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2012届高考数学备考复习等差数列、等比数列教案

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第一讲 等差数列、等比数列
【备考策略】
根据近几年高考命题特点和规律,复习本专题时要注意以下几方面:
1.弄清等差、等比数列的基本概念及性质,掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式。
2.掌握特殊数列的求和方法。如:倒序相加、错位相减、裂项相消、分组求和等。
3.利用数列中 与 之间的关系,求能项公式及解决其他数列问题。
4.利用数列的递推关系,求通项公式,结合n项和公式,解决数列应用题。
5.数列经常与函数、三角、不等式、解析几何等知识结合,综合考查等差、等比数列的性质、通项公式及前n项和公式的应用。
6.利用方程的思想、根据公式列方程(组),解决等差数列、等比数列中的“知三求二”问题;利用函数的思想或根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前n项和 的最值问题;利用等价转化的思想把非等差数列、等比数列问 题转化为等差、等比数列问题来解决;利用分类讨论的思想解决等比数列的公比q是否为1等问题。
7.结合数学归纳法解决一类归纳――猜想――证明的题目。
第一讲 等差数列、等比数列
【最新考纲透析】
1.数列的概念和简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)。
(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数。
2.等差数列、等比数列
(1)理解等差数列、等比数列的概念。
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。

【核心要点突破】
要点考向1:有关等差数列的基本问题
考情聚焦:1.等差数列作为高考中数学的重点内容,在历年高考中都有所考查。
2.该类问题一般独立命题,考查等差数列的概念、性质、通项公式、前n项公式,有时与函数的单调性、不等式知识结合在一起命题。
3.多以选择题、填空题的形式出现,属中、低档题。
考向链接:1.涉及等差数 列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题;
2.等差数列前n项和的最值问题,经常转化为二次函数的最值问题;有时利用数列的单调性(d>0,递增;d<0,递减);
3.证明数列{ }为等差数列有如下方法:①定义法;证明 (与n值无关的常数);②等差中项法:证明 。
例1:(2010?浙江 高考文科?T19)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足 +15=0。
(Ⅰ)若 =5,求 及a1;
(Ⅱ)求d的取值范围。
【命题立意】本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。
【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前n项和求解即可。
【规范解答】(Ⅰ)由题意知S6= =-3, =S6-S5=-8。所以
解得a1=7,所以S6= -3,a1=7
(Ⅱ)方法一:因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d2≥8.[ 故d的取值范围为d≤-2 或d≥2 .
方法二:因为S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
看成关于 的一元二次方程,因为有根,所以 ,解得 或 。
要点考向2:有关等比数列的基本问题
考情聚焦:1.等比数列作为高中数学的重点内容,在历年高考中都有所考查。
2.该类问题有时单独命题,考查等比数列的概念、通项公式、前n项和公式;但更多的是与函数的单调性、不等式结合在一起,在知识交汇点 处命题。
3.选择、填空及解答题中都有可能出现,属中、高档题。
考向链接:(1)证明数列{ }为等比数列有如下方法:
①定义法:证明 。
②等比中项法: 。
(2)求一般数列{ }通项公式时常用构造数列法、待定系数法等。
例2:(2010?辽宁高考理科?T6)设{an}是有正数组成的等比数列, 为其前n项和。已知a2a4=1, ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式,等比数列的前n项和公式
【思路点拨】列出关于a1 q 的方程组,解出a1 q 再利用前n项和公式求出
【规范解答】选B。根据题意可得:

要点考向3:等差、等比数列综合问题
考情聚焦:1.等差、等比数列作为高中数学的重点内容,在历年高考中都有所体现。
2.单独考查等差数列或等比数列的问题较少,大部分题目是等差、等比数列在同一个题中出现,在两知识的交汇点处命题,同时考查其他数学知识、思想方法等。
3.多以解答题的形式出现,属中、高档题目。
例3:(2010?陕西高考理科?T16)
已知 是公差不为零的等差数列, 且 成等比数列
(Ⅰ)求数列 的通项公式,(Ⅱ)求数列 的前n项和
【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查考生的运算求解能力.
【思路点拨】已知 关于d的方程 d
【规范解答】

【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
2.数列求通项的常见类型与方法:公式法、由递推公式求通项,由 求通项,累加法、累乘法等
3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。
4.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略.

【高考真题探究】
1.(2010?福建高考理科?T3)设等差数列 的前n项和为 。若 , ,则当 取最小值时,n等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【命题立意】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度,以及一元二次方程最值问题的求解。
【思路点拨】 。
【规范解答】选A,由 ,得到 ,从而 ,所以 ,因此当 取得最小值时, .= ,又 ,故 ,从而 , .
2.(2010?辽宁高考文科?T3)设 为等比数列 的前n项和,已知
,则公比q = ( )
(A)3(B)4(C)5(D)6
【命题立意】本题主要考查等比数列的前n项和公式,考查等比数列的通项公式。
【思路点拨】两式相减,即可得到相邻两项的关系,进而可求公比q。
【规范解答】选B,两式相减可得: , 。故选B。
3.(2010?福建高考理科?T11)在等比数列{ }中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 = 。
【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式。
【思路点拨】由前3项之和等于21求出 ,进而求出通项 。
【规范解答】选A, ,
【方法技巧】另解: ,
4.(2010?辽宁高考文科?T14)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6 =24,则a9= .
【命题立意】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前n项和公式
【思路点拨】根据等差数列前n项和公式,列出关于首项a1和公差d的方程组,求出a1和d,再求出
【规范解答】记首项a1公差d,则有 。

【答案】15
5.(2010?浙江高考文科?T14)在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么,位于下表中的第n行第n+1列的数是 。

【命题立意】本题主要考察了等差数列的概念和通项公式,以及运用等差关系解决问题的能力,属中档题。
【思路点拨】解决本题要先观察表格,找出表中各等差数列的特点。
【规范解答】第n行第一列的数为n,观察得,第n行的 公差为n,所以第n0行的通项公式为 ,又因为为第n+1列,故可得答案为 。
【答案】
6.(2 010?北京高考文科?T16)已知 为等差数列,且 , 。
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)若等比数列 满足 , ,求 的前n项和公式
【命题立意】本题考查等差数列的通项公式等比数列的前n项和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
【思路点拨】(1)由 可列方程解出 ,从而可求出通项公式;(2)求出 ,再求出公式。代入等比数列的前n项和公式即可。
【规范解答】(Ⅰ)设等差数列 的公差 。 因为
所以 解得 ,所以
(Ⅱ)设等比数列 的公比为
因为 所以 即 =3
所以 的前 项和公式为

【跟踪模拟训练】
一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,总分36分)
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=1,a 3=3,则S4=( )
(A)12(B)10(C)8(D)6
2.设数列{xn}满足log2xn+1=1+log2xn,且x1+x2+x3+…+x10=10,则x11+x12+x13+…+x20的值为( )
(A)10×211(B)10×210
(C)11×211(D)11×210
3.已知正数组成的等差数列{an},前20项和为100,则a7?a14的最大值是( )
(A)25(B)50(C)100(D)不存在
4.已知 为等 比数列,Sn是它的前n项和。若 , 且 与2 的等差中项为 ,则 =( )
A.35 B.33 C.31 D.29
5. 设 是任意等比数列,它的前 项和,前 项和与前 项和分别为 ,则下列等式中恒成立的是( )
A、 B、
C、 D、
6. (2010?潍坊模拟)已知数列{an}是公差为d的等差数列,Sn是其前n项和,且有S9A.S9C.S7与S8均为Sn的最大值 D.a8=0

二、填空题(本大题共3个小题,每小题6分,总分18分)
7.将正偶数划分为数组:(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20),…,则第n组各数的和是 .(用含n的式子表示)
8.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2 009=_______;a2 014=_______.
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(10,a10)的直线的斜率为_______.

三、解答题(10、11题每小题15分,12题16分,总分46分)
10.数列 的通项 试问该数列有没有最大项?若有,求 出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由
11.在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,则am,am+2,am+1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题;
(2)判断逆命题是否为真?并给出证明.
12.已知数列 中,前n项和为 , ,并且 ( ),
(1)求 , 的值;
(2)设 ,若实数 使得数列 为等差数列,求 的值。
(3)在(2)的条件下,设数列 的前n项和为 ,求证:


参考答案
一、选择题
1. 【解析】选C.S4= =2×(1+3)=8.
2. 【解析】选B.∵log2xn+1-log2xn=1,

∴{xn}为等比数列,其公比q=2,
又∵x1+x2+…+x10=10,
∴x11+x12+…+x20=q10(x1+x2+…+x10)=210×10.
3. 【解析】选A.∵S20= ×20=100,
∴a 1+a20=10,
∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10.
∵an>0,∴a7?a14≤( )2=25.
4. 【解析】选
由 ,又 得
所以, , , ,
5. 【解析】选 D,设等比数列 的公比为 ,由题意,


, ,所以 ,故D正确。
6. 【解析】选A 由题意知d<0,a8=0,所以
二、填空题
7. 【解析】前 组共有偶数的个数为
故第 组共有 个偶数,且第一 个偶数是正偶数数列
的第 ,
所以第n组各数的和为
答案:
8. 【解析】依题意,得a2 009=a4×503-3=1,a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0.
答案:1 0
9. 【解析】∵a4=15,S5=55.
∴55= =5a3,∴a3=11.
∴公差d=a4-a3=15-11=4.
a10=a4+6d=15+24=39.
∴P(3,11),Q(10,39)
kPQ= =4.
答案:4

三、解答题
10. 【解析】方法1:
∴当n<9时,
当 时 ,
当n>9时,  ,
故 ,  
∴数列 中最大项为 或 .其值为 ,其项数为9或10 

∴数列 中最大项为 或 .其值为 ,其项数为9或10 

11. 【解析】(1)在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若am,am+2,am+1
成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
(2)设数列{an}的首项为a1,公比为q.
由题意知:2am+2=am+am+1,
即 2a1qm+1=a1qm-1+a1qm.
∵a1≠0,q≠0,∴2q2-q-1=0,


12. 【解析】(1)由 ( )得
即 ( )



(2)由条件


∵ 为等差数列 ∴

解得
∴ 且 ,
∴ ,
即数列 是公差为 ,首项为 的等差数列
(3)由(2)得 ( )
∴ 【备课资源】


4.已知数列前n项和Sn=(k-2)+kan,其中n∈N*,k>1.
(1)证明:{an}是等比数列;
(2)当a1【解析】(1)Sn=(k-2)+kan,Sn+1=(k-2)+kan+1,
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