第3讲 随机变量及其概率分布
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为________．
2．如果ξ～B15，14，则使P(ξ＝k)取最大值的k值为________．
3．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为________．
4．(2010?福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．
5．(2011?上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下：
x123
P(ξ＝x)？！？
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
6．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________．
7．在日前举行的全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x轴正方向移动的概率是23，沿y轴正方向移动的概率为13，则该机器人移动6次恰好移动到点(3,3)的概率为________．
8．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥1)＝________.
9．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是______．
10．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．
11．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.
12．(2010?安徽)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝25；②P(BA1)＝511；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
二、解答题
13．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率为932.
(1)求小李第一次参加考核就合格的概率P1；
(2)求小李参加考核的次数X的概率分布和数学期望E(X)．
14.在2011年5月某电视台进行的一场抢答比赛中，某人答对每道题的概率都是13，答错每道题的概率都是23，答对一道题积1分，答错一道题积－1分，答完n道题后的总积分记为Sn.
(1)求答完5道题后，S1＝S5＝1的概率；
(2)答完5道题后，设ξ＝S5，求ξ的概率分布及数学期望．
15．甲袋和乙袋中装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.
(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P2的值；
(3)设P2＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的概率分布和数学期望．
答 案
1. 827 2. 3或4 3. 121 4. 0.128 5. 2 6. 34 7. 160729
8. 6581 9. [0.4,1) 10. 499 11. 47 12．②④
13．解 (1)由题意得(1－P1)?P1＋18＝932，
∴P1＝14或58.∵P1>12，∴P1＝58.
(2)由(1)知小李4次考核每次合格的概率依次为58，34，78，1，
所以P(X＝1)＝58，P(X＝2)＝932，
P(X＝3)＝1－581－34×78＝21256，
P(X＝4)＝1－581－341－78×1＝3256，
所以X的概率分布为
X1234
P58
932
21256
3256
∴E(X)＝1×58＋2×932＋3×21256＋4×3256＝379256.
14．解 (1)根据分析，随机事件“答完5道题后，S1＝S5＝1”的概率是
P＝13×C24132×232＝881.
(2)若答对0或者5道题，则ξ＝5；
若答对1道题或者4道题，则ξ＝3；
若答对2道题或者3道题，则ξ＝1.
所以P(ξ＝1)＝C25132×233＋C35133×232＝4081；
P(ξ＝3)＝C15×13×234＋C45×134×23＝1027；
P(ξ＝5)＝135＋235＝1181.
所以ξ的概率分布为
Ξ135
P4081
1027
1181
ξ的数学期望E(ξ)＝1×4081＋3×1027＋5×1181＝18581.
15．解 (1)设甲袋中红球的个数为x，
依题意得x＝10×25＝4.
(2)由已知，得25m＋2mP23m＝13，
解得P2＝310.
(3)P(ξ＝0)＝35×45×45＝48125，
P(ξ＝1)＝25×45×45＋35×C12×15×45＝56125，
P(ξ＝2)＝25×C12×15×45＋35×152＝19125，
P(ξ＝3)＝25×152＝2125.
所以ξ的概率分布为
ξ0123
P48125
56125
19125
2125
所以E(ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝45.
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为________．
2．如果ξ～B15，14，则使P(ξ＝k)取最大值的k值为________．
3．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为________．
4．(2010?福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．
5．(2011?上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下：
x123
P(ξ＝x)？！？
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
6．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________．
7．在日前举行的全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x轴正方向移动的概率是23，沿y轴正方向移动的概率为13，则该机器人移动6次恰好移动到点(3,3)的概率为________．
8．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥1)＝________.
9．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是______．
10．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．
11．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.
12．(2010?安徽)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝25；②P(BA1)＝511；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
二、解答题
13．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率为932.
(1)求小李第一次参加考核就合格的概率P1；
(2)求小李参加考核的次数X的概率分布和数学期望E(X)．
14.在2011年5月某电视台进行的一场抢答比赛中，某人答对每道题的概率都是13，答错每道题的概率都是23，答对一道题积1分，答错一道题积－1分，答完n道题后的总积分记为Sn.
(1)求答完5道题后，S1＝S5＝1的概率；
(2)答完5道题后，设ξ＝S5，求ξ的概率分布及数学期望．
15．甲袋和乙袋中装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.
(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P2的值；
(3)设P2＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的概率分布和数学期望．
答 案
1. 827 2. 3或4 3. 121 4. 0.128 5. 2 6. 34 7. 160729
8. 6581 9. [0.4,1) 10. 499 11. 47 12．②④
13．解 (1)由题意得(1－P1)?P1＋18＝932，
∴P1＝14或58.∵P1>12，∴P1＝58.
(2)由(1)知小李4次考核每次合格的概率依次为58，34，78，1，
所以P(X＝1)＝58，P(X＝2)＝932，
P(X＝3)＝1－581－34×78＝21256，
P(X＝4)＝1－581－341－78×1＝3256，
所以X的概率分布为
X1234
P58
932
21256
3256
∴E(X)＝1×58＋2×932＋3×21256＋4×3256＝379256.
14．解 (1)根据分析，随机事件“答完5道题后，S1＝S5＝1”的概率是
P＝13×C24132×232＝881.
(2)若答对0或者5道题，则ξ＝5；
若答对1道题或者4道题，则ξ＝3；
若答对2道题或者3道题，则ξ＝1.
所以P(ξ＝1)＝C25132×233＋C35133×232＝4081；
P(ξ＝3)＝C15×13×234＋C45×134×23＝1027；
P(ξ＝5)＝135＋235＝1181.
所以ξ的概率分布为
Ξ135
P4081
1027
1181
ξ的数学期望E(ξ)＝1×4081＋3×1027＋5×1181＝18581.
15．解 (1)设甲袋中红球的个数为x，
依题意得x＝10×25＝4.
(2)由已知，得25m＋2mP23m＝13，
解得P2＝310.
(3)P(ξ＝0)＝35×45×45＝48125，
P(ξ＝1)＝25×45×45＋35×C12×15×45＝56125，
P(ξ＝2)＝25×C12×15×45＋35×152＝19125，
P(ξ＝3)＝25×152＝2125.
所以ξ的概率分布为
ξ0123
P48125
56125
19125
2125
所以E(ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝45.
