第三课时 圆周运动
【教学要求】
1．掌握匀速圆周运动的v、ω、T、f、a 等概念，并知道它们之间的关系；
2．理解匀速圆周运动的向心力；
3．会运用用顿第二定律解决匀速圆周运动的问题。
【知识再现】
一、匀速圆周运动
1．定义：做圆周运动的质点，若在相等的时间里通过的______________相等，就是匀速圆周运动。
2．运动学特征：线速度大小不变，周期不变；角速度大小不变；向心加速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变加速运动。
二、描述圆周运动的物理量
1．线速度
（1）方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧在该点的____________方向。
（2）大小：v=s/t（s是t内通过的弧长）
2．角速度
大小：ω=θ/t (rad/s), 是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的_________
3．周期T、频率f
（1）做圆周运动的物体运动一周所用的_______叫做周期
（2）做圆周运动的物体_____________时间内绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速。
（3）实际中所说的转数是指做匀速圆周运动的物体每分钟转过的圈数，用n表示
4． v 、ω、T、f的关系：_____________________
5．向心加速度
（1）物理意义：描述_____________改变的快慢。
（2）大小：a=v2/r=rω2
（3）方向：总是指向_________，与线速度方向________,方向时刻发生变化。
6．向心力
（1）作用效果：产生向心加速度，不断改变物体的速度方向，维持物体做圆周运动。
（2）大小：F=ma向=m v2/r=mrω2
（3）产生：向心力是按___________命名的力，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力实际情况判定。
三、离心现象及其应用
1．离心运动：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的_______________的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。
2．离心运动的应用和防止
（1）利用离心运动制成离心机械，如：离心干燥器、“棉花糖”制作机等。
（2）防止离心运动的危害性，如：火车、汽车转弯时速度不能过大，机器的转速也不能过大等。
知识点一描述圆周运动的物理量
描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、频率、向心加速度5个物理量。其中T、f、ω三个量是密切相关的，任意一个量确定，其它两个量就是确定的，其关系为T=1/f=2π/ω。当T、f、ω一定时，线速度v还与r有关，r越大，v越大；r越小，v越小。
【应用1】如图所示为一实验小车中利用光脉冲测量车速和行程的装置的示意图，A为光源，B为电接收器，A、B均固定在车身上， C为小车的车轮，D为与C同轴相连的齿轮．车轮转动时，A发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示．若实验显示单位时间内的脉冲数为n，累计脉冲数为N，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是_________；车速度的表达式为v=_________；行程的表达式为s=_________。
导示:由题可知，每经过一个间隙，转化成一个脉冲信号被接收到．每个间隙转动的时间t=1/n
设一周有P个齿轮，则有P个间隙，周期T=Pt=P/n．
据v=2πR/T可得v=2πnR/P
所以必须测量车轮的半径R和齿轮数P。
当脉冲总数为N则经过的时间t0=Nt=N/n
所以位移s=vt0=2πRN/P．
答案：车轮半径R和齿轮的齿数P
2πnR/P ；2πRN/P
知识点二向心力的理解
向心力是按力的效果命名的，它可以是做圆周运动的物体受到的某一个力或是几个力的合力或是某一个力的分力，要视具体问题而定。
【应用2】(08北京四中第一学期期中测验)如图A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们与圆台间动摩擦因数都相同，A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴R，C离轴2R，则当圆台旋转时，设A、B、C都没有滑动（ ）
A．C物体受到的静摩擦力比A大
B．B物体受到的静摩擦力最小
C．若圆台转动角速度逐渐增加时，A和C同时开始滑动
D．若圆台转动角速度逐渐增加时，C最先开始滑动
导示:物块与圆盘之间静摩擦力提供向心力Ff=mω2r，而ω相同，A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴R，C离轴2R，所以，A、C所受静摩擦力一样大，B最小。要使物体与盘面间不发生相对滑动,最大静摩擦力提供向心力kmg=mωm2r 有 则物体C先滑动。故答案应选BD。
1、做匀速圆周运动的物体，受到的合外力的方向一定沿半径指向圆心(向心力)，大小一定等于mv2/r。
2、做变速圆周运动的物体，受到的合外力沿半径指向圆心方向的分力提供向心力，大小等于mv2/ r；沿切线方向的分力产生切向加速度,改变物体的速度的大小。
知识点三离心运动
做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图所示；当产生向心力的合外力消失， F=0时，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图中A所示；当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，F′＜mω2r，即合外力不足提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图中B所示。
【应用3】（2007?湖北模拟）如图所示，在光滑水平面上，小球m在拉力F的作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是（ ）
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做离心运动
导示: 拉力突然消失，小球将沿切线方向做匀速直线运动，运动轨迹应为Pa；拉力突然变小，提供的向心力小于需要的向心力，物体将做离心运动，运动轨迹应为Pb；拉力突然变大，提供的向心力大于需要的向心力，物体将做近心运动，运动轨迹应为Pc。故答案应为A。
1、做圆周运动的质点，当它受到的沿着半径指向圆心的合外力突然变为零时，它就因为没有向心力而沿切线方向飞出。
2、离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。
3、离心运动并不是受到什么离心力作用的结果，根本就没有离心力这种力，因为没有任何物体提供这种力。
类型一皮带传动问题
【例1】(2007?广州模拟)如图为一种三级减速器的示意图，各轮轴均相同，轮半径和轴半径分别为R和r。若第一个轮轴的轮缘线速度为v1，则第三个轮缘和轴缘的线速度v3和v3′各为多大?
导示: 同一轮轴上的所有质点转动角速度相等，各点转动的线速度与半径成正比，
则
皮带不打滑，故皮带传动的两轮缘线速度大小相等，即v l′=v2, v 2′=v3
所以 ；
得 ；
1、凡是直接用皮带传动(包括链条传动、摩擦传动)的两个轮子，两轮边缘L各点的线速度大小相等。2、凡是同一个轮轴上(各个轮都绕同一根轴同步转动)的各点角速度相等(轴上的点除外)。
类型二圆周运动与其他运动形式结合问题
圆周运动常与其他运动形式结合起来出现，找出两者的结合点是解决此类问题的关键。
【例2】如图所示，直径为d的纸质圆筒，使它以角速度ω绕轴o转动，然后把枪口对准圆筒，使子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下a，b两弹孔，已知ao，bo夹角ф，则子弹的速度为（ ）
A．dф/2πω
B．dω/ф
C．dω/(2π-ф)
D．dω/(π-ф)
导示: 理解子弹的直线运动和纸筒的转动的联系：时间相等。设子弹的速度为v，则子弹经过直径的距离所用时间为t=d/v ,在此时间内圆筒转过的角度为：π-ф，则有：(π-ф) /ω= d/v 得：v= dω/(π-ф)。故选D。
1、圆周运动与其他运动通常是通过时间联系在一起。2、该类问题还要注意是否要考虑圆周运动的周期性。
类型三圆周运动中的连接体问题
【例3】（西安市六校2008届第三次月考）如图所示，质量均为m的两个小球A、B套在光滑水平直杆P上，整个直杆被固定在竖直转轴上，并保持水平，两球间用劲度系数为k，自然长度为L的轻质弹簧连接在一起，A球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L，现欲使横杆AB随竖直转轴一起在竖直平面内匀速转动，其角速度为ω，求当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多大?
导示: 设直杆匀速转动时，弹簧伸长量为x，A、B两球受力分别如右图所示，据牛顿第二定律得：对A：FT-F=mω2 L
对B：kx = mω2 (2L+x)
解得：
FT=mω2 L(1+ ；x=
所以弹簧的总长度为
L′=L+x= L
答案：mω2 L(1+ ； L
1、圆周运动中的动力学问题要特别注意轨道平面和圆心的位置。2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。
1．（07届广东省惠阳市综合测试卷三）某机器内有两个围绕各自的固定轴匀速转动的铝盘A、B，A盘上有一个信号发射装置P，能发射水平红外线，P到圆心的距离为28cm。B盘上有一个带窗口的红外线信号接受装置Q，Q到圆心的距离为16cm。P、Q转动的线速度相同，都是4πm/s。当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接受窗口，如图所示，则Q接受到的红外线信号的周期是（ ）
A．0.56s B．0.28s
C．0.16s D．0.07s
2、(盐城市2007/2008学年度高三年级第一次调研考试)一只蜜蜂和一辆汽车在平直公路上以同样大小速度并列运动。如果这只蜜蜂眼睛盯着汽车车轮边缘上某一点，那么它看到的这一点的运动轨迹是 （ ）
3．如图所示，半径为R的圆板做匀速转动，当半径OB转到某一方向时，在圆板中心正上方高h处以平行于OB的方向水平抛出一球.要使小球与圆板只碰撞一次,且落点为B,则小球的初速度是多大?圆板转动的角速度是多大?
4． （湖北省百所重点中学2008 届联考）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在o点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知o点到斜面底边的距离Soc=L，求：
（1）小球通过最高点A时的速度vA；
（2）小球通过最低点B时，细线对小球的拉力；
（3）小球运动到A点或B点时细线断裂，小球滑落到斜面底边时到C点的距离若相等，则l和L应满足什么关系？
答案：1、A 2、A
3、 ； （n=1,2,3…）
【教学要求】
1．掌握匀速圆周运动的v、ω、T、f、a 等概念，并知道它们之间的关系；
2．理解匀速圆周运动的向心力；
3．会运用用顿第二定律解决匀速圆周运动的问题。
【知识再现】
一、匀速圆周运动
1．定义：做圆周运动的质点，若在相等的时间里通过的______________相等，就是匀速圆周运动。
2．运动学特征：线速度大小不变，周期不变；角速度大小不变；向心加速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变加速运动。
二、描述圆周运动的物理量
1．线速度
（1）方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧在该点的____________方向。
（2）大小：v=s/t（s是t内通过的弧长）
2．角速度
大小：ω=θ/t (rad/s), 是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的_________
3．周期T、频率f
（1）做圆周运动的物体运动一周所用的_______叫做周期
（2）做圆周运动的物体_____________时间内绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速。
（3）实际中所说的转数是指做匀速圆周运动的物体每分钟转过的圈数，用n表示
4． v 、ω、T、f的关系：_____________________
5．向心加速度
（1）物理意义：描述_____________改变的快慢。
（2）大小：a=v2/r=rω2
（3）方向：总是指向_________，与线速度方向________,方向时刻发生变化。
6．向心力
（1）作用效果：产生向心加速度，不断改变物体的速度方向，维持物体做圆周运动。
（2）大小：F=ma向=m v2/r=mrω2
（3）产生：向心力是按___________命名的力，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力实际情况判定。
三、离心现象及其应用
1．离心运动：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的_______________的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。
2．离心运动的应用和防止
（1）利用离心运动制成离心机械，如：离心干燥器、“棉花糖”制作机等。
（2）防止离心运动的危害性，如：火车、汽车转弯时速度不能过大，机器的转速也不能过大等。
知识点一描述圆周运动的物理量
描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、频率、向心加速度5个物理量。其中T、f、ω三个量是密切相关的，任意一个量确定，其它两个量就是确定的，其关系为T=1/f=2π/ω。当T、f、ω一定时，线速度v还与r有关，r越大，v越大；r越小，v越小。
【应用1】如图所示为一实验小车中利用光脉冲测量车速和行程的装置的示意图，A为光源，B为电接收器，A、B均固定在车身上， C为小车的车轮，D为与C同轴相连的齿轮．车轮转动时，A发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示．若实验显示单位时间内的脉冲数为n，累计脉冲数为N，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是_________；车速度的表达式为v=_________；行程的表达式为s=_________。
导示:由题可知，每经过一个间隙，转化成一个脉冲信号被接收到．每个间隙转动的时间t=1/n
设一周有P个齿轮，则有P个间隙，周期T=Pt=P/n．
据v=2πR/T可得v=2πnR/P
所以必须测量车轮的半径R和齿轮数P。
当脉冲总数为N则经过的时间t0=Nt=N/n
所以位移s=vt0=2πRN/P．
答案：车轮半径R和齿轮的齿数P
2πnR/P ；2πRN/P
知识点二向心力的理解
向心力是按力的效果命名的，它可以是做圆周运动的物体受到的某一个力或是几个力的合力或是某一个力的分力，要视具体问题而定。
【应用2】(08北京四中第一学期期中测验)如图A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们与圆台间动摩擦因数都相同，A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴R，C离轴2R，则当圆台旋转时，设A、B、C都没有滑动（ ）
A．C物体受到的静摩擦力比A大
B．B物体受到的静摩擦力最小
C．若圆台转动角速度逐渐增加时，A和C同时开始滑动
D．若圆台转动角速度逐渐增加时，C最先开始滑动
导示:物块与圆盘之间静摩擦力提供向心力Ff=mω2r，而ω相同，A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴R，C离轴2R，所以，A、C所受静摩擦力一样大，B最小。要使物体与盘面间不发生相对滑动,最大静摩擦力提供向心力kmg=mωm2r 有 则物体C先滑动。故答案应选BD。
1、做匀速圆周运动的物体，受到的合外力的方向一定沿半径指向圆心(向心力)，大小一定等于mv2/r。
2、做变速圆周运动的物体，受到的合外力沿半径指向圆心方向的分力提供向心力，大小等于mv2/ r；沿切线方向的分力产生切向加速度,改变物体的速度的大小。
知识点三离心运动
做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图所示；当产生向心力的合外力消失， F=0时，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图中A所示；当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，F′＜mω2r，即合外力不足提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图中B所示。
【应用3】（2007?湖北模拟）如图所示，在光滑水平面上，小球m在拉力F的作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是（ ）
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做离心运动
导示: 拉力突然消失，小球将沿切线方向做匀速直线运动，运动轨迹应为Pa；拉力突然变小，提供的向心力小于需要的向心力，物体将做离心运动，运动轨迹应为Pb；拉力突然变大，提供的向心力大于需要的向心力，物体将做近心运动，运动轨迹应为Pc。故答案应为A。
1、做圆周运动的质点，当它受到的沿着半径指向圆心的合外力突然变为零时，它就因为没有向心力而沿切线方向飞出。
2、离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。
3、离心运动并不是受到什么离心力作用的结果，根本就没有离心力这种力，因为没有任何物体提供这种力。
类型一皮带传动问题
【例1】(2007?广州模拟)如图为一种三级减速器的示意图，各轮轴均相同，轮半径和轴半径分别为R和r。若第一个轮轴的轮缘线速度为v1，则第三个轮缘和轴缘的线速度v3和v3′各为多大?
导示: 同一轮轴上的所有质点转动角速度相等，各点转动的线速度与半径成正比，
则
皮带不打滑，故皮带传动的两轮缘线速度大小相等，即v l′=v2, v 2′=v3
所以 ；
得 ；
1、凡是直接用皮带传动(包括链条传动、摩擦传动)的两个轮子，两轮边缘L各点的线速度大小相等。2、凡是同一个轮轴上(各个轮都绕同一根轴同步转动)的各点角速度相等(轴上的点除外)。
类型二圆周运动与其他运动形式结合问题
圆周运动常与其他运动形式结合起来出现，找出两者的结合点是解决此类问题的关键。
【例2】如图所示，直径为d的纸质圆筒，使它以角速度ω绕轴o转动，然后把枪口对准圆筒，使子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下a，b两弹孔，已知ao，bo夹角ф，则子弹的速度为（ ）
A．dф/2πω
B．dω/ф
C．dω/(2π-ф)
D．dω/(π-ф)
导示: 理解子弹的直线运动和纸筒的转动的联系：时间相等。设子弹的速度为v，则子弹经过直径的距离所用时间为t=d/v ,在此时间内圆筒转过的角度为：π-ф，则有：(π-ф) /ω= d/v 得：v= dω/(π-ф)。故选D。
1、圆周运动与其他运动通常是通过时间联系在一起。2、该类问题还要注意是否要考虑圆周运动的周期性。
类型三圆周运动中的连接体问题
【例3】（西安市六校2008届第三次月考）如图所示，质量均为m的两个小球A、B套在光滑水平直杆P上，整个直杆被固定在竖直转轴上，并保持水平，两球间用劲度系数为k，自然长度为L的轻质弹簧连接在一起，A球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L，现欲使横杆AB随竖直转轴一起在竖直平面内匀速转动，其角速度为ω，求当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多大?
导示: 设直杆匀速转动时，弹簧伸长量为x，A、B两球受力分别如右图所示，据牛顿第二定律得：对A：FT-F=mω2 L
对B：kx = mω2 (2L+x)
解得：
FT=mω2 L(1+ ；x=
所以弹簧的总长度为
L′=L+x= L
答案：mω2 L(1+ ； L
1、圆周运动中的动力学问题要特别注意轨道平面和圆心的位置。2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。
1．（07届广东省惠阳市综合测试卷三）某机器内有两个围绕各自的固定轴匀速转动的铝盘A、B，A盘上有一个信号发射装置P，能发射水平红外线，P到圆心的距离为28cm。B盘上有一个带窗口的红外线信号接受装置Q，Q到圆心的距离为16cm。P、Q转动的线速度相同，都是4πm/s。当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接受窗口，如图所示，则Q接受到的红外线信号的周期是（ ）
A．0.56s B．0.28s
C．0.16s D．0.07s
2、(盐城市2007/2008学年度高三年级第一次调研考试)一只蜜蜂和一辆汽车在平直公路上以同样大小速度并列运动。如果这只蜜蜂眼睛盯着汽车车轮边缘上某一点，那么它看到的这一点的运动轨迹是 （ ）
3．如图所示，半径为R的圆板做匀速转动，当半径OB转到某一方向时，在圆板中心正上方高h处以平行于OB的方向水平抛出一球.要使小球与圆板只碰撞一次,且落点为B,则小球的初速度是多大?圆板转动的角速度是多大?
4． （湖北省百所重点中学2008 届联考）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在o点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知o点到斜面底边的距离Soc=L，求：
（1）小球通过最高点A时的速度vA；
（2）小球通过最低点B时，细线对小球的拉力；
（3）小球运动到A点或B点时细线断裂，小球滑落到斜面底边时到C点的距离若相等，则l和L应满足什么关系？
答案：1、A 2、A
3、 ； （n=1,2,3…）
