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指数函数的概念

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课 题:指数函数的定义

【目标】
1.通过实际问题了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念和意义.
2.在学习的过程中体会研究具体函数的过程和方法.
3.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活得哲理;培养学生观察问题、分析问题的能力.
【重点】
指数函数定义及其理解.
【教学难点】
指数函数的定义及其理解.
【教学步骤】
(一)引入课题
引例1 任何有机体都是由细胞作为基本单位组成的,每个细胞每次分裂为2个,则1个细胞第一次分裂后变为2个细胞,第二次分裂就得到4个细胞,第三次分裂后就得到8个细胞……
问题: 1个细胞分裂 次后,得到的细胞个数 与 的关系式是什么?
分裂次数 细胞个数

……
由上面的对应关系,我们可以归纳出,第 次分裂后,细胞的个数为 .
这个函数的定义域是非负整数集,由 ,任给一个 值,我们就可以求出对应的 值.
引例2 一种放射性元素不断衰变为其他元素,每经过一年剩余的质量约为原来的84%.
问题:若设该放射性元素最初的质量为1,则 年后的剩余量 与 的关系式是什么?
时间 剩余质量
经过1年
经过2年
经过3年
……
由上面的对应关系,我们可以归纳出,经过 年后,剩余量 .
问题:上面两个实例得到的函数解析式有什么共同特征?
它们的自变量都出现在指数位置上,底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们称这样的函数为指数函数.
(二)讲授新课
1.指数函数的定义:
一般地,形如 的函数,叫做指数函数,其中 是自变量, 是不等于1的正的常数.
说明:(1)由于我们已经将指数幂推广到实数指数幂,因此当 >0时,自变量 可以取任意的实数,因此指数函数的定义域是R,即 .
(2)为什么要规定底数 呢.
因为当 时,若 ,则 恒为0;若 ≤0,则 无意义.
而当 时, 不一定有意义,例如 , 时, 显然没有意义.
若 时, 恒为1,没有研究的必要.
因此,为了避免上述情况,我们规定 .注意:此解释只要能说明即可,不必深化,也可视学生情况决定是否向同学解释.
练一练:
下列函数中,哪些是指数函数?
, , , , , , , , .
分析:紧扣指数函数的定义,形如 函数叫做指数函数,即 前面的系数为1, 是一个正常数,指数是 .
解: , , , 都是指数函数,其余都不是指数函数.
(三)典型例题
例1 已知指数函数 ,求 , , , 的值.
解: ;


.
例2 已知指数函数 ,若 ,求自变量 的值.
解:将 代入 ,得

即 ,
所以 .
例3 设 ,若 ,求 的值.
解:由已知,得

即 ,
因为 ,
所以 .
(四)课堂练习
1.已知指数函数 ,求 , , , 的值.
2.已知指数函数 ,若 ,求自变量 的值.
(五)课堂小结
1.指数函数的定义;
2.研究函数的方法.
(六)课后作业
教材P102练习 1,2,3.




(七)板书设计
指数函数的定义
一、指数函数的定义: 二、例题: 三、练习: 四、小结:
例1 1、
练一练: 例2 2、 五、作业:
例3
【教学设计说明】
1.本节课的教学,首先从实际问题引入指数函数的概念,这样既说明指数函数的概念来源于生活实际,也便于学生接受和培养学生用数学的意识.由于本节课是指数函数的起始课,只介绍了指数函数的定义,因此应让学生在理解概念的基础上,落实所学知识.在例题方面,选取紧密联系函数解析式的三种类型题目.例1,已知自变量求函数值;例2,已知函数值求自变量,例3,已知指数函数经过某点确定底数 .通过这三方面例题的讲授,使学生对指数函数的解析式有一个较全面的理解,同时为后面指数函数的图像与性质的学习奠定基础.
2.本节课的教学过程:
(1)从实际问题引入,得到指数函数的概念;
(2)对指数函数的进一步理解;
(3)例题、练习、小结、作业.
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