题目 第六章不等式 算术平均数与几何平均数
高考要求
1 了解算术平均数与几何平均数的意义，掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理及其逆定理
2 能运用定理解决一些简单的数学问题和实际问题
3 在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值
知识点归纳
1．常用的基本不等式和重要的不等式
（1） 当且仅当
（2）
（3） ，则
（4）
2 最值定理:设
（1）如积
（2）如积
即:积定和最小，和定积最大
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等
3 均值不等式:
两个正数的均值不等式：
三个正数的均值不等是：
n个正数的均值不等式：
4 四种均值的关系：两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明
题型讲解
例1 设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（）
A．a+b+ ≥2 B (a+b)( + )≥4
C ≥a+b D ≥
解法一：由于是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1, 代入各选项中的不等式，易判断 ≥ 不成立
解法二：可逐项使用均值不等式判断
A．a+b+ ≥2 + ≥2 =2 ，不等式成立
B ∵a+b≥2 >0, + ≥2 >0,相乘得: (a+b)( + )≥4成立
C ∵a2+b2=(a+b)2－2ab≥(a+b)2－2( )2=( )2
又 ≤ ≥ ∴ ≥a+b 成立
D ∵a+b≥2 ≤ ,
∴ ≤ = ,即 ≥ 不成立
故选D
例2 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论
解:不对
设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为 真实重量为为G，则由杠杆平衡原理有：
，
①×②得G2= , ∴G=
由于 ，故 ,由平均值不等式 > 知说法不对
真实重量是两次称量结果的几何平均值
点评:本小题平均值 不等, 杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、解决问题的能力，属跨学科（数学、物理）的创新问题
例3设x≥0, y≥0, x2+ =1,则 的最大值为＿＿
分析: ∵x2+ =1是常数, ∴x2与 的积可能有最大值
∴可把x放到根号 里面去考虑,注意到x2与1+y2的积,应处理成2 x2?
解法一: ∵x≥0, y≥0, x2+ =1
∴ = =
≤ = =
当且仅当x= ,y= (即x2= )时, 取得最大值
解法二: 令 (0≤ ≤ )
则 =cos =
≤ =
当 = ,
即 = 时,x= ,y= 时， 取得最大值
例4 若a>b>0, 求 的最小值
分析: 的结构不对称,关键是 的分母(a?b)b,而(a?b)+b=a, 故问题突破口已显然! 也可以逐步进行：先对b求最小值 ，然后在对a求最小值
解法一: =[(a?b)+b]2 +
≥[2 ]2 + =4(a?b)b+ ≥16
当且仅当b=(a?b)且(a?b)b=2,即a=2b=2 时取等号,故 的最小值为16
解法二: =
当且仅当b=(a?b)且 ,
即a=2b=2 时取等号,故 的最小值为16
点评:在运用均值不等式求最值时,凑出定值是关键!但在定值的过程中,不一定就能凑出定值来,实际上,分几步凑也是可以的,只要每步取等号的条件相同便可
例5 若x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+ )(1+ )≥9
分析: x+y常数,xy可有最大值
证法一: 左边＝(1+ )(1+ )=1+ + + =1+ +
=1+ ≥1+ =9＝右边 (当且仅当x=y= 时取“=”号)
证法二： 令x= y= , 0< <
左边＝(1+ )(1+ )=(1+ )(1+ )
=1+ + + ? =1+
=1+ ≥1+8=9＝右边
0<2 < = 时，x=y= 时取等号
证法三：∵x+y=1
∴左边＝(1+ )(1+ )=(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ )
=5+2( + )≥5+4=9＝右边 (当且仅当x=y= 时取“=”号)
小结：
1 平均值定理是证明不等式的重要依据，其一般形式是：
a1a2a3```+an≥ ( a1a2a3```an均为正实数)，它的一边是“和”的形式，另一边是“积”的形式，要实现转化时，常用均值不等式 用它来求函数最值时，注意：一“正”二“定”三“相等”
2 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2≥2ab逆用ab≤ ; ≥ (a,b>0)逆用为ab≤( )2 （a,b>0）等 还要注意“添拆项”技巧和公式等号成立的条件等
3 在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值
学生练习
1 设a、b≥0,a＋b=1, 试比较大小： 2 (填“≥”,“≤”或“=”)
答案：≤
2 比较大小：若a>b>0, 则 (填“>”,“<”或“=”)
答案：>
2 若x, y∈R+, 且x＋y=s, xy=p, 则下列命题中正确的是（ ）
A 当且仅当x=y时，s有最小值2
B 当且仅当x=y时，p有最大值
C 当且仅当p为定值时，s有最小值2
D 若s为定值，则当且仅当x=y时，p有最大值
答案：D
4 若x, y∈R+, x＋y≤4,则下列不等式中成立的是（ ）
A ≤ B ＋ ≥1 C ≥ 2 D ≥1
答案：B 提示： ＋ ≥2 ≥2 ≥1
5 下列说法中不正确的是（ ）
A 由a、b∈R，可得a2＋b2≥2ab≥－(a2＋b2)
B 对于命题“a、b∈R+ ≥ ”,把条件改为a、b均为非负数后依然成立
C 若a>b>0, n∈Z, n>1,则a>b
D 若a、b、c∈R+，则
答案：D
提示： ≤ =
6 下列不等式中恒成立的是（ ）
A ctgθ＋tgθ≥2 B x＋ －1≥2
C ≥2 D xyz≤ (x＋y＋z=1)
答案：B
7 当x∈R+ 时可得到不等式x＋ ≥2, x＋ = ＋ ＋ ≥3, 由此可以推广为x＋ ≥n＋1, 取值p等于（ ）
A nn B n 2 C n D n＋1
答案：A 提示：x＋ ＝ ＋ ＋……＋ ＋ ≥n＋1，∴p= nn
8 x、y>0, x＋y=1, 且 ≤a恒成立, 则a的最小值为（ ）
A /2 B 2 C 2 D
答案：D 提示： ≤2 =
9 在区间(0, +∞)上，当x= 时，函数y= ＋3x有最小值
答案：2；9 提示：y= ＋3x≥3 =9,
10 函数y=m2＋ 的值域为
答案：[1, +∞) 提示：y=m2＋ = y=(m2＋1)＋ －1≥2
11 已知x、y、z≥0,且x＋y＋z=1, 则 的最大值为 ； 最小值为
答案： ；1
12 已知：a＋b＋c=1, a2＋b2＋c2=1, 且a>b>c,则a＋b的取值范围是 ；a2＋b2 的取值范围是
答案：(1, )；( , 1)
13 若a>1, b>1, c>1, ab=10，求证：log ac＋log bc≥4lgc, 并指出什么时候等号成立
答案：a=b= 时等号成立 提示：a>1, b>1, c>1, ab=10, log ac＋log bc=lgc? ≥lgc? =4lgc, 当lga=lgb时,即a=b= 时等号成立
14 若a>0, b>0，且 =1,
求证：(I) a＋b≥4;
(II) 对于一切n∈N, (a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立
提示：(I) =1, a＋b=( )(a＋b)=1＋ ＋ ＋1≥4,
(II) 当n=1时, 左式＝0，右式＝0，∴n=1时成立，假设n=k时成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1, 则当n=k＋1时，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1=(a＋b) (a＋b)k－ak＋1－bk＋1≥(a＋b)(ak＋bk＋22k－2k＋1) －ak＋1－bk＋1=abk＋bak＋(a＋b)(22k－2k＋1)≥2?2k＋1＋4?22k－4?2k＋1=22k＋2－2k＋2, ∴n=k＋1时命题成立
高考要求
1 了解算术平均数与几何平均数的意义，掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理及其逆定理
2 能运用定理解决一些简单的数学问题和实际问题
3 在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值
知识点归纳
1．常用的基本不等式和重要的不等式
（1） 当且仅当
（2）
（3） ，则
（4）
2 最值定理:设
（1）如积
（2）如积
即:积定和最小，和定积最大
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等
3 均值不等式:
两个正数的均值不等式：
三个正数的均值不等是：
n个正数的均值不等式：
4 四种均值的关系：两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明
题型讲解
例1 设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（）
A．a+b+ ≥2 B (a+b)( + )≥4
C ≥a+b D ≥
解法一：由于是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1, 代入各选项中的不等式，易判断 ≥ 不成立
解法二：可逐项使用均值不等式判断
A．a+b+ ≥2 + ≥2 =2 ，不等式成立
B ∵a+b≥2 >0, + ≥2 >0,相乘得: (a+b)( + )≥4成立
C ∵a2+b2=(a+b)2－2ab≥(a+b)2－2( )2=( )2
又 ≤ ≥ ∴ ≥a+b 成立
D ∵a+b≥2 ≤ ,
∴ ≤ = ,即 ≥ 不成立
故选D
例2 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论
解:不对
设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为 真实重量为为G，则由杠杆平衡原理有：
，
①×②得G2= , ∴G=
由于 ，故 ,由平均值不等式 > 知说法不对
真实重量是两次称量结果的几何平均值
点评:本小题平均值 不等, 杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、解决问题的能力，属跨学科（数学、物理）的创新问题
例3设x≥0, y≥0, x2+ =1,则 的最大值为＿＿
分析: ∵x2+ =1是常数, ∴x2与 的积可能有最大值
∴可把x放到根号 里面去考虑,注意到x2与1+y2的积,应处理成2 x2?
解法一: ∵x≥0, y≥0, x2+ =1
∴ = =
≤ = =
当且仅当x= ,y= (即x2= )时, 取得最大值
解法二: 令 (0≤ ≤ )
则 =cos =
≤ =
当 = ,
即 = 时,x= ,y= 时， 取得最大值
例4 若a>b>0, 求 的最小值
分析: 的结构不对称,关键是 的分母(a?b)b,而(a?b)+b=a, 故问题突破口已显然! 也可以逐步进行：先对b求最小值 ，然后在对a求最小值
解法一: =[(a?b)+b]2 +
≥[2 ]2 + =4(a?b)b+ ≥16
当且仅当b=(a?b)且(a?b)b=2,即a=2b=2 时取等号,故 的最小值为16
解法二: =
当且仅当b=(a?b)且 ,
即a=2b=2 时取等号,故 的最小值为16
点评:在运用均值不等式求最值时,凑出定值是关键!但在定值的过程中,不一定就能凑出定值来,实际上,分几步凑也是可以的,只要每步取等号的条件相同便可
例5 若x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+ )(1+ )≥9
分析: x+y常数,xy可有最大值
证法一: 左边＝(1+ )(1+ )=1+ + + =1+ +
=1+ ≥1+ =9＝右边 (当且仅当x=y= 时取“=”号)
证法二： 令x= y= , 0< <
左边＝(1+ )(1+ )=(1+ )(1+ )
=1+ + + ? =1+
=1+ ≥1+8=9＝右边
0<2 < = 时，x=y= 时取等号
证法三：∵x+y=1
∴左边＝(1+ )(1+ )=(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ )
=5+2( + )≥5+4=9＝右边 (当且仅当x=y= 时取“=”号)
小结：
1 平均值定理是证明不等式的重要依据，其一般形式是：
a1a2a3```+an≥ ( a1a2a3```an均为正实数)，它的一边是“和”的形式，另一边是“积”的形式，要实现转化时，常用均值不等式 用它来求函数最值时，注意：一“正”二“定”三“相等”
2 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2≥2ab逆用ab≤ ; ≥ (a,b>0)逆用为ab≤( )2 （a,b>0）等 还要注意“添拆项”技巧和公式等号成立的条件等
3 在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值
学生练习
1 设a、b≥0,a＋b=1, 试比较大小： 2 (填“≥”,“≤”或“=”)
答案：≤
2 比较大小：若a>b>0, 则 (填“>”,“<”或“=”)
答案：>
2 若x, y∈R+, 且x＋y=s, xy=p, 则下列命题中正确的是（ ）
A 当且仅当x=y时，s有最小值2
B 当且仅当x=y时，p有最大值
C 当且仅当p为定值时，s有最小值2
D 若s为定值，则当且仅当x=y时，p有最大值
答案：D
4 若x, y∈R+, x＋y≤4,则下列不等式中成立的是（ ）
A ≤ B ＋ ≥1 C ≥ 2 D ≥1
答案：B 提示： ＋ ≥2 ≥2 ≥1
5 下列说法中不正确的是（ ）
A 由a、b∈R，可得a2＋b2≥2ab≥－(a2＋b2)
B 对于命题“a、b∈R+ ≥ ”,把条件改为a、b均为非负数后依然成立
C 若a>b>0, n∈Z, n>1,则a>b
D 若a、b、c∈R+，则
答案：D
提示： ≤ =
6 下列不等式中恒成立的是（ ）
A ctgθ＋tgθ≥2 B x＋ －1≥2
C ≥2 D xyz≤ (x＋y＋z=1)
答案：B
7 当x∈R+ 时可得到不等式x＋ ≥2, x＋ = ＋ ＋ ≥3, 由此可以推广为x＋ ≥n＋1, 取值p等于（ ）
A nn B n 2 C n D n＋1
答案：A 提示：x＋ ＝ ＋ ＋……＋ ＋ ≥n＋1，∴p= nn
8 x、y>0, x＋y=1, 且 ≤a恒成立, 则a的最小值为（ ）
A /2 B 2 C 2 D
答案：D 提示： ≤2 =
9 在区间(0, +∞)上，当x= 时，函数y= ＋3x有最小值
答案：2；9 提示：y= ＋3x≥3 =9,
10 函数y=m2＋ 的值域为
答案：[1, +∞) 提示：y=m2＋ = y=(m2＋1)＋ －1≥2
11 已知x、y、z≥0,且x＋y＋z=1, 则 的最大值为 ； 最小值为
答案： ；1
12 已知：a＋b＋c=1, a2＋b2＋c2=1, 且a>b>c,则a＋b的取值范围是 ；a2＋b2 的取值范围是
答案：(1, )；( , 1)
13 若a>1, b>1, c>1, ab=10，求证：log ac＋log bc≥4lgc, 并指出什么时候等号成立
答案：a=b= 时等号成立 提示：a>1, b>1, c>1, ab=10, log ac＋log bc=lgc? ≥lgc? =4lgc, 当lga=lgb时,即a=b= 时等号成立
14 若a>0, b>0，且 =1,
求证：(I) a＋b≥4;
(II) 对于一切n∈N, (a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立
提示：(I) =1, a＋b=( )(a＋b)=1＋ ＋ ＋1≥4,
(II) 当n=1时, 左式＝0，右式＝0，∴n=1时成立，假设n=k时成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1, 则当n=k＋1时，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1=(a＋b) (a＋b)k－ak＋1－bk＋1≥(a＋b)(ak＋bk＋22k－2k＋1) －ak＋1－bk＋1=abk＋bak＋(a＋b)(22k－2k＋1)≥2?2k＋1＋4?22k－4?2k＋1=22k＋2－2k＋2, ∴n=k＋1时命题成立
