第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
（一）目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.
2．过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
（二）重点、难点
两个性质定理的证明.
（三）教学方法
学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课导入问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？
问题2：若一条直线和一个平面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？师投影问题. 学生思考、讨论问题，教师点出主题复习巩固以旧带新
探索新知一、直线与平面垂直的性质定理
1．问题：已知直线a、b和平面 ，如果 ，那么直线a、b一定平行吗？
已知
求证：b∥a.
证明：假定b不平行于a，设 =0
b′是经过O与直线a平行的直线
∵a∥b′，
∴b′⊥a
即经过同一点O的两线b、b′都与 垂直这是不可能的，
因此b∥a.
2．直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
简化为：线面垂直 线线平行生：借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立.
师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，有这种情况下，我们采用“反证法”
师生边分析边板书.
借助模型教学，培养几何直观能力.，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.
探索新知二、平面与平面平行的性质定理
1．问题
黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
2．例1 设 ， =CD， ，AB⊥CD，AB⊥CD = B求证AB
证明：在 内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角 的平面角.由 知，AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是 内的两条相交直线，所以AB⊥
3．平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
简记为：面面垂直 线面垂直.教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题
生：借助长方体模型，在长方体ABCD ? A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A⊥AD，AB⊥A′A
∵
∴A′A⊥面ABCD
故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.
师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB⊥CD，需找一条直线与AB垂直，有条件 还没有用，能否利用 构造一条直线与AB垂直呢？
生：在面 内过B作BE⊥CD即可.
师：为什么呢？
学生分析，教师板书
本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.
典例分析例2 如图，已知平面 ， ，直线a满足 ， ，试判断直线a与平面 的位置关系.
解：在 内作垂直于 与 交线的直线b，
因为 ，所以
因为 ，所以a∥b.
又因为 ，所以a∥ .
即直线a与平面 平行.
例3 设平面 ⊥平面 ，点P作平面 的垂线a，试判断直线a与平面 的位置关系？
证明：如图，设 = c，过点P在平面 内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有 .
因为过一点有且只有一条直线与平面 垂直，所以直线a与直线b垂合，因此 .师投影例2并读题
生：平行
师：证明线面平行一般策略是什么？
生：转证线线平行
师：假设内一条直线b∥a则b与 的位置关系如何？
生：垂直
师：已知 ，怎样作直线b？
生：在 内作b垂直于 、 的交线即可.
学生写出证明过程，教师投影.
师投影例3并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注.
师：利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线b与直线a重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用.巩固所学知识，训练化归能力.
巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性.
随堂练习1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”错误的画“×”.
（1）a．垂直于同一条直线的两个平面互相平行. （ √ ）
b．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （ √ ）
c．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. （ √ ）
（2）已知直线a，b和平面 ，且a⊥b，a⊥ ，则b与 的位置关系是 .
答案：b∥ 或b .
2．（1）下列命题中错误的是（ A ）
A．如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内所有直线垂直于平面 .
B．如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 .
C．如果平面 不垂直平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 .
D．如果平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ， ，那么 .
（2）已知两个平面垂直，下列命题（ B ）
①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．设直线a，b分别在正方体ABCD ? A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内，欲使a∥b，a，b应满足什么条件？
答案：不相交，不异面
4．已知平面 ， ，直线a，且 ， ，a∥ ，a⊥AB，试判断直线a与直线 的位置关系.
答案：平行、相交或在平面 内学生独立完成
巩固、所学知识
归纳总结1．直线和平面垂直的性质
2．平面和平面垂直的性质
3．面面垂直 线面垂直 线线垂直学生归纳总结，教材再补充完善.回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.
课后作业2.3 第三课时 习案学生独立完成固化知识
提升能力
备选例题
例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面 垂直，a是 内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？
【解析】
【评析】若BC与 垂直，同理可得AB与 也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直” ．
例2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知 ⊥r， ⊥r， ∩ = l，求证：l⊥r．
【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面 、 垂直．或由面面垂直的性质易在 、 内作出平面r的垂线，再设法证明l与其平行即可．
【证明】法一：如图，设 ∩r = a ， ∩r = b，在r内任取一点P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b．
∵ ⊥r， ⊥r，
∴m⊥a，n⊥ （面面垂直的性质）．
又 ∩ = l，
∴l⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，n r
∴l⊥r．
法二：如图，设 ∩r = a， ∩r = b，在 内作m⊥a，在 内作n⊥b．
∵ ⊥r， ⊥r，
∴m⊥r，n⊥r．
∴m∥n，又n ，m ，
∴m∥ ，又 ∩ = l，m ，
∴m∥l，
又m⊥r，∴l⊥r．
【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的．
（一）目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.
2．过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
（二）重点、难点
两个性质定理的证明.
（三）教学方法
学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课导入问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？
问题2：若一条直线和一个平面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？师投影问题. 学生思考、讨论问题，教师点出主题复习巩固以旧带新
探索新知一、直线与平面垂直的性质定理
1．问题：已知直线a、b和平面 ，如果 ，那么直线a、b一定平行吗？
已知
求证：b∥a.
证明：假定b不平行于a，设 =0
b′是经过O与直线a平行的直线
∵a∥b′，
∴b′⊥a
即经过同一点O的两线b、b′都与 垂直这是不可能的，
因此b∥a.
2．直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
简化为：线面垂直 线线平行生：借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立.
师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，有这种情况下，我们采用“反证法”
师生边分析边板书.
借助模型教学，培养几何直观能力.，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.
探索新知二、平面与平面平行的性质定理
1．问题
黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
2．例1 设 ， =CD， ，AB⊥CD，AB⊥CD = B求证AB
证明：在 内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角 的平面角.由 知，AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是 内的两条相交直线，所以AB⊥
3．平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
简记为：面面垂直 线面垂直.教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题
生：借助长方体模型，在长方体ABCD ? A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A⊥AD，AB⊥A′A
∵
∴A′A⊥面ABCD
故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.
师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB⊥CD，需找一条直线与AB垂直，有条件 还没有用，能否利用 构造一条直线与AB垂直呢？
生：在面 内过B作BE⊥CD即可.
师：为什么呢？
学生分析，教师板书
本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.
典例分析例2 如图，已知平面 ， ，直线a满足 ， ，试判断直线a与平面 的位置关系.
解：在 内作垂直于 与 交线的直线b，
因为 ，所以
因为 ，所以a∥b.
又因为 ，所以a∥ .
即直线a与平面 平行.
例3 设平面 ⊥平面 ，点P作平面 的垂线a，试判断直线a与平面 的位置关系？
证明：如图，设 = c，过点P在平面 内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有 .
因为过一点有且只有一条直线与平面 垂直，所以直线a与直线b垂合，因此 .师投影例2并读题
生：平行
师：证明线面平行一般策略是什么？
生：转证线线平行
师：假设内一条直线b∥a则b与 的位置关系如何？
生：垂直
师：已知 ，怎样作直线b？
生：在 内作b垂直于 、 的交线即可.
学生写出证明过程，教师投影.
师投影例3并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注.
师：利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线b与直线a重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用.巩固所学知识，训练化归能力.
巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性.
随堂练习1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”错误的画“×”.
（1）a．垂直于同一条直线的两个平面互相平行. （ √ ）
b．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （ √ ）
c．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. （ √ ）
（2）已知直线a，b和平面 ，且a⊥b，a⊥ ，则b与 的位置关系是 .
答案：b∥ 或b .
2．（1）下列命题中错误的是（ A ）
A．如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内所有直线垂直于平面 .
B．如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 .
C．如果平面 不垂直平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 .
D．如果平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ， ，那么 .
（2）已知两个平面垂直，下列命题（ B ）
①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．设直线a，b分别在正方体ABCD ? A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内，欲使a∥b，a，b应满足什么条件？
答案：不相交，不异面
4．已知平面 ， ，直线a，且 ， ，a∥ ，a⊥AB，试判断直线a与直线 的位置关系.
答案：平行、相交或在平面 内学生独立完成
巩固、所学知识
归纳总结1．直线和平面垂直的性质
2．平面和平面垂直的性质
3．面面垂直 线面垂直 线线垂直学生归纳总结，教材再补充完善.回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.
课后作业2.3 第三课时 习案学生独立完成固化知识
提升能力
备选例题
例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面 垂直，a是 内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？
【解析】
【评析】若BC与 垂直，同理可得AB与 也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直” ．
例2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知 ⊥r， ⊥r， ∩ = l，求证：l⊥r．
【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面 、 垂直．或由面面垂直的性质易在 、 内作出平面r的垂线，再设法证明l与其平行即可．
【证明】法一：如图，设 ∩r = a ， ∩r = b，在r内任取一点P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b．
∵ ⊥r， ⊥r，
∴m⊥a，n⊥ （面面垂直的性质）．
又 ∩ = l，
∴l⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，n r
∴l⊥r．
法二：如图，设 ∩r = a， ∩r = b，在 内作m⊥a，在 内作n⊥b．
∵ ⊥r， ⊥r，
∴m⊥r，n⊥r．
∴m∥n，又n ，m ，
∴m∥ ，又 ∩ = l，m ，
∴m∥l，
又m⊥r，∴l⊥r．
【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的．
