两圆的公切线（精选9篇）
两圆的公切线 篇1
第一课时 （一）
教学目标：
（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；
（2）培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想.
教学重点：
理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法.
教学难点：
两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆.
教学活动设计
（一）实际问题（引入）
很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象.（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）
（二）概念
1、概念：
教师引导学生自学.给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：
和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线.
(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线.
(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线.
(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.
2、理解概念：
(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?
(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?
(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长.但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点.
(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量.
（三）两圆的位置与公切线条数的关系
组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力.添写教材P143练习第2题表.
（四）应用、反思、总结
例1、已知：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B.求：公切线的长AB.
分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B.一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质.（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）
解：连结O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB.
过 O1作O1C⊥O2B，垂足为C，则四边形O1ABC为矩形，
于是有
O1C⊥C O2，O1C=AB，O1A=CB.
在Rt△O2CO1和.
O1O2=13，O2C=O2B- O1A=5
AB=O1C= (cm).
反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法.
例2*、如图，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直线AB为，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长.
分析：因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解.证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作CD如图，因为AB是，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP.因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此题得解.
解：过点P作CD
∵ AB是⊙O1和⊙O2的切线，A、B为切点
∴∠CPA=∠BAP ∠CPB=∠ABP
又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°
∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°
∴∠CPA+∠CPB=90° 即∠APB=90°
在 Rt△APB中，AB2=AP2+BP2
说明：两圆相切时，常过切点作，沟通两圆中的角的关系.
（五）巩固练习
1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成( )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)以上答案都不对.
此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)
2、外公切线是指
(A)和两圆都祖切的直线 (B)两切点间的距离
(C)两圆在公切线两旁时的公切线 (D)两圆在公切线同旁时的公切线
直接运用外公切线的定义判断.答案：(D)
3、教材P141练习（略）
（六）小结（组织学生进行）
知识：、外公切线、内公切线及公切线的长概念；
能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；
思想：“转化”思想.
（七）作业 ：P151习题10，11.
第二课时 （二）
教学目标：
（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；
（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想.
教学重点：
两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法.
教学难点：
两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆.
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长.
（2）两圆的位置与公切线条数的关系.（构成数形对应，且一一对应）
（二）应用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的一条内公切线，切点分别是A，B.
求：公切线的长AB。
组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力.
解：连结O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB.
过 O1作O1C⊥O2B，交O2B的延长线于C，
则O1C=AB，O1A=BC.
在Rt△O2CO1和.
O1O2=10，O2C=O2B+ O1A=6
∴O1C=(cm).
∴AB=8（cm）
反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在Rt△O2CO1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量.注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形.
例2 （教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求V形角α的度数.
解：(略)
反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法.它属于简单的数学建模.
组织学生进行，教师引导.
归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和R+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量.
， ；
（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决.
（三）巩固训练
教材P142练习第1题，教材P145练习第1题.
学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正.
（四）小结
（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题.公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；
（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；
（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角.
（五）作业
教材P153中12、13、14.
第三课时 （三）
教学目标：
（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；
（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力.
教学重点：
会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中.
教学难点：
综合知识的灵活应用和综合能力培养.
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）概念.
（2）切线的性质，弦切角等有关概念.
（二）公切线在解题中的应用
例1、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B，C为切点.若连结AB、AC会构成一个怎样的三角形呢？
观察、度量实验（组织学生进行）
猜想：（学生猜想）∠BAC=90°
证明：过点A作⊙O1和⊙O2的内切线交BC于点O.
∵OA、OB是⊙O1的切线，
∴OA=OB.
同理OA=OC.
∴ OA=OB=OC.
∴∠BAC=90°.
反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作是常见的一种作辅助线的方法.
例2、己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆的弦AB交小圆于C，D.
求证：∠APC＝∠BPD.
分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线O1O2，或作外公切线.
证明：过P点作MN.
∵∠MPC=∠PDC，∠MPN=∠B，
∴∠MPC－∠MPN=∠PDC－∠B，
即∠APC＝∠BPD.
反思：（1）作了两圆公切线MN后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了.要重视MN的“桥梁”作用.（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算.
拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）
己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆⊙O1的弦AB与小圆⊙O2相切于C点.
是否有：∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB.
答案：有∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB.如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4.
（三）练习
练习1、教材145练习第2题.
练习2、如图，已知两圆内切于P，大圆的弦AB切小圆于C，大圆的弦PD过C点.
求证：PA・PB=PD・PC.
证明：过点P作EF
∵ AB是小圆的切线，C为切点
∴∠FPC=∠BCP，∠FPB=∠A
又∵∠1=∠BCP-∠A ∠2=∠FPC-∠FPB
∴∠1=∠2 ∵∠A=∠D，∴△PAC∽△PDB
∴PA・PB=PD・PC
说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易.
（三）总结
学习了，应该掌握以下几个方面
1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上.
2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形.
3、常用的辅助线：
（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；
（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线.
4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结.
（四）作业 教材P151习题中15，B组2.
探究活动
问题：如图1，已知两圆相交于A、B，直线CD与两圆分别相交于C、E、F、D.
(1)用量角器量出∠EAF与∠CBD的大小，根据量得结果，请你猜想∠EAF与∠CBD的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论.
(2)当直线CD的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由.
(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点A”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明.
提示：（1）（2）（3）都有∠EAF+∠CBD=180°.证明略（如图作辅助线）.
说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，归纳得出猜想，进而证明猜想成立.这也是数学发现的一种方法.第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化.第(3)题中若CD移动到与两圆相切于点C、D，那么结论又将变为∠CAD＝90°.
两圆的公切线 篇2
教学目标：1、使学生学会两圆内公切线长的求法.2.使学生会求出公切线与连心线的夹角或公切线的夹角.2、使学生在学会求两圆内公切线长的过程中，探索规律，培养学生的总结、归纳能力.3、培养学生会根据图形分析问题，培养学生的数形结合能力.教学重点： 使学生进一步掌握两圆公切线等有关概念，会求两圆内公切线长及切线夹角.教学难点：两圆内公切线和内公切线长容易搞混.教学过程：一、新课引入：上一节我们学会了求两圆的外公切线长，这一节我们将学习两圆内公切线长的求法及两圆公切线夹角的求法.实际上，我们首先要清楚，什么样的两圆的位置关系存在两圆内公切线？有几条？什么样的两圆位置关系有内公切线长？请同学们打开练习本，动手画一画，结合图形，考虑上面的问题.学生动手画图，教师巡视，当所有学生都画完图后，教师打开计算机或幻灯作演示，演示过程由学生回答上述三个问题，并认定只有两圆外离时，存在内公切线长.二、新课讲解：有了上一节求两圆外公切线长的基础，学生不难想到求两圆的内公切线长也要在一个直角三角形中完成，只要稍加提示，学生便会作出直角三角形，同时教师要提醒学生注意两种公切线长的求法中，三角形的边有所不同.例2 如图7-106，p.142已知⊙o1、⊙o2的半径分别为4cm和2cm，圆心距为10cm，ab是⊙o1、⊙o2的内公切线，切点分别为a、b.
求：公切线的长ab.分析：仿照上节的辅助线方法作辅助线，我们会发现，不论从o1或o2向另一条半径作垂线，垂足都落在半径的延长线上，因此o2c是两圆半径之和.例题解法参照教材p.142例2.结论：由于圆是轴对称图形，1.两圆的两条外公切线长相等，两条内公切线长相等.2.如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在连心线上.
练习一，如图7-107，已知⊙o1、⊙o2的半径分别为1.5cm和2.5cm，o1o2=6cm.求内公切线的长.此题分析类同于例题.解：连结o2a、o1b，过点o2作o2c⊥o1b交o1b的延长线于c.在rt△o2co1中：∵o1o2=6，o1c=o1b+bc=4，结论：在由公切线长、圆心距、两圆半径的和或差构成的rt△中，已知任意两量，都可以求出第三量来，同时，我们也可以求出所需角来.例3 p.143要做一个如图7-108.那样的v形架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为20mm和80mm，求v形角α的度数.分析：首先指导学生将实际问题转化为两圆外公切线问题，v形角α实际上就是求两圆公切线的夹角.由矩形、外公切线的基本图形知，矩形abo2c的边o2c∥ab，则rt△o1co2中的锐角∠co2o1=∠
解：设两圆管的圆心分别为o1、o2，它们与v形架切于点a、b，ab与o1o2交于点p，连结o1a，o2b，过点o2作o2c⊥o1a，垂足为c.∴∠co2o1=25°23′.∴∠α=50°46′
练习二，p.145中1.如图7-109，⊙a、⊙b外切于点c，它们的半径分别为5cm，2cm，直线l与⊙a、⊙b都相切.求直线ab与l所成的角.分析：这是两圆外公切线与两圆连心线夹角问题，属于两圆外公切线的基本图形，只要在rt△adb中求出∠abd的度数即可.解：设l与⊙a、⊙b分别切于点m、n，连结am、bn，过点b作bd⊥am，垂足为d.∴∠abd=25°23′.∴∠1=25°23′.答：直线ab与l所成的角为25°23′.三、课堂小结：为培养学生阅读教材的习惯，让学生看教材p.142―p.145，从中总结出本课主要内容：1.求两圆的内公切线，仍然归结为解直角三角形问题，注意基本图形中的直角三角形，圆心距仍然为斜边，内公切线长、两半径之和作直角边，三个量中已知任何两个量，都可以求出第三个量来.2.如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上.3.求两圆两外(或内)公切线的夹角.要根据基本图形，归结为求rt△中的锐角.从而根据平行线的同位角相等，进而求出两公切线的夹角.四、布置作业教材p.153中12、13、14.
两圆的公切线 篇3
教学目标：1、使学生理解两圆公切线等有关概念.2、使学生学会两圆外公切线的求法.3、通过对两圆公切线的直观演示的观察，培养学生能从直观演示中归纳出几何概念的能力；4、在指导学生学习求两圆外公切线长的过程中，培养学生的总结、归纳能力.教学重点： 使学生理解两圆公切线等有关概念，会求两圆的外公切线长.教学难点：两圆公切线和公切线长学生理解得不透，容易搞混.教学过程：一、新课引入：运转着的机器上主动轮和从动轮和传动带之间，很明显地给我们留下了一条直线和两个圆同时相切的形象，现在我们来研究和两圆都相切的直线.二、新课讲解：在直线和圆的位置关系中，切线非常重要，那么在两圆的位置关系中，尤其是与两个圆都相切的切线，应该具有什么特殊的性质呢？请同学打开练习本，画出所有可能的一条直线同时与两个圆相切的情形.学生动手画，教师巡视，当所有学生把认为可能的情形画完之后，教师打开计算机或幻灯作演示，演示过程中提醒学生观察，每一种圆与圆的位置关系是否都能作出符合条件的直线？两个圆与所作出的直线的位置如何？不同的位置能作出的直线的条数，哪一种圆与圆的位置关系中的符合条件的直线上存在线段？线段的端点是什么？最终教师指导学生定义两圆公切线及有关概念：1.定义：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线.2.分类：外公切线和内公切线.3.定义内外公切线.两个圆在公切线同旁时，公切线叫外公切线；两个圆在公切线两旁时，公切线叫内公切线.4.公切线长：公切线上两个切点的距离叫做公切线长.5.圆与圆各种位置的公切线及条数.
两圆公切线的系列概念，主要是通过演示观察归纳获得.务必使每个学生都清楚，并不是每一种圆与圆的位置关系都存在公切线，两个圆若存在公切线，公切线的条数也因不同的位置关系而不相同.而两圆即使存在公切线，但不一定有切线长，教师可指导学生观察每一种位置关系的公切线，最终得到结论：只有两圆外离、外切、相交可求外公切线长，而两圆外离时又可求内公切线长.特别要使学生明白公切线和公切线长是两个不同的概念，因而意义也就不同，公切线是一条和两圆同时相切的直线，而公切线长是公切线上两个切点间的线段长，故可求之.怎样求两圆的外公切线长？可指导学生回顾切线长求法，是在一个由圆外一点到圆心的线段、半径、切线长为边的直角三角形中完成的.同样地，我们也考虑把公切线长的求出放置到一个直角三角形中去.这时可指导学生首先运用切线的性质，连结过切点的半径o1a、o2b于是得到直角梯形o1abo2，只要过o1作o1c⊥o2b，便得到矩形o1abc，于是ab=o1c，o1c可在rt△o1co2中求得.练习一，当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成 [ ]a.直角三角形 b.等腰三角形.c.等边三角形 d.以上答案都不对.此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(d)练习二，外公切线是指(a)和两圆都相切的直线.(b)两切点间的距离(c)两圆在公切线两旁时的公切线(d)两圆在公切线同旁时的公切线直接运用外公切线的定义判断.答案：(d)例1 已知⊙o1、⊙o2的半径分别为2cm和7cm，圆心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2、的外公切线，切点分别是a、b.求：公切线的长ab.例题解法参考教材p.140例1.练习三 已知⊙o1、⊙o2的半径分别为15cm和5cm，它们外切于点t，外公切线ab与⊙o1、⊙o2分别切于点a、b.求外公切线长ab.
此题中因为两圆外切，所以圆心距⊙o1o2等于两半径之和.解：连结o1a、o2b，过点o2作o2c⊥o1a，垂足为c.四边形aco2b是矩形在rt△o1co2中：o1o2=20，o1c=10，三、课堂小结：为培养学生阅读教材的习惯，让学生看教材p.140至p.141，从中总结出本课学习的主要内容：1.两圆公切线等有关内容，注意概念之间质的区别.2.两圆外公切线长的求法.如图7-105求两圆的外公切线长ab.就是要把ab转化到rt△o1co2中.
rt△o1co2的三边分别由圆心距、两半径之差、外公切线长组成.这三个量中已知任意两个量，都可以求出第三个量.同时在rt△o1co2中，我们完全可以依据已知条件，用直角三角形的性质或三角函数求出锐角∠o2o1c来，从而得到两圆外公切线的夹角的度数：2∠o2o1c.3.两圆在外离、外切、相交时可求外公切线长.已知条件中的圆心距，两圆外离、相交时一定给出，而两圆外切时则不必给出，务必请同学注意.四、布置作业1.教材p.150中10.2.教材p.152中11
两圆的公切线 篇4
教学目标：1、使学生理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用；2.掌握辅助线规律，并能熟练应用.2、通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力.教学重点： 使学生学会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能熟练应用于几何题证明中.教学难点：在证明中学生引出辅助线后，新旧知识结合得不好，难以打开证题思路.教学过程：一、新课引入：我们已经学习了圆的切线在几何证明中的重要作用，这节课，我们来学习两圆公切线在证明中的作用.实际上两圆的公切线，对两圆起着一个桥梁的作用，首先，对于每一个圆，公切线都会产生切线的性质.另外公切线和过切点的两圆的弦，会产生弦切角定理运用的前提，从而把两个圆中的圆周角建立相等关系，我们有下面的例子.二、新课讲解：例4 教材p.144如图7-110，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b、c为切点.
求证：ab⊥ac.分析：题目中已知⊙o1和⊙2外切于点a.这是一个非常特殊的点，过点a我们引两圆的内公切线，产生了三种可能：①运用弦切角定理.②切线的性质定理.③切线长定理.在一道关于两圆相切的问题中，作出公切线后，还要针对已知条件，选择之，本例中已知两圆的外公切线bc，所以过点a的内公切线与之相交，必然产生切线长定理运用的前提，使问题得证.证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内公切线交bc于点o.练习一，p.145中2如图7-111，⊙o1和⊙o2相切于点t，直线ab、cd经过点t，交⊙o1于点a、c，交⊙o2于点b、d，求证：ac∥bd.
分析：欲证ac∥bd，须证∠a=∠b，图(1)中∠a和∠b是内错角，图(2)中∠a和∠b是同位角.而∠a和∠b从图形中的位置看是两个圆中的圆周角，必须存在第三个角，使∠a和∠b都与之相等，从而∠a和∠b相等.证明：过点t作两圆的内公切线te.练习二，p.153中14 已知：⊙o和⊙o′外切于点a，经过点a作直线bc和de，bc交⊙o于点b，交⊙o′于点c，de交⊙o于点d，交⊙o′于e，∠bad=40°，∠abd=70°，求∠aec的度数.
分析：已知⊙o中的圆周角求⊙o′中的圆周角，而两圆外切，作内公切线即可.解：过点a作⊙o和⊙o′的内公切线af.练习三，p.153中15.经过相内切的两圆的切点a作大圆的弦ad、ae，设ad、ae分别和小圆相交于b、c.求证：p.153中ab∶ac=ad∶ae.
分析：证比例线段，一是三角形相似，二是平行线.由题设两圆相切，可作出切线，证平行线所成比例线段.证明：连结bc、de.过点a作两圆的公切线af.三、课堂小结：学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面；(让学生自己总结，并全班交流).1.由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上.2.公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形.3.常用的辅助线：(1)两圆在各种情况下常考虑添连心线；(2)两圆外切时，常添内公切线；(3)两圆内切时，常添外公切线；(4)计算公切线长时，常平移公切线，使它过其中一个圆的圆心.四、布置作业：1.教材p.154中b组2.
两圆的公切线 篇5
第一课时 （一）
教学目标 ：
（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；
（2）培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想.
教学重点：
理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法.
教学难点 ：
两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆.
教学活动设计
（一）实际问题（引入）
很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象.（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）
（二）概念
1、概念：
教师引导学生自学.给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：
和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线.
(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线.
(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线.
(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.
2、理解概念：
(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?
(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?
(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长.但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点.
(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量.
（三）两圆的位置与公切线条数的关系
组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力.添写教材p143练习第2题表.
（四）应用、反思、总结
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半径分别为2cm和7cm，圆心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切线，切点分别是a、b.求：公切线的长ab.
分析：首先想到切线性质，故连结o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b.一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质.（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
过 o1作o1c⊥o2b，垂足为c，则四边形o1abc为矩形，
于是有
o1c⊥c o2，o1c=ab，o1a=cb.
在rt△o2co1和.
o1o2=13，o2c=o2b- o1a=5
ab=o1c= (cm).
反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法.
例2*、如图，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直线ab为，a、b为切点，若pa=8cm，pb=6cm，求切线ab的长.
分析：因为线段ab是△apb的一条边，在△apb中，已知pa和pb的长，只需先证明△pab是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解.证△pab是直角三角形，只需证△apb中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过p作cd如图，因为ab是，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap.因为∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此题得解.
解：过点p作cd
∵ ab是⊙o1和⊙o2的切线，a、b为切点
∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90° 即∠apb=90°
在 rt△apb中，ab2=ap2+bp2
说明：两圆相切时，常过切点作，沟通两圆中的角的关系.
（五）巩固练习
1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成( )
(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等边三角形 (d)以上答案都不对.
此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(d)
2、外公切线是指
(a)和两圆都祖切的直线 (b)两切点间的距离
(c)两圆在公切线两旁时的公切线 (d)两圆在公切线同旁时的公切线
直接运用外公切线的定义判断.答案：(d)
3、教材p141练习（略）
（六）小结（组织学生进行）
知识：、外公切线、内公切线及公切线的长概念；
能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；
思想：“转化”思想.
（七）作业 ：p151习题10，11.
第二课时 （二）
教学目标 ：
（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；
（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想.
教学重点：
两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法.
教学难点 ：
两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆.
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长.
（2）两圆的位置与公切线条数的关系.（构成数形对应，且一一对应）
（二）应用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一条内公切线，切点分别是a，b.
求：公切线的长ab。
组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力.
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
过 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延长线于c，
则o1c=ab，o1a=bc.
在rt△o2co1和.
o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6
∴o1c= (cm).
∴ab=8（cm）
反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量.注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形.
例2 （教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数.
解：(略)
反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法.它属于简单的数学建模.
组织学生进行，教师引导.
归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量.
， ；
（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决.
（三）巩固训练
教材p142练习第1题，教材p145练习第1题.
学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正.
（四）小结
（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题.公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；
（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；
（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角.
（五）作业
教材p153中12、13、14.
第三课时 （三）
教学目标 ：
（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；
（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力.
教学重点：
会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中.
教学难点 ：
综合知识的灵活应用和综合能力培养.
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）概念.
（2）切线的性质，弦切角等有关概念.
（二）公切线在解题中的应用
例1、如图，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b，c为切点.若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？
观察、度量实验（组织学生进行）
猜想：（学生猜想）∠bac=90°
证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内切线交bc于点o.
∵oa、ob是⊙o1的切线，
∴oa=ob.
同理oa=oc.
∴ oa=ob=oc.
∴∠bac=90°.
反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作是常见的一种作辅助线的方法.
例2、己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆的弦ab交小圆于c，d.
求证：∠apc＝∠bpd.
分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线o1o2，或作外公切线.
证明：过p点作mn.
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd.
反思：（1）作了两圆公切线mn后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了.要重视mn的“桥梁”作用.（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算.
拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）
己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆⊙o1的弦ab与小圆⊙o2相切于c点.
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4.
（三）练习
练习1、教材145练习第2题.
练习2、如图，已知两圆内切于p，大圆的弦ab切小圆于c，大圆的弦pd过c点.
求证：pa・pb=pd・pc.
证明：过点p作ef
∵ ab是小圆的切线，c为切点
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a ∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2 ∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴pa・pb=pd・pc
说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易.
（三）总结
学习了，应该掌握以下几个方面
1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上.
2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形.
3、常用的辅助线：
（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；
（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线.
4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结.
（四）作业 教材p151习题中15，b组2.
探究活动
问题：如图1，已知两圆相交于a、b，直线cd与两圆分别相交于c、e、f、d.
(1)用量角器量出∠eaf与∠cbd的大小，根据量得结果，请你猜想∠eaf与∠cbd的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论.
(2)当直线cd的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由.
(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点a”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明.
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°.证明略（如图作辅助线）.
说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，归傻贸霾孪耄 っ鞑孪氤闪 庖彩数学发现的一种方法.第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化.第(3)题中若cd移动到与两圆相切于点c、d，那么结论又将变为∠cad＝90°.
两圆的公切线 篇6
第一课时 （一）
教学目标 ：
（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；
（2）培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想.
教学重点：
理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法.
教学难点 ：
两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆.
教学活动设计
（一）实际问题（引入）
很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象.（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）
（二）概念
1、概念：
教师引导学生自学.给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：
和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线.
(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线.
(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线.
(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.
2、理解概念：
(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?
(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?
(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长.但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点.
(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量.
（三）两圆的位置与公切线条数的关系
组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力.添写教材p143练习第2题表.
（四）应用、反思、总结
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半径分别为2cm和7cm，圆心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切线，切点分别是a、b.求：公切线的长ab.
分析：首先想到切线性质，故连结o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b.一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质.（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
过 o1作o1c⊥o2b，垂足为c，则四边形o1abc为矩形，
于是有
o1c⊥c o2，o1c=ab，o1a=cb.
在rt△o2co1和.
o1o2=13，o2c=o2b- o1a=5
ab=o1c= (cm).
反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法.
例2*、如图，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直线ab为，a、b为切点，若pa=8cm，pb=6cm，求切线ab的长.
分析：因为线段ab是△apb的一条边，在△apb中，已知pa和pb的长，只需先证明△pab是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解.证△pab是直角三角形，只需证△apb中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过p作cd如图，因为ab是，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap.因为∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此题得解.
解：过点p作cd
∵ ab是⊙o1和⊙o2的切线，a、b为切点
∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90° 即∠apb=90°
在 rt△apb中，ab2=ap2+bp2
说明：两圆相切时，常过切点作，沟通两圆中的角的关系.
（五）巩固练习
1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成( )
(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等边三角形 (d)以上答案都不对.
此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(d)
2、外公切线是指
(a)和两圆都祖切的直线 (b)两切点间的距离
(c)两圆在公切线两旁时的公切线 (d)两圆在公切线同旁时的公切线
直接运用外公切线的定义判断.答案：(d)
3、教材p141练习（略）
（六）小结（组织学生进行）
知识：、外公切线、内公切线及公切线的长概念；
能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；
思想：“转化”思想.
（七）作业 ：p151习题10，11.
第二课时 （二）
教学目标 ：
（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；
（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想.
教学重点：
两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法.
教学难点 ：
两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆.
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长.
（2）两圆的位置与公切线条数的关系.（构成数形对应，且一一对应）
（二）应用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一条内公切线，切点分别是a，b.
求：公切线的长ab。
组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力.
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
过 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延长线于c，
则o1c=ab，o1a=bc.
在rt△o2co1和.
o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6
∴o1c= (cm).
∴ab=8（cm）
反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量.注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形.
例2 （教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数.
解：(略)
反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法.它属于简单的数学建模.
组织学生进行，教师引导.
归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量.
， ；
（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决.
（三）巩固训练
教材p142练习第1题，教材p145练习第1题.
学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正.
（四）小结
（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题.公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；
（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；
（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角.
（五）作业
教材p153中12、13、14.
第三课时 （三）
教学目标 ：
（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；
（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力.
教学重点：
会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中.
教学难点 ：
综合知识的灵活应用和综合能力培养.
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）概念.
（2）切线的性质，弦切角等有关概念.
（二）公切线在解题中的应用
例1、如图，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b，c为切点.若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？
观察、度量实验（组织学生进行）
猜想：（学生猜想）∠bac=90°
证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内切线交bc于点o.
∵oa、ob是⊙o1的切线，
∴oa=ob.
同理oa=oc.
∴ oa=ob=oc.
∴∠bac=90°.
反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作是常见的一种作辅助线的方法.
例2、己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆的弦ab交小圆于c，d.
求证：∠apc＝∠bpd.
分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线o1o2，或作外公切线.
证明：过p点作mn.
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd.
反思：（1）作了两圆公切线mn后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了.要重视mn的“桥梁”作用.（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算.
拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）
己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆⊙o1的弦ab与小圆⊙o2相切于c点.
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4.
（三）练习
练习1、教材145练习第2题.
练习2、如图，已知两圆内切于p，大圆的弦ab切小圆于c，大圆的弦pd过c点.
求证：pa・pb=pd・pc.
证明：过点p作ef
∵ ab是小圆的切线，c为切点
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a ∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2 ∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴pa・pb=pd・pc
说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易.
（三）总结
学习了，应该掌握以下几个方面
1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上.
2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形.
3、常用的辅助线：
（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；
（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线.
4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结.
（四）作业 教材p151习题中15，b组2.
探究活动
问题：如图1，已知两圆相交于a、b，直线cd与两圆分别相交于c、e、f、d.
(1)用量角器量出∠eaf与∠cbd的大小，根据量得结果，请你猜想∠eaf与∠cbd的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论.
(2)当直线cd的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由.
(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点a”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明.
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°.证明略（如图作辅助线）.
说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，归傻贸霾孪耄 っ鞑孪氤闪 庖彩数学发现的一种方法.第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化.第(3)题中若cd移动到与两圆相切于点c、d，那么结论又将变为∠cad＝90°.
两圆的公切线 篇7
第一课时 （一）
教学目标：
（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；
（2）培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想.
教学重点：
理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法.
教学难点：
两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆.
教学活动设计
（一）实际问题（引入）
很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象.（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）
（二）概念
1、概念：
教师引导学生自学.给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：
和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线.
(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线.
(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线.
(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.
2、理解概念：
(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?
(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?
(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长.但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点.
(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量.
（三）两圆的位置与公切线条数的关系
组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力.添写教材P143练习第2题表.
（四）应用、反思、总结
例1、已知：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B.求：公切线的长AB.
分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B.一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质.（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）
解：连结O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB.
过 O1作O1C⊥O2B，垂足为C，则四边形O1ABC为矩形，
于是有
O1C⊥C O2，O1C=AB，O1A=CB.
在Rt△O2CO1和.
O1O2=13，O2C=O2B- O1A=5
AB=O1C= (cm).
反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法.
例2*、如图，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直线AB为，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长.
分析：因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解.证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作CD如图，因为AB是，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP.因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此题得解.
解：过点P作CD
∵ AB是⊙O1和⊙O2的切线，A、B为切点
∴∠CPA=∠BAP ∠CPB=∠ABP
又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°
∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°
∴∠CPA+∠CPB=90° 即∠APB=90°
在 Rt△APB中，AB2=AP2+BP2
说明：两圆相切时，常过切点作，沟通两圆中的角的关系.
（五）巩固练习
1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成( )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)以上答案都不对.
此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)
2、外公切线是指
(A)和两圆都祖切的直线 (B)两切点间的距离
(C)两圆在公切线两旁时的公切线 (D)两圆在公切线同旁时的公切线
直接运用外公切线的定义判断.答案：(D)
3、教材P141练习（略）
（六）小结（组织学生进行）
知识：、外公切线、内公切线及公切线的长概念；
能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；
思想：“转化”思想.
（七）作业 ：P151习题10，11.
第 1 2 3 4 页
两圆的公切线 篇8
第一课时 （一）
教学目标 ：
（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；
（2）培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想.
教学重点：
理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法.
教学难点 ：
两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆.
教学活动设计
（一）实际问题（引入）
很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象.（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）
（二）概念
1、概念：
教师引导学生自学.给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：
和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线.
(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线.
(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线.
(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.
2、理解概念：
(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?
(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?
(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长.但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点.
(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量.
（三）两圆的位置与公切线条数的关系
组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力.添写教材p143练习第2题表.
（四）应用、反思、总结
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半径分别为2cm和7cm，圆心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切线，切点分别是a、b.求：公切线的长ab.
分析：首先想到切线性质，故连结o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b.一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质.（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
过 o1作o1c⊥o2b，垂足为c，则四边形o1abc为矩形，
于是有
o1c⊥c o2，o1c=ab，o1a=cb.
在rt△o2co1和.
o1o2=13，o2c=o2b- o1a=5
ab=o1c= (cm).
反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法.
例2*、如图，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直线ab为，a、b为切点，若pa=8cm，pb=6cm，求切线ab的长.
分析：因为线段ab是△apb的一条边，在△apb中，已知pa和pb的长，只需先证明△pab是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解.证△pab是直角三角形，只需证△apb中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过p作cd如图，因为ab是，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap.因为∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此题得解.
解：过点p作cd
∵ ab是⊙o1和⊙o2的切线，a、b为切点
∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90° 即∠apb=90°
在 rt△apb中，ab2=ap2+bp2
说明：两圆相切时，常过切点作，沟通两圆中的角的关系.
（五）巩固练习
1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成( )
(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等边三角形 (d)以上答案都不对.
此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(d)
2、外公切线是指
(a)和两圆都祖切的直线 (b)两切点间的距离
(c)两圆在公切线两旁时的公切线 (d)两圆在公切线同旁时的公切线
直接运用外公切线的定义判断.答案：(d)
3、教材p141练习（略）
（六）小结（组织学生进行）
知识：、外公切线、内公切线及公切线的长概念；
能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；
思想：“转化”思想.
（七）作业 ：p151习题10，11.
第二课时 （二）
教学目标 ：
（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；
（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想.
教学重点：
两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法.
教学难点 ：
两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆.
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长.
（2）两圆的位置与公切线条数的关系.（构成数形对应，且一一对应）
（二）应用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一条内公切线，切点分别是a，b.
求：公切线的长ab。
组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力.
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
过 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延长线于c，
则o1c=ab，o1a=bc.
在rt△o2co1和.
o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6
∴o1c=(cm).
∴ab=8（cm）
反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量.注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形.
例2 （教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数.
解：(略)
反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法.它属于简单的数学建模.
组织学生进行，教师引导.
归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量.
， ；
（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决.
（三）巩固训练
教材p142练习第1题，教材p145练习第1题.
学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正.
（四）小结
（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题.公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；
（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；
（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角.
（五）作业
教材p153中12、13、14.
第三课时 （三）
教学目标 ：
（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；
（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力.
教学重点：
会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中.
教学难点 ：
综合知识的灵活应用和综合能力培养.
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）概念.
（2）切线的性质，弦切角等有关概念.
（二）公切线在解题中的应用
例1、如图，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b，c为切点.若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？
观察、度量实验（组织学生进行）
猜想：（学生猜想）∠bac=90°
证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内切线交bc于点o.
∵oa、ob是⊙o1的切线，
∴oa=ob.
同理oa=oc.
∴ oa=ob=oc.
∴∠bac=90°.
反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作是常见的一种作辅助线的方法.
例2、己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆的弦ab交小圆于c，d.
求证：∠apc＝∠bpd.
分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线o1o2，或作外公切线.
证明：过p点作mn.
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd.
反思：（1）作了两圆公切线mn后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了.要重视mn的“桥梁”作用.（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算.
拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）
己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆⊙o1的弦ab与小圆⊙o2相切于c点.
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4.
（三）练习
练习1、教材145练习第2题.
练习2、如图，已知两圆内切于p，大圆的弦ab切小圆于c，大圆的弦pd过c点.
求证：pa・pb=pd・pc.
证明：过点p作ef
∵ ab是小圆的切线，c为切点
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a ∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2 ∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴pa・pb=pd・pc
说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易.
（三）总结
学习了，应该掌握以下几个方面
1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上.
2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形.
3、常用的辅助线：
（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；
（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线.
4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结.
（四）作业 教材p151习题中15，b组2.
探究活动
问题：如图1，已知两圆相交于a、b，直线cd与两圆分别相交于c、e、f、d.
(1)用量角器量出∠eaf与∠cbd的大小，根据量得结果，请你猜想∠eaf与∠cbd的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论.
(2)当直线cd的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由.
(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点a”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明.
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°.证明略（如图作辅助线）.
说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，归傻贸霾孪耄 っ鞑孪氤闪 庖彩数学发现的一种方法.第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化.第(3)题中若cd移动到与两圆相切于点c、d，那么结论又将变为∠cad＝90°.
两圆的公切线 篇9
第一课时 两圆的公切线（一）
教学目标 ：
（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；
（2）培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想.
教学重点：
理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法.
教学难点 ：
两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆.
教学活动设计
（一）实际问题（引入）
很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象.（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）
（二）两圆的公切线概念
1、概念：
教师引导学生自学.给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：
和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线.
(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线.
(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线.
(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.
2、理解概念：
(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?
(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?
(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长.但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点.
(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量.
（三）两圆的位置与公切线条数的关系
组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力.添写教材p143练习第2题表.
（四）应用、反思、总结
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半径分别为2cm和7cm，圆心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切线，切点分别是a、b.求：公切线的长ab.
分析：首先想到切线性质，故连结o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b.一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质.（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
过 o1作o1c⊥o2b，垂足为c，则四边形o1abc为矩形，
于是有
o1c⊥c o2，o1c=ab，o1a=cb.
在rt△o2co1和.
o1o2=13，o2c=o2b- o1a=5
ab=o1c= (cm).
反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法.
例2*、如图，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直线ab为两圆的公切线，a、b为切点，若pa=8cm，pb=6cm，求切线ab的长.
分析：因为线段ab是△apb的一条边，在△apb中，已知pa和pb的长，只需先证明△pab是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解.证△pab是直角三角形，只需证△apb中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过p作两圆的公切线cd如图，因为ab是两圆的公切线，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap.因为∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此题得解.
解：过点p作两圆的公切线cd
∵ ab是⊙o1和⊙o2的切线，a、b为切点
∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90° 即∠apb=90°
在 rt△apb中，ab2=ap2+bp2
说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系.
（五）巩固练习
1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成( )
(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等边三角形 (d)以上答案都不对.
此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(d)
2、外公切线是指
(a)和两圆都祖切的直线 (b)两切点间的距离
(c)两圆在公切线两旁时的公切线 (d)两圆在公切线同旁时的公切线
直接运用外公切线的定义判断.答案：(d)
3、教材p141练习（略）
（六）小结（组织学生进行）
知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；
能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；
思想：“转化”思想.
（七）作业 ：p151习题10，11.
第二课时 两圆的公切线（二）
教学目标 ：
（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；
（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想.
教学重点：
两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法.
教学难点 ：
两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆.
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长.
（2）两圆的位置与公切线条数的关系.（构成数形对应，且一一对应）
（二）应用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一条内公切线，切点分别是a，b.
求：公切线的长ab。
组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力.
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
过 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延长线于c，
则o1c=ab，o1a=bc.
在rt△o2co1和.
o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6
∴o1c=(cm).
∴ab=8（cm）
反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量.注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形.
例2 （教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数.
解：(略)
反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法.它属于简单的数学建模.
组织学生进行，教师引导.
归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量.
， ；
（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决.
（三）巩固训练
教材p142练习第1题，教材p145练习第1题.
学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正.
（四）小结
（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题.公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；
（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；
（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角.
（五）作业
教材p153中12、13、14.
第三课时 两圆的公切线（三）
教学目标 ：
（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；
（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力.
教学重点：
会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中.
教学难点 ：
综合知识的灵活应用和综合能力培养.
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）两圆的公切线概念.
（2）切线的性质，弦切角等有关概念.
（二）公切线在解题中的应用
例1、如图，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b，c为切点.若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？
观察、度量实验（组织学生进行）
猜想：（学生猜想）∠bac=90°
证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内切线交bc于点o.
∵oa、ob是⊙o1的切线，
∴oa=ob.
同理oa=oc.
∴ oa=ob=oc.
∴∠bac=90°.
反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作两圆的公切线是常见的一种作辅助线的方法.
例2、己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆的弦ab交小圆于c，d.
求证：∠apc＝∠bpd.
分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线o1o2，或作外公切线.
证明：过p点作两圆的公切线mn.
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd.
反思：（1）作了两圆公切线mn后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了.要重视mn的“桥梁”作用.（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算.
拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）
己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆⊙o1的弦ab与小圆⊙o2相切于c点.
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4.
（三）练习
练习1、教材145练习第2题.
练习2、如图，已知两圆内切于p，大圆的弦ab切小圆于c，大圆的弦pd过c点.
求证：pa·pb=pd·pc.
证明：过点p作两圆的公切线ef
∵ ab是小圆的切线，c为切点
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a ∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2 ∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴pa·pb=pd·pc
说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易.
（三）总结
学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面
1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上.
2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形.
3、常用的辅助线：
（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；
（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线.
4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结.
（四）作业 教材p151习题中15，b组2.
探究活动
问题：如图1，已知两圆相交于a、b，直线cd与两圆分别相交于c、e、f、d.
(1)用量角器量出∠eaf与∠cbd的大小，根据量得结果，请你猜想∠eaf与∠cbd的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论.
(2)当直线cd的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由.
(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点a”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明.
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°.证明略（如图作辅助线）.
说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，归傻贸霾孪耄 っ鞑孪氤闪 庖彩数学发现的一种方法.第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化.第(3)题中若cd移动到与两圆相切于点c、d，那么结论又将变为∠cad＝90°.
