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2012届高考数学第一轮函数的表示专项复习教案

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1.函数的三种表示法
(1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.
(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
(3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
2.复习目标
(1)由所给函数表达式正确求出函数的定义域;
(2)掌握求函数值域的几种常用方法;
(3)能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式;
(4)会进行函数三种表示方法的互化,培养学生思维的严密性、多样性.
●点击双基
1.(2004年春季安徽)若f(sinx)=2-cos2x,则f(cosx)等于
A.2-sin2xB.2+sin2xC.2-cos2xD.2+cos2x
解析:∵f(sinx)=2-(1-2sin2x)=1+2sin2x,
∴f(cosx)=f(sin -x)=1+2sin2( -x)=1+2cos2x=2+cos2x.
答案:D
2.(2004年湖北,3)已知f( )= ,则f(x)的解析式可取为
A. B.-
C. D.-
解析:令 =t,则x= ,∴f(t)= .∴f(x)= .
答案:C
评述:本题考查函数的定义及换元思想.
3.(2005年春季北京,文2)函数f(x)=x-1的图象是

解析:转化为分段函数y=
答案:B
4.函数y= 的定义域为______________,值域为___________________.
答案:[-1,2][0, ]
●典例剖析
【例1】已知函数f(x)= 的定义域是R,则实数a的取值范围是
A.a> B.-12<a≤0C.-12<a<0D.a≤
剖析:由a=0或 可得-12<a≤0.
答案:B
【例2】在△ABC中,BC=2,AB+AC=3,中线AD的长为y,AB的长为x,建立y与x的函数关系式,并指出其定义域.

解:设∠ADC=θ,则∠ADB=π-θ.
根据余弦定理得
12+y2-2ycosθ=(3-x)2,①
12+y2-2ycos(π-θ)=x2.②
由①+②整理得y= .其中 解得 <x< .
∴函数的定义域为( , ).
评述:函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义的要求.
【例3】若函数f(x)= 的值域为[-1,5],求实数a、c.
解:由y=f(x)= ,得x2y-ax+cy-1=0.
当y=0时,ax=-1,∴a≠0.
当y≠0时,∵x∈R,∴Δ=a2-4y(cy-1)≥0.
∴4cy2-4y-a2≤0.∵-1≤y≤5,∴-1、5是方程4cy2-4y-a2=0的两根.
∴ ∴
评述:求f(x)= (a12+a22≠0)的值域时,常利用函数的定义域非空这一隐含的条件,将函数转化为方程,利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时,要注意二次项系数为字母时要讨论.
●闯关训练
夯实基础
1.函数y= 的值域是
A.[-1,1]B.(-1,1]C.[-1,1)D.(-1,1)
解法一:y= = -1.∵1+x2≥1,∴0< ≤2.∴-1<y≤1.
解法二:由y= ,得x2= .∵x2≥0,∴ ≥0,解得-1<y≤1.
解法三:令x=tanθ(- <θ< ),则y= =cos2θ.∵-π<2θ<π,
∴-1<cos2θ≤1,即-1<y≤1.
答案:B
2.如果f[f(x)]=2x-1,则一次函数f(x)=___________________.
解析:设f(x)=kx+b,则f[f(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b.
由于该函数与y=2x-1是同一个函数,∴k2=2且kb+b=-1.∴k=± .
当k= 时,b=1- ;当k=- 时,b=1+ .
答案:f(x)= x+1- 或f(x)=- x+1+
3.已知f(x2-4)=lg ,则f(x)的定义域为__________.
解析:设x2-4=t,则t≥-4,x2=4+t.∴f(t)=lg .∴f(x)=lg (x≥-4).
由 得x>4.
答案:(4,+∞)
4.用长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如下图),若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并写出其定义域.

解:∵AB=2x,则 =πx,AD= .
∴y=2x? + =-( +2)x2+lx.
由 >0,解得0<x< .
5.(2005年北京市西城区模拟题)已知函数f(x)= 则f(lg30-lg3)=___________________;不等式xf(x-1)<10的解集是___________________.
解析:f(lg30-lg3)=f(lg10)=f(1)=-2,f(x-1)=
当x≥3时,x(x-3)<10 -2<x<5,故3≤x<5.
当x<3时,-2x<10 x>-5,故-5<x<3.
总之x∈(-5,5).
答案:-2{x-5<x<5}
培养能力
6.设定义在N上的函数f(x)满足f(n)= 试求f(2002)的值.
解:∵2002>2000,
∴f(2002)=f[f(2002-18)]=f[f(1984)]=f[1984+13]=f(1997)=1997+13=2010.
7.设f(x)= -2x+1,已知f(m)= ,求f(-m).
解:∵f(m)= ,∴ -2m+1= .①
∴ -2m= -1.
而f(-m)= +2m+1= +2m+1= +2m+1= +2m+1=- +2m+1=-( -2m)+1=-( -1)+1=2- .
8.(理)(2003年重庆市高三毕业班诊断性考试)某市有小灵通与全球通两种手机,小灵通手机的月租费为25元,接听电话不收费,打出电话一次在3min以内收费0.2元,超过3min的部分为每分钟收费0.1元,不足1min按1min计算(以下同).全球通手机月租费为10元,接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多,每次接听与打出的时间在1min以内、1到2min以内、2到3min以内、3到4min以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问,根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省?(注:m到m+1min以内指含mmin,而不含m+1min)
解:设小灵通每月的费用为y1元,全球通的费用为y2元,分别在1min以内、2min以内、3min以内、4min以内的通话次数为4x、3x、x、x,则
y1=25+(4x+3x+x+x)×0.2+0.1x=25+1.9x,
y2=10+2(0.2×4x+0.4×3x+0.6x+0.8x)=10+6.8x.
令y1≥y2,即25+1.9x≥10+6.8x,解得x≤ ≈3.06.
∴总次数为(4+3+1+1)×2×3.06=55.1.
故当他每月的通话次数小于等于55次时,应选择全球通,大于55次时应选择小灵通.
(文)(2005年北京东城区模拟题)定义“符号函数”f(x)=sgnx= 则不等式x+2>(x-2)sgnx的解集是______________.
解析:分类讨论.
答案:(- ,+∞)
探究创新
9.图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.

(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义.
(2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图②③所示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗?
解:(1)点A表示无人乘车时收入差额为-20元,点B表示有10人乘车时收入差额为0元,线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示赢利.
(2)图②的建议是降低成本,票价不变,图③的建议是增加票价.
深化拓展
(1)图①、图②中的票价是多少元?图③中的票价是多少元?
(2)此问题中直线斜率的实际意义是什么?
答案:(1)图①②中的票价是2元.
图(3)中的票价是4元.
(2)斜率表示票价.
●思悟小结
1.并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示,函数还有另外两种表示方法:列表法、图象法.
2.求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式,可用待定系数法;如果已知复合函数f[g(x)]的表达式来求f(x),常用换元法;当已知表达式较简单时,甚至可直接用凑配法求解.
3.要熟悉求函数值域的几种基本方法,遇到求值域的问题,应优先考虑采用特殊方法,如不等式法、配方法、几何法、换元法等.当特殊方法不易解决时,再采用一般方法如方程法求解.如一题可有多种方法解决时,应注意选择最优解法.
●教师下载中心
点睛
1.用换元法解决问题时,应提醒学生注意“新元”相应的取值范围.
2.强化待定系数法在求函数解析式中的重要作用.
3.新课改对函数的图象表示提出了更高的要求,要加强图象表示的.
拓展题例
【例题】已知扇形的周长为10,求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、值域.
解:设扇形的弧长为l,则l=10-2r,∴S= lr=(5-r)r=-r2+5r.
由 得 <r<5.∴S=-r2+5r的定义域为( ,5).
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