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常见的数列求和及应用

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常见的数列求和及应用

一、自主探究
1、等差数列的前n项和公式:
= 。
2、等比数列的前n项和公式:
①当 时, ;
②当 时, = 。
3、常见求和公式有:
①1+2+3+4+…+n=
②1+3+5+…+(2n-1)=
※③ =
※④
二、典例剖析
(一)、分组求和法:某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用公式分别求和,从而得出原数列的和。
例1 已知 ,求数列{ }的前n项和。


变式练习: 已知 ,求数列{ }的前n项和。


(二)、裂项求和法:如果数列的通项公式可转化为 形式,常采用裂项求和的方法。特别地,当数列形如 ,其中 是等差数列,可采用此法
例2 求和: ( )

变式练习:已知数列的通项公式 ,求数列{ }的前n项和。


(三)、奇偶并项法:当数列通项中出现 时,常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论。
例3 求和:

(四)、倒序相加法:此法主要适用数列前后具有“对称性”,即“首末两项之和相等”的形式。
例4 求在区间 内分母是3的所有不可约分数之和。


变式练习:已知 且 .求

(五)错位相减法:一般地,如果数列 时等差数列, 是等比数列,求数列 的前 项和时,可采用此法,在等式的两边乘以 或 ,再错一位相减。
例5 求和:

变式练习:求和:

三、提炼总结:数列的求和是数列的一个重要内容,它往往是数列知识的综合体现,求和题在试题中更是常见,它常用来考察我们的基础知识,分析问题和解决问题的能力。任何一个数列的前n项和都是从第1项一直加到第n项。数列的求和主要有以下几种方法。⑴公式法;⑵分组求和法;⑶裂项求和法;拆项成差求和经常用到下列拆项公式,请补充完整:① = ;
② = ;
③ = ;
④ = ;
⑷奇偶并项法;⑸倒序相加法;⑹错位相减法。
四、课堂检测:
1、已知数列 的通项 ,由 所确定的数列 的前 项之和是 ( )
A. B. C. D.
2、已知数列 为等比数列,前三项为 则 等于 ( )
A. B. C. D.
3、设数列 ,(1+2+4),…,( )的前m项和为2036,则m的值为 ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
4、在50和350之间所有末位数是1的整数之和是 ( )
A.5880 B.5539 C.5280 D.4872
5、
6、若 ,则n=
7、设正项等比数列 的首项 ,前n项和为 ,且
①求 的通项;
②求 的前n项和
8、数列 中, 且满足 ,
①求数列 的通项公式;
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