第 2 课时 法拉第电磁感应定律
基础知识归纳
1.法拉第电磁感应定律
(1)内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比.
(2)表达式：E＝NΔΦ/Δt.
2.对法拉第电磁感应定律的理解
(1)E＝NΔΦ/Δt中，N为线圈匝数，本式是确定感应电动势的普遍规律，回路可以不闭合.
(2)E＝NΔΦ/Δt中，ΔΦ总是取绝对值，E的大小是由线圈匝数及磁通量的变化率决定的，与Φ或ΔΦ的大小无必然联系.
(3)E＝NΔΦ/Δt一般用以求Δt时间内感应电动势的平均值，依I＝E/R及q＝IΔt可进一步求平均电流及Δt时间内通过回路某横截面积的电荷量，但一般不能依平均电流计算电路中电流所做的功以及电路中产生的电热.
(4)ΔΦ/Δt的常见几种计算式：ΔΦ/Δt＝ BΔS/Δt＝SΔB/Δt .
3.导体切割磁感线运动时产生感应电动势
(1)E＝BLv
(2)E＝BLvsin θ
4.对E＝BLv的理解
(1)上式只适用于导体各点以相同速度在匀强磁场中切割磁感线的情况，且L、v与B两两垂直.
(2)当L垂直B、L垂直v，而v与B成θ角时，导体切割磁感线产生的感应电动势大小为E＝BLvsinθ.
(3)若导线是曲折的，或L与v不垂直时，则L应为导线的有效切割长度，即导线两端点v、B所决定平面的垂线上的投影长度，如右图所示，三种情况下感应电动势大小相同.
(4)公式E＝BLv中，若v为一段时间内的平均速度，则E为平均感应电动势，若v为某时刻的切割速度，则E为瞬时感应电动势.
(5)导体转动切割磁感线产生感应电动势，当导体在垂直于磁场的平面内，绕一端以角速度ω匀速转动切割磁感线产生感应电动势时，E＝BLv平＝12BL2ω.
重点难点突破
一、两种求电动势的方法E＝NΔΦ/Δt和E＝BLvsin θ有什么不同
1.研究对象不同：前者是一个回路(不一定闭合)，后者是一段直导线(或能等效为直导线).
2.适用范围不同：E＝NΔΦ/Δt具有普遍性，BLvsin θ只适用于导体切割磁感线的情况.前者计算的是在Δt时间内的平均电动势，只有当Δt→0或磁通量的变化率是恒定不变时，它算出的才是瞬时电动势；E＝Blvsin θ中的v若为瞬时速度，则算出的就是瞬时电动势，若v为平均速度，算出的就是平均电动势.
二、什么是动生电动势和感生电动势
1.由于导体运动而产生动生电动势时，运动部分的导体相当于电源；由于磁场变化产生感生电动势时，磁场穿过的线圈部分相当于电源.
2.动生电动势和感生电动势具有相对性
动生电动势和感生电动势的划分，在某些情况下只有相对意义.将条形磁铁插入线圈中，如果在相对于磁铁静止的参考系内观察，磁铁不动，空间各点的磁场也没有发生变化，而线圈在运动，线圈中的电动势是动生的；但是，如果在相对于线圈静止的参考系内观察，则看到磁铁在运动，引起空间磁场发生变化，因而，线圈中的电动势又是感生的.在这种情况下，究竟把电动势看做是动生的还是感生的，决定于观察者所在的参考系.然而，并不是在任何情况下都能通过转换参考系把一种电动势归结为另一种电动势.不管是对哪一种电动势，法拉第电磁感应定律、楞次定律都成立.
三、怎样求解导体棒转动切割磁感线的电动势
方法一：利用公式E＝NΔΦ/Δt
设导体棒长为L，绕O点转动角速度为ω，则在t时间内，其扫过一扇形面积S＝12ωtL2
则由公式得E＝ = BωL2
方法二：利用公式E＝BLv
上图中O点速度v0＝0，A点速度vA＝ωL
则由公式E＝BLv，其中v取平均速度，得
E＝BL?12ωL＝12BωL2
典例精析
1.感生电动势的求解
【例1】如图甲所示，在周期性变化的匀强磁场区域内有一垂直于磁场、半径为r＝1 m、电阻为R＝3.14 Ω的金属单匝圆型线圈，若规定逆时针方向的电流为正方向，B垂直于纸面向里为正，当磁场按图乙所示的规律变化时，线圈中产生的感应电流图象正确的是( )
【解析】首先由楞次定律判断感应电流方向，在0～1 s内，磁通量正向增大，感应磁场垂直纸面向外，电流为逆时针，为正向电流，又由法拉第电磁感应定律E＝n ?S得E＝2πr2，I＝ER得I＝2 A，在1 s～3 s内，磁场正向减小，感应电流为负，故答案选B.
【答案】B
【思维提升】线圈面积不变时，磁场均匀变化会产生一恒定电流，还应注意电流方向随时间变化.
【拓展1】两个用相同制成的粗细相同的圆环如图所示连接，其半径之比rA∶rB＝2∶1.先单独将A环置于均匀变化的磁场中，测得P、Q两点间电压为U1，再单独将B环置于同一均匀变化的磁场中，测得P、Q两点间的电压为U2，则U1∶U2＝ 2∶1 (连接处电阻不计).
【解析】当单独将A环置于磁场中时，A环产生感应电动势E＝ ?SA，U1＝ERA＋RB?RB＝ πr2A?RBRA＋RB
RB∶RA＝rB∶rA＝1∶2
当单独让B环置于磁场中时，B环相当于电源，此时P、Q两点间的电压为A环电阻上的分电压，有
U2＝ πr
故
2.动生电动势的求解
【例2】如图所示，水平放置的平行金属导轨，相距L＝0.50 m，左端接一电阻R＝0.20 Ω，磁感应强度B＝0.40 T，方向垂直于导轨平面的匀强磁场，导体棒ab垂直放在导轨上，并能无摩擦地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计，当ab以v＝4.0 m/s的速度水平向右匀速滑动时，求：(结果保留两位有效数字)
(1)ab棒中感应电动势的大小，并指出a、b哪端电势高；
(2)回路中感应电流的大小；
(3)维持ab棒做匀速运动的水平外力F的大小.
【解析】(1)根据法拉第电磁感应定律，ab棒中的感应电动势为E＝BLv＝0.40×0.50×4.0 V＝0.80 V
根据右手定则可判定感应电流的方向为由b→a，所以a端电势高.
(2)感应电流大小为I＝ER＝0.800.20 A＝4.0 A
(3)由于ab棒受安培力，故外力
F＝ILB＝4.0×0.50×0.40 N＝0.80 N
故外力的大小为0.80 N
【思维提升】把产生动生电动势部分当做电源，电源正极就是电势较高的点.ab棒受力平衡是因为外力与安培力等大反向，可用二力平衡求出外力.
【拓展2】若将例2中右图改为如图所示，其他条件不变，试探究分析：
(1)ab棒中感应电动势的大小；
(2)回路中感应电流的大小；
(3)维持ab棒做匀速运动的外力F的大小和方向.比较一下，两种情况相同吗？
【解析】(1)能够引起感应电流的电动势是ab间产生的电动势，有效切割长度不是L，而是 ＝2L
根据法拉第电磁感应定律，得
E＝2BLv＝2×0.40×0.50×4.0 V＝1.6 V
(2)感应电流大小I＝ER＝0.160.20 A＝8.0 A
(3)外力F＝I?2L?B＝3.2 N，外力F的方向与v相同.通过计算可以发现，两种情况下，感应电动势、感应电流均增加了1倍，外力F增加到4倍，外力方向也发生了改变.
3.平均电动势、瞬时电动势及电动势有效值
【例3】如图所示，边长为a，总电阻为R的闭合正方形单匝线框，放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁感线与线框平面垂直.当线框由图示位置以ω的角速度转过180°角的过程中，
(1)磁通量变化量为多大？
(2)线框中的平均电动势多大？平均电流多大？
(3)流过线框导线横截面的电荷量是多少？
(4)线框中产生多少热量？
【解析】(1)ΔΦ＝BS－(－BS)＝2Ba2
(2)E－＝ ＝
I－＝E－R＝
(3)q＝I－Δt＝ ＝
(4)Q＝ ?Δt，注意，此时E必须用有效值，故
Q＝( )2?Δt/R＝ ＝
【思维提升】流过横截面的电荷量可以用平均电流求解，但线框发热量不能用平均电流，而要用有效值求解.
【拓展3】如图所示，边长为a的正方形闭合线框ABCD在匀强磁场中绕AB边匀速转动，磁感应强度为B，初始时刻线框所在平面与磁感线垂直，经过t时间后转过120°角，求：
(1)线框内感应电动势在t时间内的平均值；
(2)转过120°角时感应电动势的瞬时值.
【解析】(1)因为Φ1＝Ba2，Φ2＝－12Ba2
所以ΔΦ＝32Ba2
则E－＝ ＝
(2)线框转过120°这一时刻，CD边的线速度v＝ ，速度方向与磁场方向的夹角θ＝60°，所以E瞬＝BLvsin θ＝
易错门诊
4.电磁感应中电势高低的判断
【例4】如图所示，圆形线圈中串联了一个平行板电容器，线圈内有磁场，磁通量Φ随时间按正弦规律变化.以垂直纸面向里的磁场为正，从t＝0时刻开始，在平行板电容器中点释放一个电子，若电子在运动中不会碰到板，关于电子在一个周期内的加速度的判断正确的是( )
A.第二个T/4内，加速度方向向上，大小越来越小
B.第二个T/4内，加速度方向向上，大小越来越大
C.第三个T/4内，加速度方向向下，大小越来越大
D.第三个T/4内，加速度方向向下，大小越来越小
【错解】第二个T/4内，磁通量正向减小，感应磁场与原方向相同，感应电动势为顺时针，故上板电势高，带正电，电子加速度向上，磁通量减小，电子加速度越来越小，A对，第三个T/4内，磁通量垂直向外增大，电动势也为顺时针，加速度仍然向上，故C、D均错，B对.
【错因】把产生感应电动势的部分回路当成外电路处理.
【正解】第二个1/4周期内，磁感应强度向里减小(磁通量减小)，若有感应电流，其磁场方向应向里，感应电流方向为顺时针方向，则电容器下极板带正电，电子的加速度方向向下，由于B的变化越来越快，感应电动势越来越大，板间的电场强度越来越大，电子的加速度也越来越大，故A、B均错.第三个1/4周期内，磁通量向外增加，感应电流的磁场仍向里，电子的加速度方向向下，由于Φ变化越来越慢，则电动势越来越小，加速度也越来越小，故C错，D对.
【答案】D
基础知识归纳
1.法拉第电磁感应定律
(1)内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比.
(2)表达式：E＝NΔΦ/Δt.
2.对法拉第电磁感应定律的理解
(1)E＝NΔΦ/Δt中，N为线圈匝数，本式是确定感应电动势的普遍规律，回路可以不闭合.
(2)E＝NΔΦ/Δt中，ΔΦ总是取绝对值，E的大小是由线圈匝数及磁通量的变化率决定的，与Φ或ΔΦ的大小无必然联系.
(3)E＝NΔΦ/Δt一般用以求Δt时间内感应电动势的平均值，依I＝E/R及q＝IΔt可进一步求平均电流及Δt时间内通过回路某横截面积的电荷量，但一般不能依平均电流计算电路中电流所做的功以及电路中产生的电热.
(4)ΔΦ/Δt的常见几种计算式：ΔΦ/Δt＝ BΔS/Δt＝SΔB/Δt .
3.导体切割磁感线运动时产生感应电动势
(1)E＝BLv
(2)E＝BLvsin θ
4.对E＝BLv的理解
(1)上式只适用于导体各点以相同速度在匀强磁场中切割磁感线的情况，且L、v与B两两垂直.
(2)当L垂直B、L垂直v，而v与B成θ角时，导体切割磁感线产生的感应电动势大小为E＝BLvsinθ.
(3)若导线是曲折的，或L与v不垂直时，则L应为导线的有效切割长度，即导线两端点v、B所决定平面的垂线上的投影长度，如右图所示，三种情况下感应电动势大小相同.
(4)公式E＝BLv中，若v为一段时间内的平均速度，则E为平均感应电动势，若v为某时刻的切割速度，则E为瞬时感应电动势.
(5)导体转动切割磁感线产生感应电动势，当导体在垂直于磁场的平面内，绕一端以角速度ω匀速转动切割磁感线产生感应电动势时，E＝BLv平＝12BL2ω.
重点难点突破
一、两种求电动势的方法E＝NΔΦ/Δt和E＝BLvsin θ有什么不同
1.研究对象不同：前者是一个回路(不一定闭合)，后者是一段直导线(或能等效为直导线).
2.适用范围不同：E＝NΔΦ/Δt具有普遍性，BLvsin θ只适用于导体切割磁感线的情况.前者计算的是在Δt时间内的平均电动势，只有当Δt→0或磁通量的变化率是恒定不变时，它算出的才是瞬时电动势；E＝Blvsin θ中的v若为瞬时速度，则算出的就是瞬时电动势，若v为平均速度，算出的就是平均电动势.
二、什么是动生电动势和感生电动势
1.由于导体运动而产生动生电动势时，运动部分的导体相当于电源；由于磁场变化产生感生电动势时，磁场穿过的线圈部分相当于电源.
2.动生电动势和感生电动势具有相对性
动生电动势和感生电动势的划分，在某些情况下只有相对意义.将条形磁铁插入线圈中，如果在相对于磁铁静止的参考系内观察，磁铁不动，空间各点的磁场也没有发生变化，而线圈在运动，线圈中的电动势是动生的；但是，如果在相对于线圈静止的参考系内观察，则看到磁铁在运动，引起空间磁场发生变化，因而，线圈中的电动势又是感生的.在这种情况下，究竟把电动势看做是动生的还是感生的，决定于观察者所在的参考系.然而，并不是在任何情况下都能通过转换参考系把一种电动势归结为另一种电动势.不管是对哪一种电动势，法拉第电磁感应定律、楞次定律都成立.
三、怎样求解导体棒转动切割磁感线的电动势
方法一：利用公式E＝NΔΦ/Δt
设导体棒长为L，绕O点转动角速度为ω，则在t时间内，其扫过一扇形面积S＝12ωtL2
则由公式得E＝ = BωL2
方法二：利用公式E＝BLv
上图中O点速度v0＝0，A点速度vA＝ωL
则由公式E＝BLv，其中v取平均速度，得
E＝BL?12ωL＝12BωL2
典例精析
1.感生电动势的求解
【例1】如图甲所示，在周期性变化的匀强磁场区域内有一垂直于磁场、半径为r＝1 m、电阻为R＝3.14 Ω的金属单匝圆型线圈，若规定逆时针方向的电流为正方向，B垂直于纸面向里为正，当磁场按图乙所示的规律变化时，线圈中产生的感应电流图象正确的是( )
【解析】首先由楞次定律判断感应电流方向，在0～1 s内，磁通量正向增大，感应磁场垂直纸面向外，电流为逆时针，为正向电流，又由法拉第电磁感应定律E＝n ?S得E＝2πr2，I＝ER得I＝2 A，在1 s～3 s内，磁场正向减小，感应电流为负，故答案选B.
【答案】B
【思维提升】线圈面积不变时，磁场均匀变化会产生一恒定电流，还应注意电流方向随时间变化.
【拓展1】两个用相同制成的粗细相同的圆环如图所示连接，其半径之比rA∶rB＝2∶1.先单独将A环置于均匀变化的磁场中，测得P、Q两点间电压为U1，再单独将B环置于同一均匀变化的磁场中，测得P、Q两点间的电压为U2，则U1∶U2＝ 2∶1 (连接处电阻不计).
【解析】当单独将A环置于磁场中时，A环产生感应电动势E＝ ?SA，U1＝ERA＋RB?RB＝ πr2A?RBRA＋RB
RB∶RA＝rB∶rA＝1∶2
当单独让B环置于磁场中时，B环相当于电源，此时P、Q两点间的电压为A环电阻上的分电压，有
U2＝ πr
故
2.动生电动势的求解
【例2】如图所示，水平放置的平行金属导轨，相距L＝0.50 m，左端接一电阻R＝0.20 Ω，磁感应强度B＝0.40 T，方向垂直于导轨平面的匀强磁场，导体棒ab垂直放在导轨上，并能无摩擦地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计，当ab以v＝4.0 m/s的速度水平向右匀速滑动时，求：(结果保留两位有效数字)
(1)ab棒中感应电动势的大小，并指出a、b哪端电势高；
(2)回路中感应电流的大小；
(3)维持ab棒做匀速运动的水平外力F的大小.
【解析】(1)根据法拉第电磁感应定律，ab棒中的感应电动势为E＝BLv＝0.40×0.50×4.0 V＝0.80 V
根据右手定则可判定感应电流的方向为由b→a，所以a端电势高.
(2)感应电流大小为I＝ER＝0.800.20 A＝4.0 A
(3)由于ab棒受安培力，故外力
F＝ILB＝4.0×0.50×0.40 N＝0.80 N
故外力的大小为0.80 N
【思维提升】把产生动生电动势部分当做电源，电源正极就是电势较高的点.ab棒受力平衡是因为外力与安培力等大反向，可用二力平衡求出外力.
【拓展2】若将例2中右图改为如图所示，其他条件不变，试探究分析：
(1)ab棒中感应电动势的大小；
(2)回路中感应电流的大小；
(3)维持ab棒做匀速运动的外力F的大小和方向.比较一下，两种情况相同吗？
【解析】(1)能够引起感应电流的电动势是ab间产生的电动势，有效切割长度不是L，而是 ＝2L
根据法拉第电磁感应定律，得
E＝2BLv＝2×0.40×0.50×4.0 V＝1.6 V
(2)感应电流大小I＝ER＝0.160.20 A＝8.0 A
(3)外力F＝I?2L?B＝3.2 N，外力F的方向与v相同.通过计算可以发现，两种情况下，感应电动势、感应电流均增加了1倍，外力F增加到4倍，外力方向也发生了改变.
3.平均电动势、瞬时电动势及电动势有效值
【例3】如图所示，边长为a，总电阻为R的闭合正方形单匝线框，放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁感线与线框平面垂直.当线框由图示位置以ω的角速度转过180°角的过程中，
(1)磁通量变化量为多大？
(2)线框中的平均电动势多大？平均电流多大？
(3)流过线框导线横截面的电荷量是多少？
(4)线框中产生多少热量？
【解析】(1)ΔΦ＝BS－(－BS)＝2Ba2
(2)E－＝ ＝
I－＝E－R＝
(3)q＝I－Δt＝ ＝
(4)Q＝ ?Δt，注意，此时E必须用有效值，故
Q＝( )2?Δt/R＝ ＝
【思维提升】流过横截面的电荷量可以用平均电流求解，但线框发热量不能用平均电流，而要用有效值求解.
【拓展3】如图所示，边长为a的正方形闭合线框ABCD在匀强磁场中绕AB边匀速转动，磁感应强度为B，初始时刻线框所在平面与磁感线垂直，经过t时间后转过120°角，求：
(1)线框内感应电动势在t时间内的平均值；
(2)转过120°角时感应电动势的瞬时值.
【解析】(1)因为Φ1＝Ba2，Φ2＝－12Ba2
所以ΔΦ＝32Ba2
则E－＝ ＝
(2)线框转过120°这一时刻，CD边的线速度v＝ ，速度方向与磁场方向的夹角θ＝60°，所以E瞬＝BLvsin θ＝
易错门诊
4.电磁感应中电势高低的判断
【例4】如图所示，圆形线圈中串联了一个平行板电容器，线圈内有磁场，磁通量Φ随时间按正弦规律变化.以垂直纸面向里的磁场为正，从t＝0时刻开始，在平行板电容器中点释放一个电子，若电子在运动中不会碰到板，关于电子在一个周期内的加速度的判断正确的是( )
A.第二个T/4内，加速度方向向上，大小越来越小
B.第二个T/4内，加速度方向向上，大小越来越大
C.第三个T/4内，加速度方向向下，大小越来越大
D.第三个T/4内，加速度方向向下，大小越来越小
【错解】第二个T/4内，磁通量正向减小，感应磁场与原方向相同，感应电动势为顺时针，故上板电势高，带正电，电子加速度向上，磁通量减小，电子加速度越来越小，A对，第三个T/4内，磁通量垂直向外增大，电动势也为顺时针，加速度仍然向上，故C、D均错，B对.
【错因】把产生感应电动势的部分回路当成外电路处理.
【正解】第二个1/4周期内，磁感应强度向里减小(磁通量减小)，若有感应电流，其磁场方向应向里，感应电流方向为顺时针方向，则电容器下极板带正电，电子的加速度方向向下，由于B的变化越来越快，感应电动势越来越大，板间的电场强度越来越大，电子的加速度也越来越大，故A、B均错.第三个1/4周期内，磁通量向外增加，感应电流的磁场仍向里，电子的加速度方向向下，由于Φ变化越来越慢，则电动势越来越小，加速度也越来越小，故C错，D对.
【答案】D
