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直线与平面的位置关系

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总 课 题点、线、面之间的位置关系总课时第11课时
分 课 题直线与平面的位置关系(三)分课时第3课时
目标了解直线和平面所成角的概念和范围;能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理.
重点难点直线与平面所成角的概念.
?引入新课
1.通过观察一条直线与一个平面相交,思考如何量化它们相交程度的不同.
2.平面的斜线的定义: ;
叫做斜足; 叫做这个点到平面的斜线段.
3.过平面外一点 向平面 引斜线和垂线,那么过斜足 与垂足
的直线就是 ;
线段 就是线段 .
4.斜线与平面所成的角的概念
,其范围是 .
指出右上图中斜线 与平面 所成的角是 ,你能证明这个角是 与平面 内经过点 的直线所成的所有角中最小的角吗?
一条直线垂直于平面时,这条直线与平面所成的角是      ;
一条直线与平面平行或在平面内,我们说他们所成的角是   .
思考:直线与平面所成的角的范围是        .
?例题剖析
例1  如图:已知 , 分别是平面 垂线和斜线, 分别是垂足和斜足, , ,求证: .

能用文字语言表述这个结论吗?

例2  如图,∠BAC在平面 内,点P ,∠PAB=∠PAC.求证:点P在平面 内的射影在∠BAC的平分线上.

[思考]:
(1)若∠PAB=∠PAC=60°,∠BAC=90°,则直线PA与 所成角的大小__________.


(2)从平面 外同一点引平面的斜线段长相等,那么它们在 内射影长相等吗?反之成立吗?


(3)若将例2中条件“∠PAB=∠PAC”改为“点P到∠BAC的两边AB、AC的距离相等”,结论是否仍然成立?


(4)你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗?


?巩固练习
1.如图, , 平面 ,则在 的边所在直线中:
(1)与 垂直的直线有:
(2)与 垂直的直线有:
2.在正方体 中,直线 与平面
所成的角是
3.如果PA、PB、PC两两垂直, 那么P在平面ABC内的射影一定是△ABC的 ( )
A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心
4.如图,一块正方体木料的上底面内有一点 ,要经过点 在上底面内画一条直线与 垂直,应怎样画?


?课堂小结
平面的斜线及斜线在平面内的射影的概念;直线与平面所成的角概念、范围.

?课后训练
一 基础题
1.若直线 与平面 不垂直,那么在平面 内与直线 垂直的直线 ( )
只有一条 有无数条 是平面 内的所有直线 不存在
2.设PA、PB、PC是从点P引出的三条射线, 每两条的夹角都等于60°,
则直线PC与平面APB所成角的余弦值是 .
3.在三棱锥P-ABC中,顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心,
则三条侧棱PA、PB、PC大小关系是_________________.
二 提高题
4.在四棱锥 中, 是矩形, 平面 .
(1)指出图中有哪些三角形是直角三角形,并说明理由;
(2)若 ,试求 与平面 所成角的正切值.


5.求证:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.

三 能力题
6.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC上的射影O是△ABC的垂心,求证:PA⊥BC.
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