课时5 平面向量基本定理
【学习目标】
1．掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
2．能应用平面向量基本定理解决一些几何问题。
【知识梳理】
若 ， 是不共线向量， 是平面内任一向量
在平面内取一点O，作 = ， = ， = ，使 =λ1 =λ2
= = + =λ1 +λ2
得平面向量基本定理：
注意：1? 、 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底
2? 这个定理也叫共面向量定理
3?λ1，λ2是被 ， ， 唯一确定的实数。
【例题选讲】
1．如图，ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于M， ， ，试用基底 、 表示 。
2．设 、 是平面内一组基底，如果 =3 -2 ， =4 + ， =8 -9 ，求证：A，B，D三点共线。
3．设 、 是平面内一组基底，如果 =2 +k ， =- -3 ， =2 - ，若A，B，D三点共线，求实数k的值。
4． 中， ，DE//BC，与边AC相交于点E，中线AM与DE交于点N，如图， ， ，试用 、 表示 。
【归纳反思】
1．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。
2．在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择了两个不共线地向量 ，平面内的任何一个向量都可以用 唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题，转化为只含 的代数运算。
【课内练习】
1．下面三种说法，正确的是
（1）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；
（2）一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；
（3）零向量不可为基底中的向量；
2．如果 、 是平面 内一组基底，，那么下列命题中正确的是
（1）若实数m,n，使m +n = ,则m=n=0;
（2）空间任一向量 可以表示为 = m +n ，这里m,n是实数；
（3）对实数m,n，向量m +n 不一定在平面 ；
（4）对平面 内的任一向量 ，使 = m +n 的实数m,n有无数组。
3．若G是 的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则 =
4．如图，在 中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN与CM交于点P，设 ，试用 ， 表示 。
5．设 ， ， ，求证：A、B、D三点共线。
【巩固提高】
1．设 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组中不能作为基底的是
A + 和 - B 3 -2 和-6 +4
C +2 和 +2 D 和 +
2．若 ， ， ，则 =
A + B + C + D +
3．平面直角坐标系中，O为原点，A（3，1），B（-1，3），点C满足 ，其中 ，且 =1，则点C的轨迹方程为
4．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，则P的轨迹一定通过 的 心
5．若点D在 的边BC上，且 = ，则3m+n的值为
6．设 = +5 ， = -2 +8 ， =3（ - ），求证：A、B、D三点共线。
7．在图中，对于平行四边形ABCD，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN= BD，求证：M，N，C三点共线。
8．已知 =5 +2 ， =6 +y ， ， ， 是一组基底，求y的值。
9．如图，在 中，D、E分别是线段AC的两个四等份点，点F是线段BC的中点，设 ， ，试用 ， 为基底表示向量 。
问题统计与分析
