3.2.1 实际问题中导数的意义
过程：
一、主要知识点：
1. 基本方法：
（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内 >0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 <0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的减函数.
（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）. ②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.
（3）判别f（x0）是极大、极小值的方法：若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的极大值点， 是极大值；如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是极小值.
（4）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f′（x）. ②求方程f'（x）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f'（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值.
（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求 在 内的极值；（2）将 的各极值与 、 比较得出函数 在 上的最值.
2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.
解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.
根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．
二、典型例题
例1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
思路一：设箱底边长为x cm，则箱高 cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数： ，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的 ，这个结论是否具有一般性？
变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？
提示： 答案： ．
评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.
例2、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度 （千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米．
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（I）当 时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，
要耗油 （升）．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
（II）当速度为 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为 升，
依题意得
令 得
当 时， 是减函数；
当 时， 是增函数．
当 时， 取到极小值
因为 在 上只有一个极值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
例3、求抛物线 上与点 距离最近的点.
解：设 为抛物线 上一点，
则 .
与 同时取到极值.
令 .
由 得 是唯一的驻点.
当 或 时， 是 的最小值点，此时 .
即抛物线 上与点 距离最近的点是（2，2）.
例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20 ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.
解：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8 并设AC＝ ，
于是点C的烟尘浓度为 ，
其中 为比例系数.
令 ，有 ，
即 .
解得在（0，20）内惟一驻点 .
由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，
在惟一驻点 处，浓度 最小，即在AB间距A处 处的烟尘浓度最小.
例5、已知抛物线y＝－x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程.
解：设切点P（x0，－x02+2）（x0＞0），由y＝－x2+2得y′＝－2x，
∴k1＝－2x0.
∴l的方程为y－（－x02+2）＝－2x0（x－x0），令y＝0，得x＝ 令x＝0，得y＝x02+2，
∴三角形的面积为S＝ ? ?（x02+2）＝ .
∴S′＝ . 令S′＝0，得x0＝ （∵x0＞0）.
∴当0＜x0＜ 时，S′＜0; 当x0＞ 时，S′＞0.
∴x0＝ 时，S取极小值 ∵只有一个极值，
∴x＝ 时S最小，此时k1＝－ ，切点为（ ， ）.
∴l的方程为y － ＝－ （x－ ），即2 x+3y－8＝0.
例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解：设∠BCD＝Q，则BC＝ ，CD＝40cotθ，（0＜θ＜ ＝，
∴AC＝50－40cotθ
设总的水管费用为f（θ），依题意，有
f（θ）＝3a（50－40?cotθ）+5a?
＝150a+40a?
∴f′（θ）＝40a?
令f′（θ）＝0，得cosθ＝
根据问题的实际意义，当cosθ＝ 时，函数取得最小值，
此时sinθ＝ ，∴cotθ＝ ，
∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
例7、（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为 ，则
由题设可得正六棱锥底面边长为： ，
故底面正六边形的面积为：
＝ ，（单位： ）
帐篷的体积为：
（单位： ）
求导得 ．
令 ，解得 （不合题意，舍去）， ，
当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数．
∴当 时， 最大．
答：当OO1为 时，帐篷的体积最大，最大体积为 ．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．
三、小结 ：
⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．
⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．
⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单
四、课后作业：
过程：
一、主要知识点：
1. 基本方法：
（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内 >0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 <0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的减函数.
（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）. ②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.
（3）判别f（x0）是极大、极小值的方法：若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的极大值点， 是极大值；如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是极小值.
（4）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f′（x）. ②求方程f'（x）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f'（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值.
（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求 在 内的极值；（2）将 的各极值与 、 比较得出函数 在 上的最值.
2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.
解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.
根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．
二、典型例题
例1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
思路一：设箱底边长为x cm，则箱高 cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数： ，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的 ，这个结论是否具有一般性？
变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？
提示： 答案： ．
评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.
例2、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度 （千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米．
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（I）当 时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，
要耗油 （升）．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
（II）当速度为 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为 升，
依题意得
令 得
当 时， 是减函数；
当 时， 是增函数．
当 时， 取到极小值
因为 在 上只有一个极值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
例3、求抛物线 上与点 距离最近的点.
解：设 为抛物线 上一点，
则 .
与 同时取到极值.
令 .
由 得 是唯一的驻点.
当 或 时， 是 的最小值点，此时 .
即抛物线 上与点 距离最近的点是（2，2）.
例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20 ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.
解：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8 并设AC＝ ，
于是点C的烟尘浓度为 ，
其中 为比例系数.
令 ，有 ，
即 .
解得在（0，20）内惟一驻点 .
由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，
在惟一驻点 处，浓度 最小，即在AB间距A处 处的烟尘浓度最小.
例5、已知抛物线y＝－x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程.
解：设切点P（x0，－x02+2）（x0＞0），由y＝－x2+2得y′＝－2x，
∴k1＝－2x0.
∴l的方程为y－（－x02+2）＝－2x0（x－x0），令y＝0，得x＝ 令x＝0，得y＝x02+2，
∴三角形的面积为S＝ ? ?（x02+2）＝ .
∴S′＝ . 令S′＝0，得x0＝ （∵x0＞0）.
∴当0＜x0＜ 时，S′＜0; 当x0＞ 时，S′＞0.
∴x0＝ 时，S取极小值 ∵只有一个极值，
∴x＝ 时S最小，此时k1＝－ ，切点为（ ， ）.
∴l的方程为y － ＝－ （x－ ），即2 x+3y－8＝0.
例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解：设∠BCD＝Q，则BC＝ ，CD＝40cotθ，（0＜θ＜ ＝，
∴AC＝50－40cotθ
设总的水管费用为f（θ），依题意，有
f（θ）＝3a（50－40?cotθ）+5a?
＝150a+40a?
∴f′（θ）＝40a?
令f′（θ）＝0，得cosθ＝
根据问题的实际意义，当cosθ＝ 时，函数取得最小值，
此时sinθ＝ ，∴cotθ＝ ，
∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
例7、（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为 ，则
由题设可得正六棱锥底面边长为： ，
故底面正六边形的面积为：
＝ ，（单位： ）
帐篷的体积为：
（单位： ）
求导得 ．
令 ，解得 （不合题意，舍去）， ，
当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数．
∴当 时， 最大．
答：当OO1为 时，帐篷的体积最大，最大体积为 ．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．
三、小结 ：
⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．
⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．
⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单
四、课后作业：
