专题四：立体几何
阶段质量评估（四）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）
1．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 的正方形，俯视图是一个直径为 的圆，那么这个几何体的全面积为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四个几何体中，每个几何体的三视图
有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D． ②④
3．如图，设平面 ，垂足分别为 ，若增加一个条件，就能推出 .
现有① ② 与 所成的角相等;
③ 与 在 内的射影在同一条直线上;④ ∥ .
那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（ ）
个 个 个 个
4．已知直线 和平面 ，则下列命 题正确的是 ( )
A B
C D
5．空间直角坐标系 中，点 关于平面 的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平 行，那么这两个平面相互平行；
②若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；
③若一条直线和两个互相垂直的平面中的 一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是 （ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
7．如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知六棱锥 的底面是正六 边形， 则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 直线 ∥ D. 直线 所成的角为45°
9．正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为（ ）
（A）1：1 (B) 1 ：2 (C) 2：1 (D) 3：2
10．如图，在四面体 中，截面 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
. . ∥截面
. . 异面直线 与 所成的角为
11．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
12．如图， 为正方体，下面结论错误的是（ ）
（A） 平面
（B）
（C） 平面
（D）异面直线 与 所成的角为
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总分16分）
13．图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，则此长方体的体积是 。
14．已知一圆锥的底面半径与一球的半径相等，且全面积也相等，则圆锥的母线与底面所成角的大小为 ．(结果用反三角函数值表示)
15．如图，在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为线段 （端点除外）上一动点．现将 沿 折起，使平面 平面 ．在平面 内过点 ，作 ， 为垂足．设 ，则 的取值范围是 ．
16．已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的取值范围是_________．
三、解答题（本大题共6小题，总分74分）
17．如图，在长方体 ，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为 .
（1）求证：D1E⊥A1D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角
。若存在，确定
点E的位置；若不存在，请说明理由.
18．如图，四棱锥P―ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.
（Ⅰ）证明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B―DE―C的 平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论.
19． 如图所示的长方体 中，底面 是边长为 的正方形， 为 与 的交点， ，
是线段 的中点。
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小。
20．如图，已知三棱柱ABC―A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1， ，M是CC 1的中点，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足
（I）证明：
（II）当 取何值时，直线PN与平面ABC
所成的角 最大？并求该角最大值的正切值；
（II）若平面PMN与平面ABC所成的二面角
为45°，试确定点P的位置。
21．（本小题满分12分）
如图，四面体 中， 是 的中点， 和 均 为等边三角形， ．
（I）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）求 点到平面 的距离．
22．如图，在 中， ，斜边 ． 可以通过 以直线 为轴旋转得到，且二面角 是直二面角．动点 在斜边 上．
（I）求证：平面 平面 ；
（II）当 为 的中点时，求异面直线 与 所成角的大小；
（III）求 与平面 所成角的最大值．
参考答案
一、选择题
1. 【解析】选A. 。
2. 【解析】选D.①三个都相同，②正视图和侧视图相同，③三个视图均不同，④正视图和侧视图相同。
3.C
4. 【解析】选B.对A， ，
对C画出图形可知，对D， 缺少条件。
5.C
6.D
7.D
8. D
9. 【解析】选C .由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积
在底面正六边形ABCDER中
BH＝ABtan30°＝ AB
而BD＝ AB
故DH＝2BH
于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC
10. 【解析】选 .由 ∥ ， ∥ ， ⊥ 可得 ⊥ ，故 正确；由 ∥ 可得 ∥截面 ，故 正确； 异面直线 与 所成的角等于 与 所成的角，故 正确；综上 是错误的.
11. 【解析】选D.连 与 交于O点,再连BO,则 为BC1与平面BB1D1D所成的角.
， ，
.
12. 【解析】选D．显然异面直线 与 所成的角为 。
二、填空题
13. 【解析】向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，设长方体的高为x，则 ，所以 ，所以长方体的体积为3。
答案：3
14.
15. 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时， ，随着F点到C点时，因 平面 ，即有 ，对于 ，又 ，因此有 ，则有 ，因此 的取值范围是 .
答案：
16. 【解析】若二面角α－AB－β的大小为锐角，则过点P向平面 作垂线,设垂足为H.
过H作AB的垂线交于C,连PC、CH、OH，则 就是所求二面角
的平面角. 根据题意得 ，由于对于β内异于O的任意一点
Q，都有∠POQ≥45°，∴ ，设PO= ，则
又∵∠POB＝45°，∴OC=PC= ，∵PC≤PH而在 中应有
PC>PH ,∴显然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能为锐角。
即二面角 的范围是 。
若二面角α－AB－β的大小为直角或钝角，则由于∠PO B＝45°，结合图形容易判断对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°。
即二面角 的范围是 。
答案：
三、解答题
17. 【解析】（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）
（2） 设AB=x，
点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为
如图乙的最短路程为
（3）假设存在，平面DEC的法向量 ，
设平面D1EC的法向量 ，则
由题意得：
解得 （舍去）
18. 【解析】（Ⅰ）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
设 是平面BDE的一个法向量，
则由
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 是平面BDE的一个法向量，
又 是平面DEC的一个法向量.
设二面角B―DE―C的平面角为 ，由图可知
∴
故二面角B―DE―C的余弦值为
（Ⅲ）∵ ∴
假设棱PB上存 在点F，使PB⊥平面DEF，设 ，
则 ，
由
∴
即在棱PB上存在点F， PB，使得PB⊥平面DEF
19. 【解析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接 ，则点 、 ，
∴ 又点 ， ，∴
∴ ，且 与 不共线，∴ ．
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
（Ⅱ）∵ ， ，∴ 平面 ，
∴ 为平面 的法向量．
∵ ， ，
∴ 为平面 的法向量．
∴ ，
∴ 与 的夹角为 ，即二面角 的大小为 ．
20. 解：（I）如图，以AB，AC，AA1分别为 轴，建立空间直角坐标系
则 2分
从而
所以 …………3分
（II）平面ABC的一个法向量为
则
（※） …………5分
而
由（※）式，当 …………6分
（III）平面ABC的一个法向量为
设平面PMN的一个法向量为
由（I）得
由 …………7分
解得 …………9分
平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
解得 11分
故点P在B1A1的延长线上，且 ……… …12分
21. 解法一：（I）证明：连结 ， 为等边三角形， 为 的中点，
， 和 为等边三角形， 为 的中点， ，
。
在 中， ，
，即 ．
， 面 ．
（Ⅱ）过 作 于 连结 ，
平面 ， 在平面 上的射影为
为二面角 的平角。
在 中，
二面角 的余弦值为
（Ⅲ）解：设点 到平面 的距离为 ，
，
在 中， ，
而
点 到平面 的距离为 ．
解法二：（I）同解法一．
（Ⅱ）解：以 为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
平面 ， 平面 的法向量
设平面 的法向量 ，
由
设 与 夹角为 ，则
∴二面角 的余弦值为 ．
（Ⅲ）解：设平面 的法向量为 又
设 与 夹角为 ， 则
设 到平面 的距离为 ，
到平面 的距离为 ．
22. 【解析】解法一：
（I）由题意， ， ，
是二面角 的平面角，
又 二面角 是直二面角，
，又 ，
平面 ，
又 平面 ．
平面 平面 ．
（II）作 ，垂足为 ，连结 （如图），则 ，
是异面直线 与 所成的角．
在 中， ， ，
．
又 ．
在 中， ．
异面直线 与 所成角的大小为 ．
（III）由（I）知， 平面 ，
是 与平面 所成的角，且 ．
当 最小时， 最大，
这时， ，垂足为 ， ， ，
与平面 所成角的最大值为 ．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系 ，如图，则 ， ， ， ，
， ，
．
异面直线 与 所成角的大小为 ．
（III）同解法一
阶段质量评估（四）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）
1．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 的正方形，俯视图是一个直径为 的圆，那么这个几何体的全面积为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四个几何体中，每个几何体的三视图
有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D． ②④
3．如图，设平面 ，垂足分别为 ，若增加一个条件，就能推出 .
现有① ② 与 所成的角相等;
③ 与 在 内的射影在同一条直线上;④ ∥ .
那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（ ）
个 个 个 个
4．已知直线 和平面 ，则下列命 题正确的是 ( )
A B
C D
5．空间直角坐标系 中，点 关于平面 的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平 行，那么这两个平面相互平行；
②若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；
③若一条直线和两个互相垂直的平面中的 一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是 （ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
7．如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知六棱锥 的底面是正六 边形， 则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 直线 ∥ D. 直线 所成的角为45°
9．正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为（ ）
（A）1：1 (B) 1 ：2 (C) 2：1 (D) 3：2
10．如图，在四面体 中，截面 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
. . ∥截面
. . 异面直线 与 所成的角为
11．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
12．如图， 为正方体，下面结论错误的是（ ）
（A） 平面
（B）
（C） 平面
（D）异面直线 与 所成的角为
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总分16分）
13．图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，则此长方体的体积是 。
14．已知一圆锥的底面半径与一球的半径相等，且全面积也相等，则圆锥的母线与底面所成角的大小为 ．(结果用反三角函数值表示)
15．如图，在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为线段 （端点除外）上一动点．现将 沿 折起，使平面 平面 ．在平面 内过点 ，作 ， 为垂足．设 ，则 的取值范围是 ．
16．已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的取值范围是_________．
三、解答题（本大题共6小题，总分74分）
17．如图，在长方体 ，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为 .
（1）求证：D1E⊥A1D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角
。若存在，确定
点E的位置；若不存在，请说明理由.
18．如图，四棱锥P―ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.
（Ⅰ）证明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B―DE―C的 平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论.
19． 如图所示的长方体 中，底面 是边长为 的正方形， 为 与 的交点， ，
是线段 的中点。
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小。
20．如图，已知三棱柱ABC―A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1， ，M是CC 1的中点，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足
（I）证明：
（II）当 取何值时，直线PN与平面ABC
所成的角 最大？并求该角最大值的正切值；
（II）若平面PMN与平面ABC所成的二面角
为45°，试确定点P的位置。
21．（本小题满分12分）
如图，四面体 中， 是 的中点， 和 均 为等边三角形， ．
（I）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）求 点到平面 的距离．
22．如图，在 中， ，斜边 ． 可以通过 以直线 为轴旋转得到，且二面角 是直二面角．动点 在斜边 上．
（I）求证：平面 平面 ；
（II）当 为 的中点时，求异面直线 与 所成角的大小；
（III）求 与平面 所成角的最大值．
参考答案
一、选择题
1. 【解析】选A. 。
2. 【解析】选D.①三个都相同，②正视图和侧视图相同，③三个视图均不同，④正视图和侧视图相同。
3.C
4. 【解析】选B.对A， ，
对C画出图形可知，对D， 缺少条件。
5.C
6.D
7.D
8. D
9. 【解析】选C .由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积
在底面正六边形ABCDER中
BH＝ABtan30°＝ AB
而BD＝ AB
故DH＝2BH
于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC
10. 【解析】选 .由 ∥ ， ∥ ， ⊥ 可得 ⊥ ，故 正确；由 ∥ 可得 ∥截面 ，故 正确； 异面直线 与 所成的角等于 与 所成的角，故 正确；综上 是错误的.
11. 【解析】选D.连 与 交于O点,再连BO,则 为BC1与平面BB1D1D所成的角.
， ，
.
12. 【解析】选D．显然异面直线 与 所成的角为 。
二、填空题
13. 【解析】向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，设长方体的高为x，则 ，所以 ，所以长方体的体积为3。
答案：3
14.
15. 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时， ，随着F点到C点时，因 平面 ，即有 ，对于 ，又 ，因此有 ，则有 ，因此 的取值范围是 .
答案：
16. 【解析】若二面角α－AB－β的大小为锐角，则过点P向平面 作垂线,设垂足为H.
过H作AB的垂线交于C,连PC、CH、OH，则 就是所求二面角
的平面角. 根据题意得 ，由于对于β内异于O的任意一点
Q，都有∠POQ≥45°，∴ ，设PO= ，则
又∵∠POB＝45°，∴OC=PC= ，∵PC≤PH而在 中应有
PC>PH ,∴显然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能为锐角。
即二面角 的范围是 。
若二面角α－AB－β的大小为直角或钝角，则由于∠PO B＝45°，结合图形容易判断对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°。
即二面角 的范围是 。
答案：
三、解答题
17. 【解析】（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）
（2） 设AB=x，
点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为
如图乙的最短路程为
（3）假设存在，平面DEC的法向量 ，
设平面D1EC的法向量 ，则
由题意得：
解得 （舍去）
18. 【解析】（Ⅰ）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
设 是平面BDE的一个法向量，
则由
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 是平面BDE的一个法向量，
又 是平面DEC的一个法向量.
设二面角B―DE―C的平面角为 ，由图可知
∴
故二面角B―DE―C的余弦值为
（Ⅲ）∵ ∴
假设棱PB上存 在点F，使PB⊥平面DEF，设 ，
则 ，
由
∴
即在棱PB上存在点F， PB，使得PB⊥平面DEF
19. 【解析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接 ，则点 、 ，
∴ 又点 ， ，∴
∴ ，且 与 不共线，∴ ．
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
（Ⅱ）∵ ， ，∴ 平面 ，
∴ 为平面 的法向量．
∵ ， ，
∴ 为平面 的法向量．
∴ ，
∴ 与 的夹角为 ，即二面角 的大小为 ．
20. 解：（I）如图，以AB，AC，AA1分别为 轴，建立空间直角坐标系
则 2分
从而
所以 …………3分
（II）平面ABC的一个法向量为
则
（※） …………5分
而
由（※）式，当 …………6分
（III）平面ABC的一个法向量为
设平面PMN的一个法向量为
由（I）得
由 …………7分
解得 …………9分
平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
解得 11分
故点P在B1A1的延长线上，且 ……… …12分
21. 解法一：（I）证明：连结 ， 为等边三角形， 为 的中点，
， 和 为等边三角形， 为 的中点， ，
。
在 中， ，
，即 ．
， 面 ．
（Ⅱ）过 作 于 连结 ，
平面 ， 在平面 上的射影为
为二面角 的平角。
在 中，
二面角 的余弦值为
（Ⅲ）解：设点 到平面 的距离为 ，
，
在 中， ，
而
点 到平面 的距离为 ．
解法二：（I）同解法一．
（Ⅱ）解：以 为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
平面 ， 平面 的法向量
设平面 的法向量 ，
由
设 与 夹角为 ，则
∴二面角 的余弦值为 ．
（Ⅲ）解：设平面 的法向量为 又
设 与 夹角为 ， 则
设 到平面 的距离为 ，
到平面 的距离为 ．
22. 【解析】解法一：
（I）由题意， ， ，
是二面角 的平面角，
又 二面角 是直二面角，
，又 ，
平面 ，
又 平面 ．
平面 平面 ．
（II）作 ，垂足为 ，连结 （如图），则 ，
是异面直线 与 所成的角．
在 中， ， ，
．
又 ．
在 中， ．
异面直线 与 所成角的大小为 ．
（III）由（I）知， 平面 ，
是 与平面 所成的角，且 ．
当 最小时， 最大，
这时， ，垂足为 ， ， ，
与平面 所成角的最大值为 ．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系 ，如图，则 ， ， ， ，
， ，
．
异面直线 与 所成角的大小为 ．
（III）同解法一
