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直线与平面垂直

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第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

(一)目标
1.知识与技能
(1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理;
(2)能运用性质定理解决一些简单问题;
(3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.
2.过程与方法
(1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;
3.情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
(二)重点、难点
两个性质定理的证明.
(三)教学方法
学生依据已有知识和方法,在教师指导下,自主地完成定理的证明、问题的转化.
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课导入问题1:判定直线和平面垂直的方法有几种?
问题2:若一条直线和一个平面垂直,可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直呢?师投影问题. 学生思考、讨论问题,教师点出主题复习巩固以旧带新
探索新知一、直线与平面垂直的性质定理
1.问题:已知直线a、b和平面 ,如果 ,那么直线a、b一定平行吗?
已知
求证:b∥a.
证明:假定b不平行于a,设 =0
b′是经过O与直线a平行的直线
∵a∥b′,
∴b′⊥a
即经过同一点O的两线b、b′都与 垂直这是不可能的,
因此b∥a.
2.直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
简化为:线面垂直 线线平行生:借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间相互平行,所以结论成立.
师:怎么证明呢?由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内,故无法应用平行直线的判定知识,也无法应用公理4,有这种情况下,我们采用“反证法”
师生边分析边板书.
借助模型教学,培养几何直观能力.,反证法证题是一个难点,采用以教师为主,能起到一个示范作用,并提高上课效率.
探索新知二、平面与平面平行的性质定理
1.问题
黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
2.例1 设 , =CD, ,AB⊥CD,AB⊥CD = B求证AB

证明:在 内引直线BE⊥CD,垂足为B,则∠ABE是二面角 的平面角.由 知,AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是 内的两条相交直线,所以AB⊥
3.平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
简记为:面面垂直 线面垂直.教师投影问题,学生思考、观察、讨论,然后回答问题
生:借助长方体模型,在长方体ABCD ? A′B′C′D′中,面A′ADD′⊥面ABCD,A′A⊥AD,AB⊥A′A

∴A′A⊥面ABCD
故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.
师:证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直,现AB⊥CD,需找一条直线与AB垂直,有条件 还没有用,能否利用 构造一条直线与AB垂直呢?
生:在面 内过B作BE⊥CD即可.
师:为什么呢?
学生分析,教师板书

本例题的难点是构造辅助线,采用分析综合法能较好地解决这个问题.
典例分析例2 如图,已知平面 , ,直线a满足 , ,试判断直线a与平面 的位置关系.
解:在 内作垂直于 与 交线的直线b,
因为 ,所以
因为 ,所以a∥b.
又因为 ,所以a∥ .
即直线a与平面 平行.
例3 设平面 ⊥平面 ,点P作平面 的垂线a,试判断直线a与平面 的位置关系?
证明:如图,设 = c,过点P在平面 内作直线b⊥c,根据平面与平面垂直的性质定理有 .
因为过一点有且只有一条直线与平面 垂直,所以直线a与直线b垂合,因此 .师投影例2并读题
生:平行
师:证明线面平行一般策略是什么?
生:转证线线平行
师:假设内一条直线b∥a则b与 的位置关系如何?
生:垂直
师:已知 ,怎样作直线b?
生:在 内作b垂直于 、 的交线即可.
学生写出证明过程,教师投影.
师投影例3并读题,师生共同分析思路,完成证题过程,然后教师给予评注.
师:利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下,所采用的一种数学方法,这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到,二是证直线b与直线a重合,相对容易一些,本题注意要分类讨论,其结论也可作性质用.巩固所学知识,训练化归能力.


巩固所学知识,训练分类思想化归能力及思维的灵活性.
随堂练习1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”错误的画“×”.
(1)a.垂直于同一条直线的两个平面互相平行. ( √ )
b.垂直于同一个平面的两条直线互相平行. ( √ )
c.一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直. ( √ )
(2)已知直线a,b和平面 ,且a⊥b,a⊥ ,则b与 的位置关系是 .
答案:b∥ 或b .
2.(1)下列命题中错误的是( A )
A.如果平面 ⊥平面 ,那么平面 内所有直线垂直于平面 .
B.如果平面 ⊥平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面 .
C.如果平面 不垂直平面 ,那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 .
D.如果平面 ⊥平面 ,平面 ⊥平面 , ,那么 .
(2)已知两个平面垂直,下列命题( B )
①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
3.设直线a,b分别在正方体ABCD ? A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内,欲使a∥b,a,b应满足什么条件?
答案:不相交,不异面
4.已知平面 , ,直线a,且 , ,a∥ ,a⊥AB,试判断直线a与直线 的位置关系.
答案:平行、相交或在平面 内学生独立完成


巩固、所学知识
归纳总结1.直线和平面垂直的性质
2.平面和平面垂直的性质
3.面面垂直 线面垂直 线线垂直学生归纳总结,教材再补充完善.回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.
课后作业2.3 第三课时 习案学生独立完成固化知识
提升能力
备选例题
例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面,另一条直角边AC与桌面所在的平面 垂直,a是 内一条直线,若斜边AB与a垂直,则BC是否与a垂直?
【解析】

【评析】若BC与 垂直,同理可得AB与 也垂直,其实质是三垂线定理及逆定理,证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法:“线线垂直→线面垂直→线线垂直” .
例2 求证:如果两个平面都垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面.已知 ⊥r, ⊥r, ∩ = l,求证:l⊥r.
【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面 、 垂直.或由面面垂直的性质易在 、 内作出平面r的垂线,再设法证明l与其平行即可.
【证明】法一:如图,设 ∩r = a , ∩r = b,在r内任取一点P.过点P在r内作直线m⊥a,n⊥b.
∵ ⊥r, ⊥r,
∴m⊥a,n⊥ (面面垂直的性质).
又 ∩ = l,
∴l⊥m,l⊥n.又m∩n = P,m,n r
∴l⊥r.
法二:如图,设 ∩r = a, ∩r = b,在 内作m⊥a,在 内作n⊥b.
∵ ⊥r, ⊥r,
∴m⊥r,n⊥r.
∴m∥n,又n ,m ,
∴m∥ ,又 ∩ = l,m ,
∴m∥l,
又m⊥r,∴l⊥r.
【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键.证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化;证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化.此题是线线、面面垂直转化的典型题,通过一题多解,对沟通知识和方法,开拓解题思路是有益的.
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