4.三角函数的性质
一、知识梳理：
1、三角函数的性质
函数y=sinxy=cosxy=tanx
定义域RR
值域和最值[-1,1]
当 时，
，
当 时，
，
[-1,1]
当 时，
，
当 时，
，
R
无最值
周期2π2ππ
奇偶性 奇函数偶函数奇函数
单调区间增区间：
减区间：
增区间：
减区间：
增区间：
每一个
减区间：无
对称轴
无
对称中心
2、函数 最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；
对称轴的位置：图象的最高点处；对称中心的位置：函数的零点处。
而函数 对称轴的位置：函数的零点处；对称中心的位置：图象的最高点处。
3、思想方法:
（1）总是用图象得函数的各性质,
（2）选取一个恰当的周期讨论性质从而加上周期推广到整个定义域。
（3）在研究函数 的各项性质的时候总是设 ，从而只需讨论 的各项性质就可得到 的各项性质和由 的范围得到 的范围.
（4）合一：y=asinx+bcosx= sin（x+ ）= cos（x+ ）
这里，
二、典例讨论：
1、定义域问题：三角不等式用三角函数线或图象上求之。
例1、求下列函数的定义域：（1） ；
（2） ．
解(1)x应满足 ,即为 所以所求定义域为
(2)x应满足 ，利用单位圆中的三角函数线可得
所以所求定义域为
2、求单调区间：
例2、求下列函数的单调区间.
(1). (2).
解:（1） 上单调递增， 上单调递减。
(2).原函数变形为 令 ,则只需求 的单调区间即可. ,( )上
即 ,( )上单调递增,
在 ,上
即 ,上单调递减
故 的递减区间为:
递增区间为: .
[思维点拔] 1、要注意子函数的单调性,若函数为 则变形为 即可.2、在 中我们总是通过令 先求出
3、写成区间而不是不等式。注意取一个周期上求解。
3、求最小正周期
例3、求下列函数的最小正周期:
(1),
(2).
解：（1） ，（2）
指出求周期的一般方法：
1）化为 或 或
2）图象法：
3）定义法：
讨论练习：
求下列函数的最小正周期:
（1）
解：
所以，
（2）
解：因为 的周期 ，所以， 的周期
4、值域问题：
例4、求下列函数的值域：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
解：由题意 ，
∴ ，
∵ ，∴ 时， ，但 ，∴ ，
∴原函数的值域为 ．
（2）∵ ，又∵ ，∴ ，∴ ，
∴函数 的值域为 ．
（3）由 得 ，∴ ，
这里 ， ．
∵ ，∴ ．解得 ，
∴原函数的值域为 ．
5、奇偶性问题：
例5：讨论：（1）已知函数 为偶函数， ，其图象与直线 的交点的横坐标为 ，若 的最小值为 ，则 ， .
解： ，
（2） 已知 ，函数 为奇函数，则a＝ （ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）±1
解：A 提示：由题意可知， 得a=0
6、对称性问题：
例6、（1）下列坐标所表示的点不是函数 的图象的对称中心的是 （ ）
（A）（ ，0） （B）（ ，0） （C）（ ，0） （D）（ ，0）
解：Ｄ提示：令 ，函数图象的对称中心为
(2)如果函数 的图象关于直线 对称，则 ．
解： -1 提示:根据
（3）将函数 的图象F向右平移 个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线 则 的一个可能取值是
A. B. C. D.
解： 平移得到图象 的解析式为 ,
对称轴方程 ，
把 带入得 ，令 ，
三、课堂小结：
四、课后作业：
1.已知函数 ， ．求:
(I) 函数 的最大值及取得最大值的自变量 的集合；
(II) 函数 的单调增区间．
解(I)
当 ,即 时, 取得最大值 .
函数 的取得最大值的自变量 的集合为 .
(II)
由题意得:
即:
因此函数 的单调增区间为 .
2、求下列函数的值域：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
解：由题意 ，
∴ ，
∵ ，∴ 时， ，但 ，∴ ，
∴原函数的值域为 ．
（2）∵ ，又∵ ，∴ ，∴ ，
∴函数 的值域为 ．
（3）由 得 ，∴ ，
这里 ， ．
∵ ，∴ ．解得 ，
∴原函数的值域为 ．
3.是否存在实数a，使得函数 在闭区间 上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由．
解：
当 时， ，令 则 ，
综上知，存在 符合题意．
一、知识梳理：
1、三角函数的性质
函数y=sinxy=cosxy=tanx
定义域RR
值域和最值[-1,1]
当 时，
，
当 时，
，
[-1,1]
当 时，
，
当 时，
，
R
无最值
周期2π2ππ
奇偶性 奇函数偶函数奇函数
单调区间增区间：
减区间：
增区间：
减区间：
增区间：
每一个
减区间：无
对称轴
无
对称中心
2、函数 最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；
对称轴的位置：图象的最高点处；对称中心的位置：函数的零点处。
而函数 对称轴的位置：函数的零点处；对称中心的位置：图象的最高点处。
3、思想方法:
（1）总是用图象得函数的各性质,
（2）选取一个恰当的周期讨论性质从而加上周期推广到整个定义域。
（3）在研究函数 的各项性质的时候总是设 ，从而只需讨论 的各项性质就可得到 的各项性质和由 的范围得到 的范围.
（4）合一：y=asinx+bcosx= sin（x+ ）= cos（x+ ）
这里，
二、典例讨论：
1、定义域问题：三角不等式用三角函数线或图象上求之。
例1、求下列函数的定义域：（1） ；
（2） ．
解(1)x应满足 ,即为 所以所求定义域为
(2)x应满足 ，利用单位圆中的三角函数线可得
所以所求定义域为
2、求单调区间：
例2、求下列函数的单调区间.
(1). (2).
解:（1） 上单调递增， 上单调递减。
(2).原函数变形为 令 ,则只需求 的单调区间即可. ,( )上
即 ,( )上单调递增,
在 ,上
即 ,上单调递减
故 的递减区间为:
递增区间为: .
[思维点拔] 1、要注意子函数的单调性,若函数为 则变形为 即可.2、在 中我们总是通过令 先求出
3、写成区间而不是不等式。注意取一个周期上求解。
3、求最小正周期
例3、求下列函数的最小正周期:
(1),
(2).
解：（1） ，（2）
指出求周期的一般方法：
1）化为 或 或
2）图象法：
3）定义法：
讨论练习：
求下列函数的最小正周期:
（1）
解：
所以，
（2）
解：因为 的周期 ，所以， 的周期
4、值域问题：
例4、求下列函数的值域：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
解：由题意 ，
∴ ，
∵ ，∴ 时， ，但 ，∴ ，
∴原函数的值域为 ．
（2）∵ ，又∵ ，∴ ，∴ ，
∴函数 的值域为 ．
（3）由 得 ，∴ ，
这里 ， ．
∵ ，∴ ．解得 ，
∴原函数的值域为 ．
5、奇偶性问题：
例5：讨论：（1）已知函数 为偶函数， ，其图象与直线 的交点的横坐标为 ，若 的最小值为 ，则 ， .
解： ，
（2） 已知 ，函数 为奇函数，则a＝ （ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）±1
解：A 提示：由题意可知， 得a=0
6、对称性问题：
例6、（1）下列坐标所表示的点不是函数 的图象的对称中心的是 （ ）
（A）（ ，0） （B）（ ，0） （C）（ ，0） （D）（ ，0）
解：Ｄ提示：令 ，函数图象的对称中心为
(2)如果函数 的图象关于直线 对称，则 ．
解： -1 提示:根据
（3）将函数 的图象F向右平移 个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线 则 的一个可能取值是
A. B. C. D.
解： 平移得到图象 的解析式为 ,
对称轴方程 ，
把 带入得 ，令 ，
三、课堂小结：
四、课后作业：
1.已知函数 ， ．求:
(I) 函数 的最大值及取得最大值的自变量 的集合；
(II) 函数 的单调增区间．
解(I)
当 ,即 时, 取得最大值 .
函数 的取得最大值的自变量 的集合为 .
(II)
由题意得:
即:
因此函数 的单调增区间为 .
2、求下列函数的值域：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
解：由题意 ，
∴ ，
∵ ，∴ 时， ，但 ，∴ ，
∴原函数的值域为 ．
（2）∵ ，又∵ ，∴ ，∴ ，
∴函数 的值域为 ．
（3）由 得 ，∴ ，
这里 ， ．
∵ ，∴ ．解得 ，
∴原函数的值域为 ．
3.是否存在实数a，使得函数 在闭区间 上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由．
解：
当 时， ，令 则 ，
综上知，存在 符合题意．
