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导数的几何意义

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2.2.2 导数的几何意义
(一)复习引入
1、函数的平均变化率:
已知函数 , 是其定义域内不同的两点,

则 函数 在区间 的平均变化率

2、曲线的割线AB的斜率:

由此可知:曲线割线的斜率就是函数的平均变化率。
3、函数在一点处的导数定义:
函数 在点 处的导数就是函数 在点 的瞬时变化率:记作:

(二)讲授新课
1、创设情境:
问题:平面几何中我们怎样判断直线是否是圆的切线?

学生回答:与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线
教师提问:能否将它推广为一般的曲线的切线定义?

教师引导学生举出反例如下:

教师举反例如下:

因此,对于一般曲线,必须重新寻求曲线的切线定义。
引例:(看大屏幕)

2、曲线在一点处的切线定义:
当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为直线AD,
这条直线AD叫做此曲线在点A的切线。
教师导语:我们如何确定切线的方程?由直线方程的点斜式知,已知一点坐标,只需求切线的斜率。
那如何求切线的斜率呢?

引例:(看大屏幕):

3、导数的几何意义:
曲线 在点 的切线的斜率等于
注:点 是曲线上的点
(三)例题精讲
例1、求抛物线 过点(1,1)的切线方程。
解:因为
所以抛物线 过点(1,1)的切线的斜率为2
由直线方程的点斜式,得切线方程为
练习题:求双曲线 过点(2, )的切线方程。
答案提示:
例2、求抛物线 过点( ,6)的切线方程。
由于点( ,6)不在抛物线上,可设该切线过抛物线上的点( , )
因为
所以该切线的斜率为 ,
又因为此切线过点( ,6)和点( , )
所以
因此过切点(2,4),(3,9 )切线方程分别为: 即
(四)小结:
利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤:(可让学生归纳)
①求出函数 在点 处的导数
②得切线方程
注:点 是曲线上的点
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