数学必修1：函数的应用举例
【要点导学】
1、数学模型
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式，函数解析式等等.
2、数学模型方法
数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.
3、求解 实际问题的基本步骤
以函数为数学模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面，主要研究它的定义域、值域、单调性、最值等问题.使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下：
⑴审题：通过阅读，理解关键词的意义，明确变量和常量，理顺数量关系，弄清题意，明白问题讲的是什么.
⑵建模：将文字语言转换成数学语言，用数学式子表达数量关系，利用数学知识建立相应的数学模型.
⑶求模：求解数学模 型，得到数学结论.
⑷还原：将用数学方法得到的结论，回归实际，还原为实际问题的意义.
4、本节课的函数应用是指利用函数知识求解实际问题.
【范例精析】
例1 要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径
不允许小于600 .如果某段铁路两端相距156 ，弧所对的圆心
角小于180o,试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围(精确到1m).
思路剖析 先以弓形的高 为自变量，半径R为函数，建
立R关于 的函数关系式，然后再利用圆弧半径不小于600 得
到关于 的不等式，求出 的范围.
解题示范 如图，设圆弧的半径OA=OB=R ,
圆弧弓形的高CD= ,0<在RtΔBOD中，DB=78，OD=R- ，
则 ，∴ ，
依题意R≥600，即 ≥600，
∴ ≥0，
解得 ≤5.1或 ≥1194.9,
又答：圆弧弓形的高的允许值范围是 （单位：米）.
回顾反思 如何依题意寻找关于 的不等式，是求解本题的关键，这里要抓住两方面：一是圆弧半径不小于600 ，二是例2大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 以上温度一定，保持在-55oC.
（1）当地球表面大气的温度是 oC时，在 的上空为 oC,求 、 、 间的函数关系式；
（2）问当地表的温度是29oC时，3 上空的温度是多少？
思路剖析 用待定系数法确定温度随高度变化的函数关系.
解题示范 （1）由题设知，可设 - = ，即 = + .
依题意，当 =12时， =-55，
∴-55= +12 ，解得 =- ，
∴当 时， .
又当 时， .
∴所求的函数关系式为
（2）当 =29, =3时，
=29- (55+29)=8，
即3 上空的温度为8oC.
答：所求的关系式为 ，在3 上空的温度是8oC.
回顾反思 1、在求解本题时，要抓住“上升到12 为止温度的降低大体上与升高的距离成正比”这句关键性的话，它表达了两层意思：一是温度的降低与升高的距离成正比；二是“温度的降低与升高的距离成正比”的前提是“上升到12 为止”，故函数的定义域为 .
2、数学模型中的自变量的取值范围，一方面要使数学关系式有意义，另一方面还必须满足实际问题的意义.
例3 1980年我国人 均收入255美元，若到2000年人民生活达到小康水平，即人均收入为817美元，则年平均增长率是多少？若不低于此增长率递增，则到2010年人均收入至少多少美元？
思路剖析 按平均增长率可求得逐年的人均收入，通过解方程可计算平均增长率.
解题示范 设年平均增长率为 ，则
1981年人均收入为25 5 ，
1982年人均收入为255 ,
……
2000年人均收入为 255 ，
依题意，得255 =817，
∴ = ，
用计算器算得 =0.06=6%.
设2010年人均收入为 美元，则 =255(1+6%)30,
用计算器算得 =1464（美元）.
答：年平均增长率为6%，到2010年人均收入至少为1464美元.
回顾反思 在实际问题中，常常遇到有关平均增长率（如复利、人口增长率、产值增长率等）的问题，求解与平均增长率有关的实际应用问题时，常要用到公式 ，其中N表示原来产值的基础数， 为平均增长率， 表示对应于时间 的产值，此公式称作复利公式，要掌握它的推导过程和实际应用.当 表示增长率时， >0；当表示折旧率时， <0.
例4 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 与月份 的关系，模拟函数可选用二次函数或 ( , , 为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由.
思路剖析 先利用待定系数法求出两个函数的解析式，再进行比较.
解题示范 设二次函数为 .
由已知得 ，
∴ .
对于函数 ，
由已知得 ，
∴ .
当 =4时， ；
.
∴ ， ，
∴ ，
∴选用函数 作模拟函数较好.
回顾反思 本题中，要弄清选择哪个函数作为模拟函数“较好”的依据是什么？看 分别与四月份该产品的实际产量1.37万件的误差哪个小.
例5 已知某商品的价格每上涨 %，销售的数量就减少 %，其中 为正常数.
(1)当 时，该商品的价格上涨多少时，就能使销售的总金额最大？
(2)若适当地涨价，能使销售总金额增加，求 的取值范围.
思路剖析 销售总金额=商品定价 销售数量.
解题示范 (1)设商品原定价为 ，卖出的数量为 ，则当价格上涨 %时，
商品的定价为 ，销售数量为 ，
∴销售总金额为 ，
即 .
当 时，
∴当 =50时， .
即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.
(2)∵二次函数 在 上递增，在 上递减，
∴要使适当地涨价，能使销售总金额增加，即当 >0时, 为增函数，则 须且只需满足
，
解得0< <1.
回顾反思 在求解第二问时要注意两点：一是要理解“适当地涨价，能使销售总金额增加”在数学中的含义是什么？它表示当 >0时, 为增函数，由此得到二次函数顶点的横坐标需满足的条件；二是不要把“销售总金额增加”错误地理解为“销售总金额比原来增加”，以致产生下面的错误解法：
令 ，得 ，∴ ，
∴ ，∴ .
尽管答案一致，但纯属偶然.
【能力训练】
一、选择题
1、我国工农业总产值从1980年到2000年的20年间实现了翻两番的目 标，若平均每年的增长率为 ，则（）
A、 =4B、 =2C、 =3D、 =4
2、由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低.若每隔5年计算机的价格降低 ，现在价格为8100元的计算机经过15年，其价格可降为（）
A、300元B、900元C、2400元D、3600元
3、某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为（）
A、PB、P12C、(1+P)12D、(1+P)12-1
4、某商品零售价2002年比2001年上涨25%，欲控制2003年比2001年只上涨10%，则2003年应比2002年降价（）
A、15%B、12%C、10%D、5%
5、一名退休职工每年获得一份医疗保障金，金额与他工作的年数的平方根成正比，如果多工作 年，他的保障金会比原有的多 元；如果多工作 年，他的保障金会比原来的多 元，那么他每年的保障金（用 表示）是（）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
6、有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.则盒子的容积V与 的函数关系式是.
7、以半径为R的半圆上任意一点P为顶点，直径AB为底边的ΔPAB的面积S与高PD= 之间的函数关系式是
8、储油30 3的油桶，每分钟流出 3的油，则桶内剩余油量Q（ 3）以流出时间为自变量的函数的定义域为
9、A、B两地相距160 （A地在B地的正北方向），甲从A地以80 /s的速度向B行驶，乙从B地向正东方向以60 /s的 速度行驶.若甲、乙同时出发，则它们之间的最小距离为
10、“中华人民共和国个人所得税法”规定，薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款 按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额税率
不超过500元的部分5％
超过500元至2000元部分10％
…………
则每月工资为1900元的工人每月应纳税款元.
三、解答题
11、某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大？并求出最大利润.
12、一根均匀的轻质弹簧，已知在600N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100N的拉力作用下，长度为0.55 ,在300N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？
13、如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M， 连AP，设AP=
（1）写出AP+2PM关于 的函数关系式 ；
（2）求此函数的最值.
14、在底边BC=60,高AD=40的△ABC中作内接矩形MNPQ.设矩形的面积为S，MN= ，写出S与 之 间的 函数关系式，并求其定义域和值域.
15、某林场现有木材30000 3,如果每年平均增长5%，问大约经过多少年木材可以增加到40000 3?
【素质提高】
16、某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上划出
一块长方形的地面修建一座公寓楼.问如何设计才能使
公寓楼地面的面积最大，并求出最大的面积.
17、在测量某物理量的过程当中，因仪器和观察
的误差，使得 次测量分别得到 共 个数
据.我们规定所测量的物理量的“最佳近似值 ”是
这样一个量：与其它近似值比较， 与各数据的平方和最小.依此规定，从 推出 的值.
18、某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6点起到晚上10点止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间 （小时，且规定早上6点时 ）的函数关系为W=100 .水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空），又不会使水溢出？
2.6函数的应用举例
1、D2、C3、D4、B5、D6、 7、 8、[0，40]9、 10、8511、售价定为12元时可获最大利润160元12、0.50 13、（1） ；（2 ）当 时 ，当 时 14、 ，定义域为{ 0< <60}，值域为{S0
【要点导学】
1、数学模型
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式，函数解析式等等.
2、数学模型方法
数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.
3、求解 实际问题的基本步骤
以函数为数学模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面，主要研究它的定义域、值域、单调性、最值等问题.使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下：
⑴审题：通过阅读，理解关键词的意义，明确变量和常量，理顺数量关系，弄清题意，明白问题讲的是什么.
⑵建模：将文字语言转换成数学语言，用数学式子表达数量关系，利用数学知识建立相应的数学模型.
⑶求模：求解数学模 型，得到数学结论.
⑷还原：将用数学方法得到的结论，回归实际，还原为实际问题的意义.
4、本节课的函数应用是指利用函数知识求解实际问题.
【范例精析】
例1 要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径
不允许小于600 .如果某段铁路两端相距156 ，弧所对的圆心
角小于180o,试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围(精确到1m).
思路剖析 先以弓形的高 为自变量，半径R为函数，建
立R关于 的函数关系式，然后再利用圆弧半径不小于600 得
到关于 的不等式，求出 的范围.
解题示范 如图，设圆弧的半径OA=OB=R ,
圆弧弓形的高CD= ,0<
则 ，∴ ，
依题意R≥600，即 ≥600，
∴ ≥0，
解得 ≤5.1或 ≥1194.9,
又
回顾反思 如何依题意寻找关于 的不等式，是求解本题的关键，这里要抓住两方面：一是圆弧半径不小于600 ，二是
（1）当地球表面大气的温度是 oC时，在 的上空为 oC,求 、 、 间的函数关系式；
（2）问当地表的温度是29oC时，3 上空的温度是多少？
思路剖析 用待定系数法确定温度随高度变化的函数关系.
解题示范 （1）由题设知，可设 - = ，即 = + .
依题意，当 =12时， =-55，
∴-55= +12 ，解得 =- ，
∴当 时， .
又当 时， .
∴所求的函数关系式为
（2）当 =29, =3时，
=29- (55+29)=8，
即3 上空的温度为8oC.
答：所求的关系式为 ，在3 上空的温度是8oC.
回顾反思 1、在求解本题时，要抓住“上升到12 为止温度的降低大体上与升高的距离成正比”这句关键性的话，它表达了两层意思：一是温度的降低与升高的距离成正比；二是“温度的降低与升高的距离成正比”的前提是“上升到12 为止”，故函数的定义域为 .
2、数学模型中的自变量的取值范围，一方面要使数学关系式有意义，另一方面还必须满足实际问题的意义.
例3 1980年我国人 均收入255美元，若到2000年人民生活达到小康水平，即人均收入为817美元，则年平均增长率是多少？若不低于此增长率递增，则到2010年人均收入至少多少美元？
思路剖析 按平均增长率可求得逐年的人均收入，通过解方程可计算平均增长率.
解题示范 设年平均增长率为 ，则
1981年人均收入为25 5 ，
1982年人均收入为255 ,
……
2000年人均收入为 255 ，
依题意，得255 =817，
∴ = ，
用计算器算得 =0.06=6%.
设2010年人均收入为 美元，则 =255(1+6%)30,
用计算器算得 =1464（美元）.
答：年平均增长率为6%，到2010年人均收入至少为1464美元.
回顾反思 在实际问题中，常常遇到有关平均增长率（如复利、人口增长率、产值增长率等）的问题，求解与平均增长率有关的实际应用问题时，常要用到公式 ，其中N表示原来产值的基础数， 为平均增长率， 表示对应于时间 的产值，此公式称作复利公式，要掌握它的推导过程和实际应用.当 表示增长率时， >0；当表示折旧率时， <0.
例4 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 与月份 的关系，模拟函数可选用二次函数或 ( , , 为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由.
思路剖析 先利用待定系数法求出两个函数的解析式，再进行比较.
解题示范 设二次函数为 .
由已知得 ，
∴ .
对于函数 ，
由已知得 ，
∴ .
当 =4时， ；
.
∴ ， ，
∴ ，
∴选用函数 作模拟函数较好.
回顾反思 本题中，要弄清选择哪个函数作为模拟函数“较好”的依据是什么？看 分别与四月份该产品的实际产量1.37万件的误差哪个小.
例5 已知某商品的价格每上涨 %，销售的数量就减少 %，其中 为正常数.
(1)当 时，该商品的价格上涨多少时，就能使销售的总金额最大？
(2)若适当地涨价，能使销售总金额增加，求 的取值范围.
思路剖析 销售总金额=商品定价 销售数量.
解题示范 (1)设商品原定价为 ，卖出的数量为 ，则当价格上涨 %时，
商品的定价为 ，销售数量为 ，
∴销售总金额为 ，
即 .
当 时，
∴当 =50时， .
即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.
(2)∵二次函数 在 上递增，在 上递减，
∴要使适当地涨价，能使销售总金额增加，即当 >0时, 为增函数，则 须且只需满足
，
解得0< <1.
回顾反思 在求解第二问时要注意两点：一是要理解“适当地涨价，能使销售总金额增加”在数学中的含义是什么？它表示当 >0时, 为增函数，由此得到二次函数顶点的横坐标需满足的条件；二是不要把“销售总金额增加”错误地理解为“销售总金额比原来增加”，以致产生下面的错误解法：
令 ，得 ，∴ ，
∴ ，∴ .
尽管答案一致，但纯属偶然.
【能力训练】
一、选择题
1、我国工农业总产值从1980年到2000年的20年间实现了翻两番的目 标，若平均每年的增长率为 ，则（）
A、 =4B、 =2C、 =3D、 =4
2、由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低.若每隔5年计算机的价格降低 ，现在价格为8100元的计算机经过15年，其价格可降为（）
A、300元B、900元C、2400元D、3600元
3、某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为（）
A、PB、P12C、(1+P)12D、(1+P)12-1
4、某商品零售价2002年比2001年上涨25%，欲控制2003年比2001年只上涨10%，则2003年应比2002年降价（）
A、15%B、12%C、10%D、5%
5、一名退休职工每年获得一份医疗保障金，金额与他工作的年数的平方根成正比，如果多工作 年，他的保障金会比原有的多 元；如果多工作 年，他的保障金会比原来的多 元，那么他每年的保障金（用 表示）是（）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
6、有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.则盒子的容积V与 的函数关系式是.
7、以半径为R的半圆上任意一点P为顶点，直径AB为底边的ΔPAB的面积S与高PD= 之间的函数关系式是
8、储油30 3的油桶，每分钟流出 3的油，则桶内剩余油量Q（ 3）以流出时间为自变量的函数的定义域为
9、A、B两地相距160 （A地在B地的正北方向），甲从A地以80 /s的速度向B行驶，乙从B地向正东方向以60 /s的 速度行驶.若甲、乙同时出发，则它们之间的最小距离为
10、“中华人民共和国个人所得税法”规定，薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款 按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额税率
不超过500元的部分5％
超过500元至2000元部分10％
…………
则每月工资为1900元的工人每月应纳税款元.
三、解答题
11、某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大？并求出最大利润.
12、一根均匀的轻质弹簧，已知在600N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100N的拉力作用下，长度为0.55 ,在300N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？
13、如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M， 连AP，设AP=
（1）写出AP+2PM关于 的函数关系式 ；
（2）求此函数的最值.
14、在底边BC=60,高AD=40的△ABC中作内接矩形MNPQ.设矩形的面积为S，MN= ，写出S与 之 间的 函数关系式，并求其定义域和值域.
15、某林场现有木材30000 3,如果每年平均增长5%，问大约经过多少年木材可以增加到40000 3?
【素质提高】
16、某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上划出
一块长方形的地面修建一座公寓楼.问如何设计才能使
公寓楼地面的面积最大，并求出最大的面积.
17、在测量某物理量的过程当中，因仪器和观察
的误差，使得 次测量分别得到 共 个数
据.我们规定所测量的物理量的“最佳近似值 ”是
这样一个量：与其它近似值比较， 与各数据的平方和最小.依此规定，从 推出 的值.
18、某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6点起到晚上10点止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间 （小时，且规定早上6点时 ）的函数关系为W=100 .水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空），又不会使水溢出？
2.6函数的应用举例
1、D2、C3、D4、B5、D6、 7、 8、[0，40]9、 10、8511、售价定为12元时可获最大利润160元12、0.50 13、（1） ；（2 ）当 时 ，当 时 14、 ，定义域为{ 0< <60}，值域为{S0
