第四课时 电磁感应中的动力学问题
【要求】
1．掌握电磁感应中的动力学问题的分析方法；
2、学会运用力学规律解决电磁感应问题。
【知识再现】
电磁感应中通过导体的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，电磁感应问题往往和力学问题联系在一起这类问题覆盖面广，题型也多种多样，但解决这类问题的关键在于通过运动状态的分析来寻找过程中的临界状态，如速度、加速度取最大值或最小值的条件等，基本方法是：
确定电源（E，r）→感应电流→运动导体所受的安培力→合外力→a的变化情况→运动状态的分析→ 临界状态（a=0时，v→max等）。
对于含容电路：C、U→Q→It→Ft→m△v。
注意：（1）电磁感应中的动态分析，是处理电磁感应问题的关键，要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方面，还是从能量方面来解决问题．
（2）在分析运动导体的受力时，常画出平面示意图和物体受力图．
类型一平衡问题
【例1】（上海普陀区08届高三年级期末调研试卷）如图所示，质量位m、电阻为R、边长为L的等边三角形ACD，在A处用细线悬挂于O点，垂直于ACD施加一个垂直纸面向里的匀强磁场。当磁感应强度按规律B＝kt（k为常数）增强并且正好增大为B0时，CD边安培力是___________，细线上的拉力为___________。
导示：根据法拉第电磁感应定律得
E=△ф/△t=△B?s/△t=k3kL3B04R
容易分析三角形的三条边受安培力大小相等，合力为0；对线框整体分析，绳上的拉力FT=mg。
类型二单金属杆问题
【例2】在图甲、乙、丙三图中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，甲图中的电容器C原来不带电。设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长。今给导体棒ab一个向右的初速度v0，在甲、乙、丙三种情形下导体棒ab的最终运动状态是（ ）
A．三种情形下导体棒ab最终均做匀速运动
B．甲、丙中，ab棒最终将以不同的速度做匀速运动；乙中，ab棒最终静止
C．甲、丙中，ab棒最终将以相同的速度做匀速运动；乙中，ab棒最终静止
D．三种情形下导体棒ab最终均静止
导示：选择B。在甲中ab棒运动产生感应电动势对电容器充电，回路中产生感应电流，ab棒受到安培力作用，作减速运动，当电容器两端的电压等于ab棒两端的电压时，不再充、放电，回路中无电流，ab棒作匀速运动。
在乙中，ab棒运动产生感应电动势，回路中产生感应电流，ab棒受到安培力作用，作减速运动，直到速度为0。
在丙中，电源为ab棒供电，开始向右运动，ab棒运动产生感应电流方向与原来电流同向，ab棒受到安培力作用，作减速运动，减速到速度为0后，受安培力作用，向左加速。当ab棒产生的感应电动势与电源电动势相等时，ab棒中无电流，不再受力作匀速运动。
类型三线框运动问题
【例3】（江苏省沛县中学08届高三第四次月考）如图，光滑斜面的倾角 = 30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l1 = l m，bc边的边长l2= 0.6 m，线框的质量m = 1 kg，电阻R = 0.1Ω，线框通过细线与重物相连，重物质量M = 2 kg，斜面上ef线（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B = 0.5 T，如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的，ef线和gh的距离s = 11.4 m，（取g = 10m/s2），求：
（1）线框进入磁场前重物M的加速度；
（2）线框进入磁场时匀速运动的速度v；
（3）ab边由静止开始运动到gh线处所用的时间t；
（4）ab边运动到gh线处的速度大小和在线框由静止开始到运动到gh线的整个过程中产生的焦耳热。
导示：（1）线框进入磁场前，线框仅受到细线的拉力FT，斜面的支持力和线框重力，重物M受到重力和拉力FT。对线框，由牛顿第二定律得FT ? mg sinα= ma.
联立解得线框进入磁场前重物M的加速度 =5m/s2
（2）因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，所以重物受力平衡Mg = FT′，
线框abcd受力平衡FT′= mg sinα+ FA
ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势
E = Bl1v；形成的感应电流
受到的安培力
联立上述各式得，Mg = mg sinα+ 代入数据解得v=6 m/s
（3）线框abcd进入磁场前时，做匀加速直线运动；进磁场的过程中，做匀速直线运动；进入磁场后到运动到gh线，仍做匀加速直线运动。
进磁场前线框的加速度大小与重物的加速度相同，为a = 5 m/s2
该阶段运动时间为
进磁场过程中匀速运动时间
线框完全进入磁场后线框受力情况同进入磁场前，所以该阶段的加速度仍为a = 5m/s2
；解得：t3 =1.2 s
因此ab边由静止开始运动到gh线所用的时间为t = t1+t2+t3=2.5s
（4）线框ab边运动到gh处的速度v′=v + at3 = 6 m/s+5×1.2 m/s=12 m/s
整个运动过程产生的焦耳热Q = FAl2 =（Mg ? mgsinθ）l2 = 9 J
【点评】本题考查的知识点主要有牛顿定律、物体平衡条件、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、安培力、运动学公式、能量守恒定律等。重点考查根据题述的物理情景综合运用知识能力、分析推理能力、运用数学知识解决物理问题的能力。
类型四双电源问题
【例4】（07届南京市综合检测题）超导体磁悬浮列车是利用超导体的抗磁化作用使列车车体向上浮起，同时通过周期性地变换磁极方向而获得推进动力的新型交通工具。如图所示为磁悬浮列车的原理图，在水平面上，两根平行直导轨间有竖直方向且等距离的匀强磁场B1和B2，导轨上有一个与磁场间距等宽的金属框abcd。当匀强磁场B1和B2同时以某一速度沿直轨道向右运动时，金属框也会沿直轨道运动。设直轨道间距为L，匀强磁场的磁感应强度为B1=B2=B磁场运动的速度为v，金属框的电阻为R。运动中所受阻力恒为f，则金属框的最大速度可表示为 （ ）
A、 B、
C、 D、
导示：金属框在磁场中运动时，产生的电动势为
E=2BL（v-vm）；稳定时，金属框匀速运动，受到的合力为0，即2FA=f；FA=BIL；I=E/R。
得 ；故选择C。
类型五非匀强磁场问题
【例5】一个质量为m、直径为d、电阻为R的金属圆环，在范围足够大的磁场中竖直向下下落，磁场的分布情况如图所示。已知磁感强度竖直方向分量By的大小只随高度y变化，其随高度y变化关系为By=B0（1+ky）（此处k为比例常数，且k>0），其中沿圆环轴线的磁场方向始终向上。金属圆环在下落过程中的环面始终保持水平，速度越来越大，最终稳定为某一数值，称为收尾速度。求：
（1）圆环中感应电流的方向。
（2）圆环收尾速度的大小。
导示：（1）根据楞次定律可以判断圆环中感应电流的方向为俯视顺时针方向。
（2）圆环中的磁通量变化△ф=πB0 d2kv△t/4；
根据法拉第电磁感应定律E=△ф/△t=πB0 d2kv /4
I=E/R=πB0 d2kv /4R；
金属圆环最终稳定时，重力做功的功率等于电功率
即mgv=I2R，所以，圆环收尾速度的大小为：
1．（南通海安实验中学08年1月考试卷）如右图所示，A、B为不同金属制成的正方形线框，导线截面积相同，A的边长是B的二倍，A的密度是B的1/2，A的电阻是B的4倍，当它们的下边在同一高度竖直下落，垂直进入如图所示的磁场中，A框恰能匀速下落，那么 ( )
A．B框一定匀速下落
B．进入磁场后，A、B中感应电流之比是2：1
C．二框全部进入磁场过程中，通过截面电量相等
D．二框全部进入磁场的过程中，消耗的电能之比为2：1
2．（江苏省2008年高考物理全真模拟卷）如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感强度为B，一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则 ( )
A．如果B增大，vm将变大
B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大
D．如果m变小，vm将变大
3．如图一所示，固定在水平桌面上的光滑金属框架cdeg处于方向竖直向下的匀强磁场中，金属杆ab与金属框架接触良好。在两根导轨的端点d、e之间连接一电阻，其他部分电阻忽略不计。现用一水平向右的外力F作用在金属杆ab上，使金属杆由静止开始向右在框架上滑动，运动中杆ab始终垂直于框架。图二为一段时间内金属杆受到的安培力f随时间t的变化关系，则图三中可以表示外力F随时间t变化关系的图象是（ ）
4．如图所示,有一磁场,方向垂直于xoy平面向里,磁感应强度B沿y轴方向不变化,而沿x轴方向变化,且 磁场中的矩形线圈面积为100cm2、电阻为0.1Ω,ab边平行于x轴,为使线圈沿+x轴匀速运动,需要加一恒力F,恒力的功率为0.025W,求线圈匀速运动的速度为多大?
【要求】
1．掌握电磁感应中的动力学问题的分析方法；
2、学会运用力学规律解决电磁感应问题。
【知识再现】
电磁感应中通过导体的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，电磁感应问题往往和力学问题联系在一起这类问题覆盖面广，题型也多种多样，但解决这类问题的关键在于通过运动状态的分析来寻找过程中的临界状态，如速度、加速度取最大值或最小值的条件等，基本方法是：
确定电源（E，r）→感应电流→运动导体所受的安培力→合外力→a的变化情况→运动状态的分析→ 临界状态（a=0时，v→max等）。
对于含容电路：C、U→Q→It→Ft→m△v。
注意：（1）电磁感应中的动态分析，是处理电磁感应问题的关键，要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方面，还是从能量方面来解决问题．
（2）在分析运动导体的受力时，常画出平面示意图和物体受力图．
类型一平衡问题
【例1】（上海普陀区08届高三年级期末调研试卷）如图所示，质量位m、电阻为R、边长为L的等边三角形ACD，在A处用细线悬挂于O点，垂直于ACD施加一个垂直纸面向里的匀强磁场。当磁感应强度按规律B＝kt（k为常数）增强并且正好增大为B0时，CD边安培力是___________，细线上的拉力为___________。
导示：根据法拉第电磁感应定律得
E=△ф/△t=△B?s/△t=k3kL3B04R
容易分析三角形的三条边受安培力大小相等，合力为0；对线框整体分析，绳上的拉力FT=mg。
类型二单金属杆问题
【例2】在图甲、乙、丙三图中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，甲图中的电容器C原来不带电。设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长。今给导体棒ab一个向右的初速度v0，在甲、乙、丙三种情形下导体棒ab的最终运动状态是（ ）
A．三种情形下导体棒ab最终均做匀速运动
B．甲、丙中，ab棒最终将以不同的速度做匀速运动；乙中，ab棒最终静止
C．甲、丙中，ab棒最终将以相同的速度做匀速运动；乙中，ab棒最终静止
D．三种情形下导体棒ab最终均静止
导示：选择B。在甲中ab棒运动产生感应电动势对电容器充电，回路中产生感应电流，ab棒受到安培力作用，作减速运动，当电容器两端的电压等于ab棒两端的电压时，不再充、放电，回路中无电流，ab棒作匀速运动。
在乙中，ab棒运动产生感应电动势，回路中产生感应电流，ab棒受到安培力作用，作减速运动，直到速度为0。
在丙中，电源为ab棒供电，开始向右运动，ab棒运动产生感应电流方向与原来电流同向，ab棒受到安培力作用，作减速运动，减速到速度为0后，受安培力作用，向左加速。当ab棒产生的感应电动势与电源电动势相等时，ab棒中无电流，不再受力作匀速运动。
类型三线框运动问题
【例3】（江苏省沛县中学08届高三第四次月考）如图，光滑斜面的倾角 = 30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l1 = l m，bc边的边长l2= 0.6 m，线框的质量m = 1 kg，电阻R = 0.1Ω，线框通过细线与重物相连，重物质量M = 2 kg，斜面上ef线（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B = 0.5 T，如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的，ef线和gh的距离s = 11.4 m，（取g = 10m/s2），求：
（1）线框进入磁场前重物M的加速度；
（2）线框进入磁场时匀速运动的速度v；
（3）ab边由静止开始运动到gh线处所用的时间t；
（4）ab边运动到gh线处的速度大小和在线框由静止开始到运动到gh线的整个过程中产生的焦耳热。
导示：（1）线框进入磁场前，线框仅受到细线的拉力FT，斜面的支持力和线框重力，重物M受到重力和拉力FT。对线框，由牛顿第二定律得FT ? mg sinα= ma.
联立解得线框进入磁场前重物M的加速度 =5m/s2
（2）因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，所以重物受力平衡Mg = FT′，
线框abcd受力平衡FT′= mg sinα+ FA
ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势
E = Bl1v；形成的感应电流
受到的安培力
联立上述各式得，Mg = mg sinα+ 代入数据解得v=6 m/s
（3）线框abcd进入磁场前时，做匀加速直线运动；进磁场的过程中，做匀速直线运动；进入磁场后到运动到gh线，仍做匀加速直线运动。
进磁场前线框的加速度大小与重物的加速度相同，为a = 5 m/s2
该阶段运动时间为
进磁场过程中匀速运动时间
线框完全进入磁场后线框受力情况同进入磁场前，所以该阶段的加速度仍为a = 5m/s2
；解得：t3 =1.2 s
因此ab边由静止开始运动到gh线所用的时间为t = t1+t2+t3=2.5s
（4）线框ab边运动到gh处的速度v′=v + at3 = 6 m/s+5×1.2 m/s=12 m/s
整个运动过程产生的焦耳热Q = FAl2 =（Mg ? mgsinθ）l2 = 9 J
【点评】本题考查的知识点主要有牛顿定律、物体平衡条件、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、安培力、运动学公式、能量守恒定律等。重点考查根据题述的物理情景综合运用知识能力、分析推理能力、运用数学知识解决物理问题的能力。
类型四双电源问题
【例4】（07届南京市综合检测题）超导体磁悬浮列车是利用超导体的抗磁化作用使列车车体向上浮起，同时通过周期性地变换磁极方向而获得推进动力的新型交通工具。如图所示为磁悬浮列车的原理图，在水平面上，两根平行直导轨间有竖直方向且等距离的匀强磁场B1和B2，导轨上有一个与磁场间距等宽的金属框abcd。当匀强磁场B1和B2同时以某一速度沿直轨道向右运动时，金属框也会沿直轨道运动。设直轨道间距为L，匀强磁场的磁感应强度为B1=B2=B磁场运动的速度为v，金属框的电阻为R。运动中所受阻力恒为f，则金属框的最大速度可表示为 （ ）
A、 B、
C、 D、
导示：金属框在磁场中运动时，产生的电动势为
E=2BL（v-vm）；稳定时，金属框匀速运动，受到的合力为0，即2FA=f；FA=BIL；I=E/R。
得 ；故选择C。
类型五非匀强磁场问题
【例5】一个质量为m、直径为d、电阻为R的金属圆环，在范围足够大的磁场中竖直向下下落，磁场的分布情况如图所示。已知磁感强度竖直方向分量By的大小只随高度y变化，其随高度y变化关系为By=B0（1+ky）（此处k为比例常数，且k>0），其中沿圆环轴线的磁场方向始终向上。金属圆环在下落过程中的环面始终保持水平，速度越来越大，最终稳定为某一数值，称为收尾速度。求：
（1）圆环中感应电流的方向。
（2）圆环收尾速度的大小。
导示：（1）根据楞次定律可以判断圆环中感应电流的方向为俯视顺时针方向。
（2）圆环中的磁通量变化△ф=πB0 d2kv△t/4；
根据法拉第电磁感应定律E=△ф/△t=πB0 d2kv /4
I=E/R=πB0 d2kv /4R；
金属圆环最终稳定时，重力做功的功率等于电功率
即mgv=I2R，所以，圆环收尾速度的大小为：
1．（南通海安实验中学08年1月考试卷）如右图所示，A、B为不同金属制成的正方形线框，导线截面积相同，A的边长是B的二倍，A的密度是B的1/2，A的电阻是B的4倍，当它们的下边在同一高度竖直下落，垂直进入如图所示的磁场中，A框恰能匀速下落，那么 ( )
A．B框一定匀速下落
B．进入磁场后，A、B中感应电流之比是2：1
C．二框全部进入磁场过程中，通过截面电量相等
D．二框全部进入磁场的过程中，消耗的电能之比为2：1
2．（江苏省2008年高考物理全真模拟卷）如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感强度为B，一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则 ( )
A．如果B增大，vm将变大
B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大
D．如果m变小，vm将变大
3．如图一所示，固定在水平桌面上的光滑金属框架cdeg处于方向竖直向下的匀强磁场中，金属杆ab与金属框架接触良好。在两根导轨的端点d、e之间连接一电阻，其他部分电阻忽略不计。现用一水平向右的外力F作用在金属杆ab上，使金属杆由静止开始向右在框架上滑动，运动中杆ab始终垂直于框架。图二为一段时间内金属杆受到的安培力f随时间t的变化关系，则图三中可以表示外力F随时间t变化关系的图象是（ ）
4．如图所示,有一磁场,方向垂直于xoy平面向里,磁感应强度B沿y轴方向不变化,而沿x轴方向变化,且 磁场中的矩形线圈面积为100cm2、电阻为0.1Ω,ab边平行于x轴,为使线圈沿+x轴匀速运动,需要加一恒力F,恒力的功率为0.025W,求线圈匀速运动的速度为多大?
