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2012届高考数学第一轮三角函数专项复习

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第1章 三角函数


章末复习课
课时目标
1.复习三角函数的基本概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式.2.复习三角函数的图象及三角函数性质的运用.

知识结构


一、填空题
1.已知cos(π+x)=35,x∈(π,2π),则tan x=______.
2.已知sin α=55,则sin4α-cos4α的值为________.
3.若sin2x>cos2x,则x的取值范围是____________.
4.设x≤π4,则函数f(x)=cos2x+sin x的最小值是__________.
5.方程x=10sin x的根的个数是________.
6.若函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在[-2π3,2π3]上单调递增,则ω的最大值为________.
7.若f(x)=Asin(ωx+φ)+1(ω>0,φ<π)对任意实数t,都有f(t+π3)=f(-t+π3),记g(x)=Acos(ωx+φ)-1,则g(π3)=________.
8.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ=________.

9.已知函数f(x)=3sinωx-π6(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同.若x∈0,π2,则f(x)的取值范围是________.
10.对于函数f(x)=sin x,sin x≥cos x,cos x,sin x①该函数的图象关于x=2kπ+π4 (k∈Z)对称;
②当且仅当x=kπ+π2 (k∈Z)时,该函数取得最大值1;
③该函数是以π为最小正周期的周期函数;
④当且仅当2kπ+π其中正确的是________.
二、解答题
11.已知tan α=2,求下列代数式的值.
(1)4sin α-2cos α5cos α+3sin α;
(2)14sin2α+13sin αcos α+12cos2α.
12.设f(x)满足f(-sin x)+3f(sin x)=4sin x?cos xx≤π2,
(1)求f(x)的表达式;
(2)求f(x)的最大值.
能力提升
13.当0≤x≤1时,不等式sinπx2≥kx成立,则实数k的取值范围是________.
14.若将函数y=tanωx+π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后,与函数y=tanωx+π6的图象重合,则ω的最小值为________.

三角函数的性质是本章的重点,在学习时,要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得到函数的性质,或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质,同时也能利用函数的性质来描述函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练运用数形结合的思想方法.
章末复习课
作业设计
1.43
解析 cos(π+x)=-cos x=35,∴cos x=-35<0,
∵x∈(π,2π),∴x∈(π,32π),
∴sin x=-45,∴tan x=43.
2.-35
解析 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=2sin2α-1
=2×15-1=-35.
3.{xkπ+π4解析 

sin2x>cos2x?sin x>cos x.
在直角坐标系中作出单位圆及直线y=x,y=-x,根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分.
4.1-22
解析 f(x)=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x
=-sin x-122+54.
∵x≤π4,∴-22≤sin x≤22.
∴当sin x=-22时,f(x)min=1-22.
5.7
解析 

如图所示,在同一坐标系中画出函数y=sin x和y=x10(x≥0)的图象.
由图象知当x≥0时,y=sin x与y=x10的图象有4个交点.
由于y=sin x与y=x10都是奇函数,所以当x<0时,两函数的图象有3个交点.所以函数y=sin x与y=x10的图象共有7个交点.即方程x=10sin x有7个根.
6.34
解析 

∵f(x)在[-T4,T4]上递增,故[-2π3,2π3]?[-T4,T4],即T4≥2π3.∴ω≤34.∴ωmax=34.
7.-1
解析 ∵f(t+π3)=f(-t+π3),
即y=f(x)关于直线x=π3对称,
∴sin(π3ω+φ)=±1.
∴π3ω+φ=π2+kπ.
∴g(π3)=Acos(ωπ3+φ)-1
=Acos(π2+kπ)-1=-1.
8.9π10
解析 由图象知函数y=sin(ωx+φ)的周期为22π-3π4=5π2,∴2πω=5π2,
∴ω=45.
∵当x=3π4时,y有最小值-1,
因此45×3π4+φ=2kπ-π2(k∈Z).
∵-π≤φ<π,∴φ=9π10.
9.-32,3
解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同,
∴ω=2,∴f(x)=3sin2x-π6.
由x∈0,π2,得-π6≤2x-π6≤56π,
∴-32≤f(x)≤3.
10.①
解析 

f(x)=max{sin x,cos x},在同一坐标系中画出y=sin x与y=cos x的图象易知f(x)的图象为实线所表示的曲线.由曲线关于x=2kπ+π4 (k∈Z)对称,故①对;当x=2kπ (k∈Z)或x=2kπ+π2 (k∈Z)时,f(x)max=1,故②错;该函数以2π为最小正周期,故③错;观察曲线易知,当2kπ+π11.解 (1)原式=4tan α-23tan α+5=611.
(2)原式=14sin2α+13sin αcos α+12cos2αsin2α+cos2α
=14tan2α+13tan α+12tan2α+1=14×4+13×2+125=1330.
12.解 (1)由已知等式
f(-sin x)+3f(sin x)=4sin x?cos x①
得f(sin x)+3f(-sin x)=-4sin xcos x②
由3×①-②,得
8f(sin x)=16sin x?cos x,
故f(x)=2x1-x2.
(2)当0≤x≤1,将函数f(x)=2x1-x2的解析式变形,得f(x)=2x2?1-x2?=2-x4+x2
=2-?x2-12?2+14,当x=22时,fmax=1.
当-1≤x<0时f(x)<0,故f(x)max=1.
13.k≤1
解析 设t=π2x,0≤x≤1,
则x=2πt,0≤t≤π2,
则sin t≥2kπt在0≤t≤π2上恒成立.

设y=sin t,y=2kπt,图象如图所示.
需y=sin t在0,π2上的图象在函数y=2kπt的图象的上方,∴2kπ?π2≤1,
∴k≤1.
14.12
解析 函数y=tanωx+π4向右平移π6后得到y=tanωx-π6+π4=tanωx-ωπ6+π4.
又∵y=tanωx+π6,∴令π4-ωπ6=π6+kπ,
∴ω=12-6k(k∈Z),由ω>0得ω的最小值为12.
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