |2+| |2=| |2+| |2②

  由①②可得| |=| |,且| |=| |即四边形abcd两组对边分别相等

  ∴四边形abcd是平行四边形

  另一方面,由 • = • ,有 ( - )=0,而由平行四边形abcd可得 =- ,代入上式得 •(2 )=0

  即 • =0,∴ ⊥ 也即ab⊥bc

  综上所述,四边形abcd是矩形

  评述:(1)在四边形中, , , , 是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量,即 + + + = ,应注意这一隐含条件应用;

  (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两种关系

  四、课堂练习:

  1 下列叙述不正确的是(   )

  a 向量的数量积满足交换律     b 向量的数量积满足分配律

  c 向量的数量积满足结合律     d  • 是一个实数

  2 已知| |=6,| |=4, 与 的夹角为60°,则( +2 )•( -3 )等于(    )

  a 72           b -72           c 36        d -36

  3 | |=3,| |=4,向量 +  与 -  的位置关系为(    )

  a 平行         b 垂直        c 夹角为   d 不平行也不垂直

  4 已知| |=3,| |=4,且 与 的夹角为150°,则( + )2=          

  5 已知| |=2,| |=5, • =-3,则| + |=______,| - |=            

  6 设| |=3,| |=5,且 +λ 与 -λ 垂直,则λ=           

  参考答案:1 c  2 b  3 b  4 2 5 -1+2   5     6 ±

  五、小结  通过本节学习,要求大家掌握平面向量数量积的运算规律,掌握两个向量共线、垂直的几何判断,能利用数量积的5个重要性质解决相关问题

  六、课后作业

  1 已知| |=1,| |= ,且( - )与 垂直,则 与 的夹角是(    )

  a 60°         b 30°          c 135°         d 45°

  2 已知| |=2,| |=1, 与 之间的夹角为 ,那么向量 = -4 的模为

  a 2            b 2           c 6            d 12

  3 已知 、 是非零向量,则| |=| |是( + )与( - )垂直的(    )

  a 充分但不必要条件               b 必要但不充分条件

  c 充要条件                          d 既不充分也不必要条件

  4 已知向量 、 的夹角为 ,| |=2,| |=1,则| + |•| - |=     

  5 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、 是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量,那么 • =           

  6 已知 ⊥ 、 与 、 的夹角均为60°,且| |=1,| |=2,|  |=3,则( +2 - )2=______

  7 已知| |=1,| |= ,(1)若 ∥ ,求 • ;(2)若 、 的夹角为60°,求| + |;(3)若 - 与 垂直,求 与 的夹角

  8 设 、 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 =2 + 与 =2 -3 的夹角

  9 对于两个非零向量 、 ,求使| +t |最小时的t值,并求此时 与 +t 的夹角

  参考答案:1 d  2 b  3 c  4    5  63   6  11

  7 (1)-    (2)   (3)45° 8  120°  9  90°

  七、板书设计(略)

  八、课后记及备用资料:

  1 常用数量积运算公式:在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛

  即( + )2= 2+2 • + 2,( - )2= 2-2 • + 2

  上述两公式以及( + )( - )= 2- 2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用

  2 应用举例

  例1 已知| |=2,| |=5, • =-3,求| + |,| - |

  解:∵| + |2=( + )2= 2+2 • + 2=22+2×(-3)+52=23

  ∴| + |= ,∵(| - |)2=( - )2= 2-2 • + 2=22-2×(-3)×52=35,

  ∴| - |= .

  例2 已知| |=8,| |=10,| + |=16,求 与 的夹角θ(精确到1°)

  解:∵(| + |)2=( + )2= 2+2 • + 2=| |2+2| |•| |cosθ+| |2

  ∴162=82+2×8×10cosθ+102,

  ∴cosθ= ,∴θ≈55°

平面向量的数量积及运算律 篇3

  (第二课时)

  一、教学目标 

  1.掌握平面向量的数量积的运算律,并能运用运算律解决有关问题;

  2.掌握向量垂直的充要条件,根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直;由两个向量垂直确定参数的值;

  3.了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;

  4.通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力;

  5.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质及运算律的应用,培养学生的应用意识.

  二、教学重点  平面向量的数量积运算律,向量垂直的条件;

  教学难点   平面向量的数量积的运算律,以及平面向量的数量积的应用.

  三、教学具准备

  投影仪

  四、教学过程 

  1.设置情境

  上节课,我们已经给出了数量积的定义,指出了它的(5)条属性,本节课将研究数量积作为一种运算,它还满足哪些运算律?

  2.探索研究

  (1)师:什么叫做两个向量的数量积?

  生: ( 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积)

  师:向量的数量积有哪些性质?

  生:(1)

  (2)

  (3)

  (4)

  (5)

  (6)

  师:向量的数量积满足哪些运算律?

  生(由学生验证得出)

  交换律:

  分配律:

  师:这个式子 成立吗?(由学生自己验证)

  生: ,因为 表示一个与 共线的向量,而 表示一个与 共线的向量,而 与 一般并不共线,所以,向量的内积不存在结合律。

  (2)例题分析

  【例1】求证:

  (1)

  (2)

  分析:本例与多项式乘法形式完全一样。

  证:         

  注: (其中 、 为向量)

  答:一般不成立。

  【例2】已知 , , 与 的夹角为 ,求 .

  解:∵

  注:与多项式求值一样,先化简,再代入求值.

  【例3】已知 , 且 与 不共线,当且仅当 为何值时,向量 与 互相垂直.

  分析:师:两个向量垂直的充要条件是什么?

  生:

  解: 与 互相垂直的充要条件是

  即

  ∵   

  ∴

  ∴ 

  ∴  当且仅当 时, 与 互相垂直.

  3.演练反馈(投影)

  (1)已知 , 为非零向量, 与 互相垂直, 与 互相垂直,求 与 的夹角.

  (2) , 为非零向量,当 的模取最小值时,

  ①求 的值;

  ②求证: 与 垂直.

  (3)证明:直径所对的圆周角为直角.

  参考答案:

  (1)

  (2)解答:①由

  当 时 最小;

  ②∵

  ∴ 与 垂直.

  (3)如图所示,设 , , (其中 为圆心, 为直径, 为圆周上任一点)

  则

  ∵  ,

  ∴   即  圆周角

  4.总结提炼

  (l)

  (2)向量运算不能照搬实数运算律,如结合律数量积运算就不成立.

  (3)要学会把几何元素向量化,这是用向量法证几何问题的先决条件.

  (4)对向量式不能随便约分,因为没有这条运算律.

  五、板书设计 

  课题:

  1.数量积性质

  2.数量积运算律

  例题

  1

  2

  3

  演练反馈

  总结提炼

平面向量的数量积及运算律 篇4

  (第一课时)

  一、教学目标 

  1.正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆用等式求向量的夹角;

  2.掌握平面向量的数量积的重要性质,并能运用这些性质解决有关问题;

  3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力;

  4.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质的应用,培养学生的应用意识.

  二、教学重点  平面向量的数量积概念、性质及其应用

  教学难点   平面向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质的理解.

  三、教学具准备

  直尺,投影仪

  四、教学过程 

  1.设置情境

  师:我们学过功的概念:即一个物体在力 的作用下产生位移 ,那么力 所做的功: ,其中 表示一个什么角度?

  表示力 的方向与位移 的方向的夹角.

  我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象,就一般向量 、 ,来规定 的含义。

  2.探索研究

  (l)已知两个非零向量 和 ,在平面上任取一点 ,作 , ,则 叫做向量 与 的夹角.你能指出下列图中两向量的夹角吗?

  ① 与 的夹角为 ,② 与 的夹角为 ,③ 与 的夹角是 ,④ 与 的夹角是 .

  (2)下面给出数量积定义:

  师:(板书)已知两个非零向量 和 ,它们的夹角为 ,我们把数量 ,叫做向量 与 的数量积或(内积)记作 即

  并规定

  师:在平面向量的数量积的定义中,它与两个向量的加减法有什么本质区别.

  生:向量的数量积结果是一个数量,而向量的加法和减法的结果还是一个向量.

  师:你能从图中作出 的几何图形吗? 表示的几何意义是什么?

  生:如图,过 的终点 作 的垂线段 ,垂足为 ,则由直角三角形的性质得:

  所以 叫做向量 在向量 上的投影, 叫做 在 上的投影.

  师:因此我们得到 的几何意义:向量 与 的数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的积.

  注意:1°投影也是一个数量,不是向量。

  2°当q为锐角时投影为正值;

  当q为钝角时投影为负值;

  当q为直角时投影为0;

  当q =0°时投影为 |b|;

  当q =180°时投影为 -|b|。

  向量的数量积的几何意义:

  数量积a×b等于a的长度与ba方向上投影|b|cosq的乘积。

  (3)下面讨论数量积的性质:

  (每写一条让学生动手证一条)设 , 都是非零向量, 是与 的方向相同的单位向量, 是 与 的夹角,则

  ①

  ②

  ③当 与 同向时, ,当 与 反向时, 。

  特别地

  ④

  ⑤

  3.演练反馈(投影)

  (通过练习熟练掌握性质)

  判断下列各题是否正确

  (1)若 ,则对任意向量 ,有    (    )

  (2)若 ,则对任意非零量 ,有 (    )

  (3)若 ,且 ,则           (    )

  (4)若 ,则 或             (    )

  (5)对任意向量 有                  (    )

  (6)若 ,且 ,则          (   )

  参考答案:(l)√,(2)×,(3)×,(4)×,(5)√,(6)×.

  4.总结提炼

  (l)向量的数量的物理模型是力的做功.

  (2) 的结果是个实数(标量)

  (3)利用 ,可以求两向量夹角,尤其是判定垂直。

  (4)二向量夹角范围 .

  (5)五条属性要掌握.

  五、板书设计 

  课题

  1.“功”的抽象

  2.数量积的定义

  3.(5)条性质

  (1)

  (2)

  (3)

  (4)

  (5)

  4.演练反馈

  5.总结提炼

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平面向量的数量积及运算律(通用4篇)

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