课时12 平面向量的应用
一、学习目标：
1．经历用向量的方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是某一种数学工具。
2．发展学生的运算能力和解决实际问题的能力
二、重点与难点：
1．利用向量数量积的相关知识解决平面几何、物理学中的垂直、夹角、模长和质点运动等相关问题。
2．用向量的共线定理解决三点共线、动点的轨迹问题。
3．提高学生对所学知识和方法的迁移（转化）能力。
三、基础训练：
1、已知向量 ，若点C在函数 的图象上，实数 的值为
2、平面向量 =（x，y）， =（x2，y2）， =（1，1）， =（2，2），若 ? = ? =1，则这样的向量 有
3、如果向量 与 的夹角为 ，那么我们称 为向量 与 的“向量积”， 是一个向量，它的长度为 ，如果 ，则 的值为
4．在平行四边形ABCD中， ,则 =______________
5．设 中， ，且 ，判断 的形状。
6、 = (cosθ，－sinθ)， =（－2－sinθ，－2+cosθ），其中θ∈[0，π2 ]，则 的最大值为
7、有两个向量 ， ，今有动点 ，从 开始沿着与向量 相同的方向作匀速直线运动，速度为 ；另一动点 ，从 开始沿着与向量 相同的方向作匀速直线运动，速度为 ．设 、 在时刻 秒时分别在 、 处，则当 时， 秒．
四、例题研究
例1．已知向量 满足条件 ，且 ，求证 是正三角形。
例2、已知 ， .求证：
思考：能否画一个几何图形来解释例2
变题：用向量方法证明梯形中位线定理。
例3、已知在△ABC中BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量方法证明：
（1） （2）
五、课后作业：
1．设 =（1，3），A、B两点的坐标分别为（1，3）、（2，0），则 与 的大小关系为
2．当a＝b≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是
3．下面有五个命题，①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足a＞b且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有a＋b≤a＋ b 。其中正确的命题序号为
4．已知正方形ABCD的边长为1， ＝a， ＝b， ＝c，则a＋b＋c的模等于
5．下面有五个命题，①a2＝a2；② ；③（a?b）2＝a2?b2；④（a－b）2＝a 2－2a?b＋b 2；⑤若a?b＝0，则a＝0或b＝0其中正确命题的序号是
6．已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角是
7．如图，平面内有三个向量 ，其中 的夹角是120°， 的夹角为30°， ，若 ，
则 = 。
8．已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.
9．设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且 ＝4i＋2j， ＝3i＋4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积.
10．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0）C（c，0）
（1）若c = 5，求sinA的值; （2）若A为钝角，求c的取值范围。
11．已知向量 ， ，
（1）向量 、 是否共线？并说明理由;（2）求函数 的最大值
12．在平面直角坐标系中，已知向量 又点A（8，0）， ， （1）若 ，且 ，求向量 ；
（2）向量 与 共线，当 ，且 取最大值4，求
问题统计与分析
一、学习目标：
1．经历用向量的方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是某一种数学工具。
2．发展学生的运算能力和解决实际问题的能力
二、重点与难点：
1．利用向量数量积的相关知识解决平面几何、物理学中的垂直、夹角、模长和质点运动等相关问题。
2．用向量的共线定理解决三点共线、动点的轨迹问题。
3．提高学生对所学知识和方法的迁移（转化）能力。
三、基础训练：
1、已知向量 ，若点C在函数 的图象上，实数 的值为
2、平面向量 =（x，y）， =（x2，y2）， =（1，1）， =（2，2），若 ? = ? =1，则这样的向量 有
3、如果向量 与 的夹角为 ，那么我们称 为向量 与 的“向量积”， 是一个向量，它的长度为 ，如果 ，则 的值为
4．在平行四边形ABCD中， ,则 =______________
5．设 中， ，且 ，判断 的形状。
6、 = (cosθ，－sinθ)， =（－2－sinθ，－2+cosθ），其中θ∈[0，π2 ]，则 的最大值为
7、有两个向量 ， ，今有动点 ，从 开始沿着与向量 相同的方向作匀速直线运动，速度为 ；另一动点 ，从 开始沿着与向量 相同的方向作匀速直线运动，速度为 ．设 、 在时刻 秒时分别在 、 处，则当 时， 秒．
四、例题研究
例1．已知向量 满足条件 ，且 ，求证 是正三角形。
例2、已知 ， .求证：
思考：能否画一个几何图形来解释例2
变题：用向量方法证明梯形中位线定理。
例3、已知在△ABC中BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量方法证明：
（1） （2）
五、课后作业：
1．设 =（1，3），A、B两点的坐标分别为（1，3）、（2，0），则 与 的大小关系为
2．当a＝b≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是
3．下面有五个命题，①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足a＞b且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有a＋b≤a＋ b 。其中正确的命题序号为
4．已知正方形ABCD的边长为1， ＝a， ＝b， ＝c，则a＋b＋c的模等于
5．下面有五个命题，①a2＝a2；② ；③（a?b）2＝a2?b2；④（a－b）2＝a 2－2a?b＋b 2；⑤若a?b＝0，则a＝0或b＝0其中正确命题的序号是
6．已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角是
7．如图，平面内有三个向量 ，其中 的夹角是120°， 的夹角为30°， ，若 ，
则 = 。
8．已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.
9．设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且 ＝4i＋2j， ＝3i＋4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积.
10．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0）C（c，0）
（1）若c = 5，求sinA的值; （2）若A为钝角，求c的取值范围。
11．已知向量 ， ，
（1）向量 、 是否共线？并说明理由;（2）求函数 的最大值
12．在平面直角坐标系中，已知向量 又点A（8，0）， ， （1）若 ，且 ，求向量 ；
（2）向量 与 共线，当 ，且 取最大值4，求
问题统计与分析
