正多边形和圆

正多边形和圆

教学设计示例1

教学目标：

（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；

（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；

（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．

教学重点：

正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．

教学难点：

对定理的理解以及定理的证明方法．

教学活动设计：

（一）观察、分析、归纳：

观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？

2．正方形的边、角各有什么性质？

归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．

教师组织学生进行，并可以提问学生问题．

（二）正多边形的概念：

（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

（2）概念理解：

①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）

②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．

（三）分析、发现：

问题：正多边形与圆有什么关系呢？

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？

（四）多边形和圆的关系的定理

定理：把圆分成n(n≥3)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．

我们以n=5的情况进行证明．

已知：⊙O中， = = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．

求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；

（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．

证明：（略）

引导学生分析、归纳证明思路：

弧相等

说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．

（五）初步应用

P157练习

1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?

2．求证：正五边形的对角线相等．

3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．

（六）小结：

知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．

能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力

（七）作业 教材P172习题A组2、3．
教学设计示例2

教学目标：

（1）理解正多边形与圆的关系定理；

（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；

（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；

教学重点：

理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．

教学难点：

对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．

教学活动设计：

（一）提出问题：

问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？

（二）实践与探究：

组织学生自己完成以下活动．

实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？

探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．)

（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？

（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？

（三）拓展、推理、归纳：

（1）拓展、推理：

过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．

  同理，点E在⊙O上．

所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．

因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．

（2）归纳：

正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上

它的任意三个顶点确定一个圆

，即确定了圆心和半径．

其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．

正五边形的各顶点共圆．

正五边形有外接圆．

圆心到各边的距离相等．

正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．

照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．

定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于 ．

（3）巩固练习：

1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．

4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．

（四）正多边形的性质：

1、各边都相等．

2、各角都相等．

观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？

3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．

4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．

（五）总结

知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．

能力：探索、推理、归纳等能力．

方法：证明点共圆的方法．

（六）作业  P159中练习1、2、3．

教学设计示例3

教学目标：

（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；

（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；

（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．

教学重点：

综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．

教学难点：综合运用知识证题．

教学活动设计：

（一）知识回顾

1．什么叫做正多边形？

2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？

3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)

4．正n边形的每个中心角都等于 ．

5．正多边形的有关的定理．

（二）例题研究：

例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．

已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求证：五边形ABCDE是正五边形．

分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．

教师引导学生分析，学生动手证明．

证法1：连结OA、OB、OC，

∵五边形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理  BC=CD=DE=EA．

∴五边形ABCDE是正五边形．

证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C ∠1=∠2 = ．

同理  = = = ，

即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形ABCDE是正五边形．

反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．

此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。

拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）

分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法．

拓展2：已知：如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N．

求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）

学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬．

例2、已知：正六边形ABCDEF．

求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．

作法：1过A、B、C三点作⊙O．⊙O就是所求作的正六边形的外接圆．

2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半

径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．

用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆．

练习：P161

1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．

2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例．

(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；

(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆．

（三）小结

知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法．

能力与方法：重点复习了正多边形的判定．正多边形的外接圆与内切圆的画法．

（四）作业

教材P172习题4、5；另A层学生：P174B组3、4．

探究活动

折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形．

（提示：①对折；②再折使A、B、C分别与O点重合即可）

（2）想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形．

（提示：可以．主要应用把一个直角三等分的原理．参考图形如下：

①对折成小正方形ABCD；

②对折小正方形ABCD的中线；

③对折使点B在小正方形ABCD的中线上（即B’）；

④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形．）

探究问题：

（安徽省2002）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；

乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形,    形， = = ，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；

丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能也 是正多边形．

(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．

(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证)．

(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明)．

（1）[说明]

（2）[证明]

（3）[猜想]

解：（1）由图知∠AFC对 ．因为 = ，而∠DAF对的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．

同理可证，其余各角都等于∠AFC．所以，图1中六边形各内角相．

（2）因为∠A对 ，∠B对 ，又因为∠A=∠B，所以 = ．所以  = ．

同理 = = = = = = ．所以　七边形ABCDEFG是正七边形．

猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，……时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形．