第1章 三角函数
章末复习课
课时目标
1．复习三角函数的基本概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式.2.复习三角函数的图象及三角函数性质的运用．
知识结构
一、填空题
1．已知cos(π＋x)＝35，x∈(π，2π)，则tan x＝______.
2．已知sin α＝55，则sin4α－cos4α的值为________．
3．若sin2x>cos2x，则x的取值范围是____________．
4．设x≤π4，则函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值是__________．
5．方程x＝10sin x的根的个数是________．
6．若函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．
7．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω>0，φ<π)对任意实数t，都有f(t＋π3)＝f(－t＋π3)，记g(x)＝Acos(ωx＋φ)－1，则g(π3)＝________.
8．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝________.
9．已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．
10．对于函数f(x)＝sin x，sin x≥cos x，cos x，sin x①该函数的图象关于x＝2kπ＋π4 (k∈Z)对称；
②当且仅当x＝kπ＋π2 (k∈Z)时，该函数取得最大值1；
③该函数是以π为最小正周期的周期函数；
④当且仅当2kπ＋π其中正确的是________．
二、解答题
11．已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；
(2)14sin2α＋13sin αcos α＋12cos2α.
12．设f(x)满足f(－sin x)＋3f(sin x)＝4sin x?cos xx≤π2，
(1)求f(x)的表达式；
(2)求f(x)的最大值．
能力提升
13．当0≤x≤1时，不等式sinπx2≥kx成立，则实数k的取值范围是________．
14．若将函数y＝tanωx＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tanωx＋π6的图象重合，则ω的最小值为________．
三角函数的性质是本章的重点，在学习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．
章末复习课
作业设计
1.43
解析 cos(π＋x)＝－cos x＝35，∴cos x＝－35<0，
∵x∈(π，2π)，∴x∈(π，32π)，
∴sin x＝－45，∴tan x＝43.
2．－35
解析 sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1
＝2×15－1＝－35.
3．{xkπ＋π4解析
sin2x>cos2x?sin x>cos x.
在直角坐标系中作出单位圆及直线y＝x，y＝－x，根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分．
4.1－22
解析 f(x)＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x
＝－sin x－122＋54.
∵x≤π4，∴－22≤sin x≤22.
∴当sin x＝－22时，f(x)min＝1－22.
5．7
解析
如图所示，在同一坐标系中画出函数y＝sin x和y＝x10(x≥0)的图象．
由图象知当x≥0时，y＝sin x与y＝x10的图象有4个交点．
由于y＝sin x与y＝x10都是奇函数，所以当x<0时，两函数的图象有3个交点．所以函数y＝sin x与y＝x10的图象共有7个交点．即方程x＝10sin x有7个根．
6.34
解析
∵f(x)在[－T4，T4]上递增，故[－2π3，2π3]?[－T4，T4]，即T4≥2π3.∴ω≤34.∴ωmax＝34.
7．－1
解析 ∵f(t＋π3)＝f(－t＋π3)，
即y＝f(x)关于直线x＝π3对称，
∴sin(π3ω＋φ)＝±1.
∴π3ω＋φ＝π2＋kπ.
∴g(π3)＝Acos(ωπ3＋φ)－1
＝Acos(π2＋kπ)－1＝－1.
8.9π10
解析 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为22π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，
∴ω＝45.
∵当x＝3π4时，y有最小值－1，
因此45×3π4＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)．
∵－π≤φ＜π，∴φ＝9π10.
9.－32，3
解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同，
∴ω＝2，∴f(x)＝3sin2x－π6.
由x∈0，π2，得－π6≤2x－π6≤56π，
∴－32≤f(x)≤3.
10．①
解析
f(x)＝max{sin x，cos x}，在同一坐标系中画出y＝sin x与y＝cos x的图象易知f(x)的图象为实线所表示的曲线．由曲线关于x＝2kπ＋π4 (k∈Z)对称，故①对；当x＝2kπ (k∈Z)或x＝2kπ＋π2 (k∈Z)时，f(x)max＝1，故②错；该函数以2π为最小正周期，故③错；观察曲线易知，当2kπ＋π11．解 (1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611.
(2)原式＝14sin2α＋13sin αcos α＋12cos2αsin2α＋cos2α
＝14tan2α＋13tan α＋12tan2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330.
12．解 (1)由已知等式
f(－sin x)＋3f(sin x)＝4sin x?cos x①
得f(sin x)＋3f(－sin x)＝－4sin xcos x②
由3×①－②，得
8f(sin x)＝16sin x?cos x，
故f(x)＝2x1－x2.
(2)当0≤x≤1，将函数f(x)＝2x1－x2的解析式变形，得f(x)＝2x2?1－x2?＝2－x4＋x2
＝2－?x2－12?2＋14，当x＝22时，fmax＝1.
当－1≤x<0时f(x)<0，故f(x)max＝1.
13．k≤1
解析 设t＝π2x,0≤x≤1，
则x＝2πt,0≤t≤π2，
则sin t≥2kπt在0≤t≤π2上恒成立．
设y＝sin t，y＝2kπt，图象如图所示．
需y＝sin t在0，π2上的图象在函数y＝2kπt的图象的上方，∴2kπ?π2≤1，
∴k≤1.
14.12
解析 函数y＝tanωx＋π4向右平移π6后得到y＝tanωx－π6＋π4＝tanωx－ωπ6＋π4.
又∵y＝tanωx＋π6，∴令π4－ωπ6＝π6＋kπ，
∴ω＝12－6k(k∈Z)，由ω>0得ω的最小值为12.
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课时目标
1．复习三角函数的基本概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式.2.复习三角函数的图象及三角函数性质的运用．
知识结构
一、填空题
1．已知cos(π＋x)＝35，x∈(π，2π)，则tan x＝______.
2．已知sin α＝55，则sin4α－cos4α的值为________．
3．若sin2x>cos2x，则x的取值范围是____________．
4．设x≤π4，则函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值是__________．
5．方程x＝10sin x的根的个数是________．
6．若函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．
7．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω>0，φ<π)对任意实数t，都有f(t＋π3)＝f(－t＋π3)，记g(x)＝Acos(ωx＋φ)－1，则g(π3)＝________.
8．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝________.
9．已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．
10．对于函数f(x)＝sin x，sin x≥cos x，cos x，sin x
②当且仅当x＝kπ＋π2 (k∈Z)时，该函数取得最大值1；
③该函数是以π为最小正周期的周期函数；
④当且仅当2kπ＋π
二、解答题
11．已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；
(2)14sin2α＋13sin αcos α＋12cos2α.
12．设f(x)满足f(－sin x)＋3f(sin x)＝4sin x?cos xx≤π2，
(1)求f(x)的表达式；
(2)求f(x)的最大值．
能力提升
13．当0≤x≤1时，不等式sinπx2≥kx成立，则实数k的取值范围是________．
14．若将函数y＝tanωx＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tanωx＋π6的图象重合，则ω的最小值为________．
三角函数的性质是本章的重点，在学习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．
章末复习课
作业设计
1.43
解析 cos(π＋x)＝－cos x＝35，∴cos x＝－35<0，
∵x∈(π，2π)，∴x∈(π，32π)，
∴sin x＝－45，∴tan x＝43.
2．－35
解析 sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1
＝2×15－1＝－35.
3．{xkπ＋π4
sin2x>cos2x?sin x>cos x.
在直角坐标系中作出单位圆及直线y＝x，y＝－x，根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分．
4.1－22
解析 f(x)＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x
＝－sin x－122＋54.
∵x≤π4，∴－22≤sin x≤22.
∴当sin x＝－22时，f(x)min＝1－22.
5．7
解析
如图所示，在同一坐标系中画出函数y＝sin x和y＝x10(x≥0)的图象．
由图象知当x≥0时，y＝sin x与y＝x10的图象有4个交点．
由于y＝sin x与y＝x10都是奇函数，所以当x<0时，两函数的图象有3个交点．所以函数y＝sin x与y＝x10的图象共有7个交点．即方程x＝10sin x有7个根．
6.34
解析
∵f(x)在[－T4，T4]上递增，故[－2π3，2π3]?[－T4，T4]，即T4≥2π3.∴ω≤34.∴ωmax＝34.
7．－1
解析 ∵f(t＋π3)＝f(－t＋π3)，
即y＝f(x)关于直线x＝π3对称，
∴sin(π3ω＋φ)＝±1.
∴π3ω＋φ＝π2＋kπ.
∴g(π3)＝Acos(ωπ3＋φ)－1
＝Acos(π2＋kπ)－1＝－1.
8.9π10
解析 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为22π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，
∴ω＝45.
∵当x＝3π4时，y有最小值－1，
因此45×3π4＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)．
∵－π≤φ＜π，∴φ＝9π10.
9.－32，3
解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同，
∴ω＝2，∴f(x)＝3sin2x－π6.
由x∈0，π2，得－π6≤2x－π6≤56π，
∴－32≤f(x)≤3.
10．①
解析
f(x)＝max{sin x，cos x}，在同一坐标系中画出y＝sin x与y＝cos x的图象易知f(x)的图象为实线所表示的曲线．由曲线关于x＝2kπ＋π4 (k∈Z)对称，故①对；当x＝2kπ (k∈Z)或x＝2kπ＋π2 (k∈Z)时，f(x)max＝1，故②错；该函数以2π为最小正周期，故③错；观察曲线易知，当2kπ＋π
(2)原式＝14sin2α＋13sin αcos α＋12cos2αsin2α＋cos2α
＝14tan2α＋13tan α＋12tan2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330.
12．解 (1)由已知等式
f(－sin x)＋3f(sin x)＝4sin x?cos x①
得f(sin x)＋3f(－sin x)＝－4sin xcos x②
由3×①－②，得
8f(sin x)＝16sin x?cos x，
故f(x)＝2x1－x2.
(2)当0≤x≤1，将函数f(x)＝2x1－x2的解析式变形，得f(x)＝2x2?1－x2?＝2－x4＋x2
＝2－?x2－12?2＋14，当x＝22时，fmax＝1.
当－1≤x<0时f(x)<0，故f(x)max＝1.
13．k≤1
解析 设t＝π2x,0≤x≤1，
则x＝2πt,0≤t≤π2，
则sin t≥2kπt在0≤t≤π2上恒成立．
设y＝sin t，y＝2kπt，图象如图所示．
需y＝sin t在0，π2上的图象在函数y＝2kπt的图象的上方，∴2kπ?π2≤1，
∴k≤1.
14.12
解析 函数y＝tanωx＋π4向右平移π6后得到y＝tanωx－π6＋π4＝tanωx－ωπ6＋π4.
又∵y＝tanωx＋π6，∴令π4－ωπ6＝π6＋kπ，
∴ω＝12－6k(k∈Z)，由ω>0得ω的最小值为12.
