平面向量的基本定理

2.3.1 平面向量基本定理

一、课题：平面向量基本定理
二、目标：1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；
2．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的
关系来用坐标表示；
3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。
三、重、难点：1．平面向量的坐标运算；
2．对平面向量的坐标表示的理解。
四、教学过程：
（一）复习：
1．平面向量的基本定理： ；
2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数 表示，那么，每一个向量可否也用
一对实数来表示？
（二）新课讲解：
1．向量的坐标表示的定义：
分别选取与 轴、 轴方向相同的单位向量 ， 作为基底，对于任一向量 ， ，（ ），实数对 叫向量 的坐标，记作 ．
其中 叫向量 在 轴上的坐标， 叫向量 在 轴上的坐标。
说明：（1）对于 ，有且仅有一对实数 与之对应；
（2）相等的向量的坐标也相同；
（3） ， ， ；
（4）从原点引出的向量 的坐标 就是点 的坐标。

例1 如图，用基底 ， 分别表示向量 、 、 、 ， 并求出它们的坐标。
解：由图知： ；
；
；

2．平面向量的坐标运算：
问题：已知 ， ，求 ， ．
解：
即 ．
同理： ．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
3．向量的坐标计算公式：
已知向量 ，且点 ， ，求 的坐标．
．

归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；
（2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。

4．实数与向量的积的坐标：
已知 和实数 ，求
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
例2 已知 ， ，求 ， ， 的坐标．
解： = ； ；
．

例3 已知 ABCD的三个顶点 的坐标分别为 、 、 ，求顶点 的坐标。
解：设顶点 的坐标为 ．
∵ ， ，
由 ，得 ．
∴ ∴ ∴顶点 的坐标为 ．

例4 （1）已知 的方向与 轴的正向所成的角为 ，且 ，则 的坐标为 ，
．
（2）已知 ， ， ，且 ，求 ， ．
解：（2）由题意， ，
∴ ∴ ．


五、课堂小结：1．正确理解平面向量的坐标意义；
2．掌握平面向量的坐标运算；
3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题。
六、作业：
补充：1．已知向量 与 相等，其中 ， ，求 ；
2．已知向量 ， ， ， ，且 ，求 ．