常见的数列求和及应用

常见的数列求和及应用

一、自主探究
1、等差数列的前n项和公式：
= 。
2、等比数列的前n项和公式：
①当 时， ；
②当 时， = 。
3、常见求和公式有：
①1+2+3+4+…+n=
②1+3+5+…+（2n-1）=
※③ =
※④
二、典例剖析
（一）、分组求和法：某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用公式分别求和，从而得出原数列的和。
例1 已知 ，求数列｛ ｝的前n项和。


变式练习： 已知 ，求数列｛ ｝的前n项和。


（二）、裂项求和法：如果数列的通项公式可转化为 形式，常采用裂项求和的方法。特别地，当数列形如 ，其中 是等差数列，可采用此法
例2 求和： （ ）

变式练习：已知数列的通项公式 ，求数列｛ ｝的前n项和。


（三）、奇偶并项法：当数列通项中出现 时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论。
例3 求和：

（四）、倒序相加法：此法主要适用数列前后具有“对称性”，即“首末两项之和相等”的形式。
例4 求在区间 内分母是3的所有不可约分数之和。


变式练习：已知 且 .求

（五）错位相减法：一般地，如果数列 时等差数列， 是等比数列，求数列 的前 项和时，可采用此法，在等式的两边乘以 或 ，再错一位相减。
例5 求和：

变式练习：求和：

三、提炼总结：数列的求和是数列的一个重要内容,它往往是数列知识的综合体现，求和题在试题中更是常见，它常用来考察我们的基础知识，分析问题和解决问题的能力。任何一个数列的前n项和都是从第1项一直加到第n项。数列的求和主要有以下几种方法。⑴公式法；⑵分组求和法；⑶裂项求和法；拆项成差求和经常用到下列拆项公式，请补充完整：① = ；
② = ；
③ = ；
④ = ；
⑷奇偶并项法；⑸倒序相加法；⑹错位相减法。
四、课堂检测：
1、已知数列 的通项 ，由 所确定的数列 的前 项之和是 （ ）
A. B. C. D.
2、已知数列 为等比数列，前三项为 则 等于 （ ）
A. B. C. D.
3、设数列 ，（1+2+4），…，（ ）的前m项和为2036，则m的值为 （ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
4、在50和350之间所有末位数是1的整数之和是 （ ）
A.5880 B.5539 C.5280 D.4872
5、
6、若 ,则n=
7、设正项等比数列 的首项 ，前n项和为 ，且
①求 的通项；
②求 的前n项和
8、数列 中， 且满足 ,
①求数列 的通项公式；