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二分法

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学习目标:
1.理解变号零点的概念。
2.用二分法求函数零点的步骤及原理。
3.了解二分法的产生过程,掌握二分法求方程近似解的过程和方法。
4.根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解。
知识回顾:
1.函数零点的概念
2.函数零点的性质
【概念探究】
阅读课本72页完成下列问题。
1.一个函数 ,在区间 上至少有一个零点的条件是 异号,即 <0,即存在一点 使 ,这样的零点常称作 。有时曲线通过零点时不变号,这样的零点称作 。
2.能否说出变号零点与不变号零点的区别与联系?
阅读课本73页完成下列问题。
3.求函数变号零点的近似值的一种计算方法是 其定义是:已知函数 定义在区间D上,求它在D上的一个变号零点 的近似值 ,使它与零点的误差 即使得满足精确度。。
4.用二分法求函数零点的一般步骤是什么?
5.二分法求函数的零点的近似值适合于怎样的零点?
典型例题分析:
例1:求 近似值(精确到0.01)

例2:求方程 的无理根(精确到0.01)


参考答案:
例1解:设x= ,则 =2,即 -2=0,令f(x)= -2,则函数f(x)零点的近似值就是得近似值,以下用二分法求其零点.
由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.用二分法逐次计算.列表如下:
端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间
f(1)=-1<0f(2)=6>0[1,2]
=1.5
f( )=1.375>0
[1,1.5]
=1.25
f( )=-0.0469<0[1.25,1.5]
=1.375f( )=0.5996>0
[1.25,1.375]
=1.3125f( )=0.2610>0
[1.25,1.3125]
=1.28125f( )=0.1033>0
[1.25,1.281125]
=1.26562f( )=0.0273>0
[1.25,1.26562]
=1.25781f( )=-0.01<0
[1.25781,1.26562]
=1.26171f( )<0
[1.25781,1.26171]
由上表的计算可知,区间[1.25781,1.26171]的左右端点按照精确度要求的近似值都是1.26,因此1.26可以作为所求的近似值.
评析:学会用二分法求近似值的主要步骤.
例2解:由于 所以原方程的两个有理根为1,-1,而其无理根是方程 -3=0的根,令g(x)= -3,用二分法求出g(x)的近似零点为1.44
评析:通过因式分解容易看出无理根为方程 -3=0的根,所以令g(x)= -3,只需求出g(x)的零点即可.
【达标检测】
1.方程 在区间 上的根必定属于区间(   )
A. B. C. D.
2.若函数 的图象是连续不间断的,且 ,则下列命题正确的是(   )
A.函数 在区间 内有零点B.函数 在区间 内有零点
C.函数 在区间 内有零点D.函数 在区间 内有零点
3.函数 与 图象交点横坐标的大致区间为(   )
A. B. C. D.
4.下图4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是 


5.函数f(x)=- +4x-4在区间[1,3]上(  )
A.没有零点 B.有一个零点 C.有两个零点 D. 有无数个零点
6.方程 在区间[-2,4]上的根必定属于区间(  )
A.[-2,1] B.[2.5,4]  C.[1, ] D.[ ,2.5]
7.下列关于二分法的叙述,正确的是( )
A.用二分法可以求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一数字
C.二分法无规律可寻,无法在计算机上进行
D.二分法只用于求方程的近似解
8.函数f(x)= 在[0,2]上( )
A.有3个零点 B.有2个零点 C.有1个零点 D.没有个零点
9.函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则a的取值范围是( )
A.a B.a C. D. .a 或a
10.方程 在区间[-2,4]上的根必定属于区间( )
A.[-2,1] B C.[1, D.[
二、填空题
11.函数f(x)= -5的零点近似值(精确到0.1)是    .
12.方程 -6=0的近似解(精确到0.01)是    .
三、解答题
221381
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