1.函数的三种表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
2.复习目标
（1）由所给函数表达式正确求出函数的定义域；
（2）掌握求函数值域的几种常用方法；
（3）能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；
（4）会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性.
●点击双基
1.（2004年春季安徽）若f（sinx）=2－cos2x，则f（cosx）等于
A.2－sin2xB.2+sin2xC.2－cos2xD.2+cos2x
解析：∵f（sinx）=2－（1－2sin2x）=1+2sin2x，
∴f（cosx）=f（sin －x）=1+2sin2（ －x）=1+2cos2x=2+cos2x.
答案：D
2.（2004年湖北，3）已知f（ ）= ，则f（x）的解析式可取为
A. B.－
C. D.－
解析：令 =t，则x= ，∴f（t）= .∴f（x）= .
答案：C
评述：本题考查函数的定义及换元思想.
3.（2005年春季北京，文2）函数f（x）=x－1的图象是
解析：转化为分段函数y=
答案：B
4.函数y= 的定义域为______________，值域为___________________.
答案：［－1，2］［0， ］
●典例剖析
【例1】已知函数f（x）= 的定义域是R，则实数a的取值范围是
A.a＞ B.－12＜a≤0C.－12＜a＜0D.a≤
剖析：由a=0或 可得－12＜a≤0.
答案：B
【例2】在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，建立y与x的函数关系式，并指出其定义域.
解：设∠ADC＝θ，则∠ADB＝π－θ.
根据余弦定理得
12＋y2－2ycosθ＝（3－x）2，①
12＋y2－2ycos（π－θ）＝x2.②
由①＋②整理得y＝ .其中 解得 ＜x＜ .
∴函数的定义域为（ ， ）.
评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.
【例3】若函数f（x）= 的值域为［－1，5］，求实数a、c.
解：由y=f（x）= ，得x2y－ax+cy－1=0.
当y=0时，ax=－1，∴a≠0.
当y≠0时，∵x∈R，∴Δ=a2－4y（cy－1）≥0.
∴4cy2－4y－a2≤0.∵－1≤y≤5，∴－1、5是方程4cy2－4y－a2=0的两根.
∴ ∴
评述：求f（x）= （a12+a22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.
●闯关训练
夯实基础
1.函数y= 的值域是
A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）
解法一：y= = －1.∵1+x2≥1，∴0＜ ≤2.∴－1＜y≤1.
解法二：由y= ，得x2= .∵x2≥0，∴ ≥0，解得－1＜y≤1.
解法三：令x=tanθ（－ ＜θ＜ ），则y= =cos2θ.∵－π＜2θ＜π，
∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y≤1.
答案：B
2.如果f［f（x）］=2x－1，则一次函数f（x）=___________________.
解析：设f（x）=kx+b，则f［f（x）］=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b.
由于该函数与y=2x－1是同一个函数，∴k2=2且kb+b=－1.∴k=± .
当k= 时，b=1－ ；当k=－ 时，b=1+ .
答案：f（x）= x+1－ 或f（x）=－ x+1+
3.已知f（x2－4）=lg ，则f（x）的定义域为__________.
解析：设x2－4=t，则t≥－4，x2=4+t.∴f（t）=lg .∴f（x）=lg （x≥－4）.
由 得x＞4.
答案：（4，+∞）
4.用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如下图），若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域.
解：∵AB=2x，则 =πx，AD= .
∴y=2x? + =－（ +2）x2+lx.
由 ＞0，解得0＜x＜ .
5.（2005年北京市西城区模拟题）已知函数f（x）= 则f（lg30－lg3）=___________________；不等式xf（x－1）＜10的解集是___________________.
解析：f（lg30－lg3）=f（lg10）=f（1）=－2，f（x－1）=
当x≥3时，x（x－3）＜10 －2＜x＜5，故3≤x＜5.
当x＜3时，－2x＜10 x＞－5，故－5＜x＜3.
总之x∈（－5，5）.
答案：－2{x－5＜x＜5}
培养能力
6.设定义在N上的函数f（x）满足f（n）= 试求f（2002）的值.
解：∵2002＞2000，
∴f（2002）=f［f（2002－18）］=f［f（1984）］=f［1984+13］=f（1997）=1997+13=2010.
7.设f（x）= －2x+1，已知f（m）= ，求f（－m）.
解：∵f（m）= ，∴ －2m+1= .①
∴ －2m= －1.
而f（－m）= +2m+1= +2m+1= +2m+1= +2m+1=－ +2m+1=－（ －2m）+1=－（ －1）+1=2－ .
8.（理）（2003年重庆市高三毕业班诊断性考试）某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3min以内收费0.2元，超过3min的部分为每分钟收费0.1元，不足1min按1min计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1min以内、1到2min以内、2到3min以内、3到4min以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m到m+1min以内指含mmin，而不含m+1min）
解：设小灵通每月的费用为y1元，全球通的费用为y2元，分别在1min以内、2min以内、3min以内、4min以内的通话次数为4x、3x、x、x，则
y1=25+（4x+3x+x+x）×0.2+0.1x=25+1.9x，
y2=10+2（0.2×4x+0.4×3x+0.6x+0.8x）=10+6.8x.
令y1≥y2，即25+1.9x≥10+6.8x，解得x≤ ≈3.06.
∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.
故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.
（文）（2005年北京东城区模拟题）定义“符号函数”f（x）=sgnx= 则不等式x+2＞（x－2）sgnx的解集是______________.
解析：分类讨论.
答案：（－ ，+∞）
探究创新
9.图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.
（1）试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义.
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
解：（1）点A表示无人乘车时收入差额为－20元，点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利.
（2）图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价.
深化拓展
（1）图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？
（2）此问题中直线斜率的实际意义是什么？
答案：（1）图①②中的票价是2元.
图（3）中的票价是4元.
（2）斜率表示票价.
●思悟小结
1.并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示，函数还有另外两种表示方法：列表法、图象法.
2.求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式，可用待定系数法；如果已知复合函数f［g（x）］的表达式来求f（x），常用换元法；当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑配法求解.
3.要熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题，应优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法等.当特殊方法不易解决时，再采用一般方法如方程法求解.如一题可有多种方法解决时，应注意选择最优解法.
●教师下载中心
点睛
1.用换元法解决问题时，应提醒学生注意“新元”相应的取值范围.
2.强化待定系数法在求函数解析式中的重要作用.
3.新课改对函数的图象表示提出了更高的要求，要加强图象表示的.
拓展题例
【例题】已知扇形的周长为10，求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、值域.
解：设扇形的弧长为l，则l=10－2r，∴S= lr=（5－r）r=－r2+5r.
由 得 ＜r＜5.∴S=－r2+5r的定义域为（ ，5）.
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
2.复习目标
（1）由所给函数表达式正确求出函数的定义域；
（2）掌握求函数值域的几种常用方法；
（3）能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；
（4）会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性.
●点击双基
1.（2004年春季安徽）若f（sinx）=2－cos2x，则f（cosx）等于
A.2－sin2xB.2+sin2xC.2－cos2xD.2+cos2x
解析：∵f（sinx）=2－（1－2sin2x）=1+2sin2x，
∴f（cosx）=f（sin －x）=1+2sin2（ －x）=1+2cos2x=2+cos2x.
答案：D
2.（2004年湖北，3）已知f（ ）= ，则f（x）的解析式可取为
A. B.－
C. D.－
解析：令 =t，则x= ，∴f（t）= .∴f（x）= .
答案：C
评述：本题考查函数的定义及换元思想.
3.（2005年春季北京，文2）函数f（x）=x－1的图象是
解析：转化为分段函数y=
答案：B
4.函数y= 的定义域为______________，值域为___________________.
答案：［－1，2］［0， ］
●典例剖析
【例1】已知函数f（x）= 的定义域是R，则实数a的取值范围是
A.a＞ B.－12＜a≤0C.－12＜a＜0D.a≤
剖析：由a=0或 可得－12＜a≤0.
答案：B
【例2】在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，建立y与x的函数关系式，并指出其定义域.
解：设∠ADC＝θ，则∠ADB＝π－θ.
根据余弦定理得
12＋y2－2ycosθ＝（3－x）2，①
12＋y2－2ycos（π－θ）＝x2.②
由①＋②整理得y＝ .其中 解得 ＜x＜ .
∴函数的定义域为（ ， ）.
评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.
【例3】若函数f（x）= 的值域为［－1，5］，求实数a、c.
解：由y=f（x）= ，得x2y－ax+cy－1=0.
当y=0时，ax=－1，∴a≠0.
当y≠0时，∵x∈R，∴Δ=a2－4y（cy－1）≥0.
∴4cy2－4y－a2≤0.∵－1≤y≤5，∴－1、5是方程4cy2－4y－a2=0的两根.
∴ ∴
评述：求f（x）= （a12+a22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.
●闯关训练
夯实基础
1.函数y= 的值域是
A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）
解法一：y= = －1.∵1+x2≥1，∴0＜ ≤2.∴－1＜y≤1.
解法二：由y= ，得x2= .∵x2≥0，∴ ≥0，解得－1＜y≤1.
解法三：令x=tanθ（－ ＜θ＜ ），则y= =cos2θ.∵－π＜2θ＜π，
∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y≤1.
答案：B
2.如果f［f（x）］=2x－1，则一次函数f（x）=___________________.
解析：设f（x）=kx+b，则f［f（x）］=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b.
由于该函数与y=2x－1是同一个函数，∴k2=2且kb+b=－1.∴k=± .
当k= 时，b=1－ ；当k=－ 时，b=1+ .
答案：f（x）= x+1－ 或f（x）=－ x+1+
3.已知f（x2－4）=lg ，则f（x）的定义域为__________.
解析：设x2－4=t，则t≥－4，x2=4+t.∴f（t）=lg .∴f（x）=lg （x≥－4）.
由 得x＞4.
答案：（4，+∞）
4.用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如下图），若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域.
解：∵AB=2x，则 =πx，AD= .
∴y=2x? + =－（ +2）x2+lx.
由 ＞0，解得0＜x＜ .
5.（2005年北京市西城区模拟题）已知函数f（x）= 则f（lg30－lg3）=___________________；不等式xf（x－1）＜10的解集是___________________.
解析：f（lg30－lg3）=f（lg10）=f（1）=－2，f（x－1）=
当x≥3时，x（x－3）＜10 －2＜x＜5，故3≤x＜5.
当x＜3时，－2x＜10 x＞－5，故－5＜x＜3.
总之x∈（－5，5）.
答案：－2{x－5＜x＜5}
培养能力
6.设定义在N上的函数f（x）满足f（n）= 试求f（2002）的值.
解：∵2002＞2000，
∴f（2002）=f［f（2002－18）］=f［f（1984）］=f［1984+13］=f（1997）=1997+13=2010.
7.设f（x）= －2x+1，已知f（m）= ，求f（－m）.
解：∵f（m）= ，∴ －2m+1= .①
∴ －2m= －1.
而f（－m）= +2m+1= +2m+1= +2m+1= +2m+1=－ +2m+1=－（ －2m）+1=－（ －1）+1=2－ .
8.（理）（2003年重庆市高三毕业班诊断性考试）某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3min以内收费0.2元，超过3min的部分为每分钟收费0.1元，不足1min按1min计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1min以内、1到2min以内、2到3min以内、3到4min以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m到m+1min以内指含mmin，而不含m+1min）
解：设小灵通每月的费用为y1元，全球通的费用为y2元，分别在1min以内、2min以内、3min以内、4min以内的通话次数为4x、3x、x、x，则
y1=25+（4x+3x+x+x）×0.2+0.1x=25+1.9x，
y2=10+2（0.2×4x+0.4×3x+0.6x+0.8x）=10+6.8x.
令y1≥y2，即25+1.9x≥10+6.8x，解得x≤ ≈3.06.
∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.
故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.
（文）（2005年北京东城区模拟题）定义“符号函数”f（x）=sgnx= 则不等式x+2＞（x－2）sgnx的解集是______________.
解析：分类讨论.
答案：（－ ，+∞）
探究创新
9.图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.
（1）试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义.
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
解：（1）点A表示无人乘车时收入差额为－20元，点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利.
（2）图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价.
深化拓展
（1）图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？
（2）此问题中直线斜率的实际意义是什么？
答案：（1）图①②中的票价是2元.
图（3）中的票价是4元.
（2）斜率表示票价.
●思悟小结
1.并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示，函数还有另外两种表示方法：列表法、图象法.
2.求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式，可用待定系数法；如果已知复合函数f［g（x）］的表达式来求f（x），常用换元法；当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑配法求解.
3.要熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题，应优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法等.当特殊方法不易解决时，再采用一般方法如方程法求解.如一题可有多种方法解决时，应注意选择最优解法.
●教师下载中心
点睛
1.用换元法解决问题时，应提醒学生注意“新元”相应的取值范围.
2.强化待定系数法在求函数解析式中的重要作用.
3.新课改对函数的图象表示提出了更高的要求，要加强图象表示的.
拓展题例
【例题】已知扇形的周长为10，求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、值域.
解：设扇形的弧长为l，则l=10－2r，∴S= lr=（5－r）r=－r2+5r.
由 得 ＜r＜5.∴S=－r2+5r的定义域为（ ，5）.
