课题§4 对数§4.1对数及其运算
一、教材及学情分析
对数及其运算是北师大版普通高中数学课程标准实验教科书《数学1（必修）》第三章第四单元第一节，是在系统学习研究函数的一般方法、指数的概念及运算性质,基本掌握指数函数的概念及性质的基础上引入的，既是指数有关知识的承接和延续，又是后续研究对数函数、探讨函数应用的基础,本节共两课时，本课是第一课时，重点研究对数的概念及其性质,教材以2000年国民经济生产总值增幅为背景，引入对数概念，在使学生认识引进对数必要性的同时,强化学生的数学应用意识，“思考交流”旨在引导学生进一步厘清指数式与对指数式之间的关系，明确1和底数对数的特点，深化真数取值范围的理解，为对数函数学习打下伏笔。常用对数及自然对数是对数的特例,教材将其安排在对数性质之后，旨在引领学生经历“特殊――一般――特殊”的过程，进一步发展学生的理性思维。因此，本节内容无论是只是传承，还是数学思想方法的强化渗透，都具有非常重要的奠基作用。
经历了义务教育阶段学习的高一学生，思维正处于由经验型向理论型过渡与转型期，思维的发散性与聚敛性基本成型，已具有研究函数和从事简单数学活动的能力，加之指数及指数函数等知识铺垫，对于本单元学习奠定了必要的知识和经验基础。
二、目标
1、知识技能目标
①理解对数的概念。
②理解和掌握对数的性质。
③理解指数与对数的关系，熟练地进行指数式与对数式互换。
2、过程与方法目标：经历由指数得到对数的过程，掌握指数式与对数式互化方法；结合对数概念探究对数的性质：0和负数没有对数。 (a＞1,且a≠1)
3、情感态度与价值观：
①通过指数式与对数式的互化，使学生感受对数式是指数式的另一种表达形式，进一步体会运用指数式探求对数的基本思路及方法，发展学生的数学表达能力和严谨有序的思维品质。
②通过随堂提问、练习评价，激发学生的探究兴趣，增强学生的成功感体验，帮助学生认识自我、建立自信。
三、重点与难点
1、重点：对数式与指数式的互化及对数的性质。
2、难点：对数概念的理解， 的推导及应用。
四、教法选择
根据教材及学情特点，本课以“尝试指导，效果回授”法为主，辅之于讨论法和自学辅导法。以问题为主线，活动为载体，力求创设有效的教学情境, 引导学生在在观察中思考，在思考中探索，在探索中发现，在发现中收获，在收获中创新，在创新中升华，通过具有一定层次梯度的问题序列，多角度、全方位训练学生思维的聚敛性和发散性。为增大课堂容量，“注重信息技术与数学课程的整合”（课标语），可借助多媒体辅助教学,为学生的教学探究与教学思维提供支持。教具准备：PPT演示文稿；学具准备：教科书，课堂练习本。
五、教学过程
（一）创设情境，导入新课
1、庄子：一尺木垂，日取其丰，不世不竭，
问题：①取４次还有多长？怎样计算？
②取多少次还有０.125尺?
2、如果2000年我国国民生产总值a亿，如果每年增长8.2%， 那么经过多少年国民生产总值是2000年的2倍？
处理：问题1①由学生口答，教师根据学生回答情况板书① ，并揭示运算实质。问题1②及问题2引导学生按照解决数学问题的常规步骤尝试建构方程，并板书如下
② ③ ？
诱导：式②③与式①有什么不同？如何求x呢？（教师结合学生对前一问题的回答，因势利导，揭示②③的本质――已知底数和幂的值，求指数，说明这就是本节课要研究的内容，接着引入并板书课题）
（二）诱导尝试，探究新知
1、引导观察，探获本质――建构对数概念
（1）诱导： 中x分别等于多少？目前大家没有学过这种运算，可以定义一种新运算，（边叙述边板书：如果 ，那么x叫作以 为底0.125的对数，记作： ）；你们能模仿描述定义 中的x吗？试试！（学生尝试描述，教师根据学生描述板书）
问题1：你们还能举出类似例子，并模仿表述吗？（处理方法同上）
问题2：你们能结合以上实例给出一般性的结论吗？（一名学生回答，发动其他学生参与补充）
（板书）定义：一般地，如果a(a＞0,a≠1)的b次幂等于N，即 ，那么数b叫作以a为底N的对数，记作： 中a叫作对数的底数，N叫作真数。（强调书写规范要求，引导学生阅读教科书P78对数概念及P79两种特殊对数及表示方法）
2、及时分化，适时类化――揭示概念本质，探索对数性质
（1）（课件出示）问题3：先独立思考完成下表，后四人一组讨论交流：①对数运算的实质是什么？②零与负数有没有对数？③ 与 有什么关系？④若将 中的b换成 ，你们有什么发现？若将 中的N换成 呢？
a的名称a的取值范围N的名称N的取值范围b的名称b的取值范围
【处理：①学生独立探索、合作交流，教师巡回视导，重点关注学生是否从定义出发，考察相关字母名称及取值范围，因势利导；②根据学生讨论情况，运用自定义动画完善此表；③结合学生讨论板书如下：
性质：（1）零与负数没有对数
（2） 或
（三）变式训练，巩固新知
（课件展示）问题1：将下列指数式写成对数式
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
处理：（1）提两名学生板演，将其余学生按座次左右依次分为A、B两组，A组完成单号，B组完成双号，交换互查。（2）评价完毕后，强调：（1） 是对数的重要性质，必须熟练掌握。（板书：性质3： ）
（2）注意：指数式与对数式互化最关键是搞清N与b在指数与对数式中的位置关系。
（课件展示）问题2：将下列对数式写成指数式
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
处理：学生口答，教师依据学生口答顺序，用课件展示正确答案。
问题3：求下列各式的值
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
处理：教师引导学生从指数式与对数式关系入手，探求（1），并示范板书（1）解题过程。其余各题由学生分组独立完成。
机动练习及课外探究：
（1）填空：① =_____,②对数式 中X的取值范围是
；
（2）求值：① ；② ；③
（四）全课小结，细化新知
1、提问：通过本节学习，你们有哪些收获？
2、在学生回答的基础上，概括如下：
本节课主要学习一个概念（对数）；掌握三个性质（零与负数没有对数； 或 ； ）；掌握一种方法（利用指数式与对数式的关系求对数值的方法）；注意个问题：（1）指数式与对数式互化的关键是搞清N与b在指数与对数式中的位置关系；（2）常用对数与自然对数是两种特殊对数，务必牢固掌握。（3）
（五）推荐作业， 延展新知
1、 0和负数无对数
3、
思考：大家对对数概念和一些特殊式子已知有了一定的了解，但实际科学研究和了解自然起了巨大作用，还有哪类对数？（阅读课本）
引导板书 常用对数 自然对数
为了方便： （e=2.71828）
原式
简记
例如：
应用示例，练习巩固
问题1、将下列指数式写成对数式。
（1） （2） （3） （4）
学生板演：解：略
变式训练：指数式写成对数式。
（1） （2） （3）
思考：指数式与对数式互化注意问题？
最关键是搞清N与b在指数与对数式中的位关系，其中对数定义是指数式
与对数式互化的根据。
问题2、将下列对数式写成指数式。（让学生阅读题目，独立解题。）
（1） （2） （3） （4）
变式训练：把对数式写成指数式。（点评）
（1） （2） （3） （4）
问题3、求值（师生点评总结）
（1） （2） （3） （4） （5）
活动：学生独立解题，回答问题依据。（利用指数式与对数式关系转化为
指数式求解）
变形训练：
求下列各项的值：（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
点评：本题注意方根的运算，也可借助对数恒等式来解（#）
总结提炼（学生先总结，学到什么知识，后老师总结）
１、对数的含义
２、对数式 中字母取值范围a>0且a≠1 b∈R N>0
３、三个公式 （问0和负数有没有对数）
４、两个特殊对数
５、应用指对数式经化及求值注意地方
课后思考题（选做）
（1）对数式 中X的取值范围是 。
（2）若 ，则X= 。
（3）计算： （a>0 b>0 c>0 N>0）
课后练习：P80 1、2、3 P87 A、1、2
课后作业：
1、P87 习题3-4 A 3、（1）（3）（5）（7）（9） 4
2、 请同学们阅读课本，搜集有关对数发展材料，寻找有关换底公式材料，为下一步学习打基础。
１、板书设计：引入（1）（2）
对数定义（注意事项） 指数式和对数式的互化 小结
对数与指数幂间关系 问题1、
提出问题（交流探究） 2、 作业
两种常见对数 3、
谢谢大家再见！！
知能训练：
１、把下列指数式写成对数式
（1） （2） （3） （4） （5）
2、把下列对数式写成指数式
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
3、求值（x的值）
(1) （2） （3） （4）
4、（1）求 的值
（2）已知： 、 ，求
一、教材及学情分析
对数及其运算是北师大版普通高中数学课程标准实验教科书《数学1（必修）》第三章第四单元第一节，是在系统学习研究函数的一般方法、指数的概念及运算性质,基本掌握指数函数的概念及性质的基础上引入的，既是指数有关知识的承接和延续，又是后续研究对数函数、探讨函数应用的基础,本节共两课时，本课是第一课时，重点研究对数的概念及其性质,教材以2000年国民经济生产总值增幅为背景，引入对数概念，在使学生认识引进对数必要性的同时,强化学生的数学应用意识，“思考交流”旨在引导学生进一步厘清指数式与对指数式之间的关系，明确1和底数对数的特点，深化真数取值范围的理解，为对数函数学习打下伏笔。常用对数及自然对数是对数的特例,教材将其安排在对数性质之后，旨在引领学生经历“特殊――一般――特殊”的过程，进一步发展学生的理性思维。因此，本节内容无论是只是传承，还是数学思想方法的强化渗透，都具有非常重要的奠基作用。
经历了义务教育阶段学习的高一学生，思维正处于由经验型向理论型过渡与转型期，思维的发散性与聚敛性基本成型，已具有研究函数和从事简单数学活动的能力，加之指数及指数函数等知识铺垫，对于本单元学习奠定了必要的知识和经验基础。
二、目标
1、知识技能目标
①理解对数的概念。
②理解和掌握对数的性质。
③理解指数与对数的关系，熟练地进行指数式与对数式互换。
2、过程与方法目标：经历由指数得到对数的过程，掌握指数式与对数式互化方法；结合对数概念探究对数的性质：0和负数没有对数。 (a＞1,且a≠1)
3、情感态度与价值观：
①通过指数式与对数式的互化，使学生感受对数式是指数式的另一种表达形式，进一步体会运用指数式探求对数的基本思路及方法，发展学生的数学表达能力和严谨有序的思维品质。
②通过随堂提问、练习评价，激发学生的探究兴趣，增强学生的成功感体验，帮助学生认识自我、建立自信。
三、重点与难点
1、重点：对数式与指数式的互化及对数的性质。
2、难点：对数概念的理解， 的推导及应用。
四、教法选择
根据教材及学情特点，本课以“尝试指导，效果回授”法为主，辅之于讨论法和自学辅导法。以问题为主线，活动为载体，力求创设有效的教学情境, 引导学生在在观察中思考，在思考中探索，在探索中发现，在发现中收获，在收获中创新，在创新中升华，通过具有一定层次梯度的问题序列，多角度、全方位训练学生思维的聚敛性和发散性。为增大课堂容量，“注重信息技术与数学课程的整合”（课标语），可借助多媒体辅助教学,为学生的教学探究与教学思维提供支持。教具准备：PPT演示文稿；学具准备：教科书，课堂练习本。
五、教学过程
（一）创设情境，导入新课
1、庄子：一尺木垂，日取其丰，不世不竭，
问题：①取４次还有多长？怎样计算？
②取多少次还有０.125尺?
2、如果2000年我国国民生产总值a亿，如果每年增长8.2%， 那么经过多少年国民生产总值是2000年的2倍？
处理：问题1①由学生口答，教师根据学生回答情况板书① ，并揭示运算实质。问题1②及问题2引导学生按照解决数学问题的常规步骤尝试建构方程，并板书如下
② ③ ？
诱导：式②③与式①有什么不同？如何求x呢？（教师结合学生对前一问题的回答，因势利导，揭示②③的本质――已知底数和幂的值，求指数，说明这就是本节课要研究的内容，接着引入并板书课题）
（二）诱导尝试，探究新知
1、引导观察，探获本质――建构对数概念
（1）诱导： 中x分别等于多少？目前大家没有学过这种运算，可以定义一种新运算，（边叙述边板书：如果 ，那么x叫作以 为底0.125的对数，记作： ）；你们能模仿描述定义 中的x吗？试试！（学生尝试描述，教师根据学生描述板书）
问题1：你们还能举出类似例子，并模仿表述吗？（处理方法同上）
问题2：你们能结合以上实例给出一般性的结论吗？（一名学生回答，发动其他学生参与补充）
（板书）定义：一般地，如果a(a＞0,a≠1)的b次幂等于N，即 ，那么数b叫作以a为底N的对数，记作： 中a叫作对数的底数，N叫作真数。（强调书写规范要求，引导学生阅读教科书P78对数概念及P79两种特殊对数及表示方法）
2、及时分化，适时类化――揭示概念本质，探索对数性质
（1）（课件出示）问题3：先独立思考完成下表，后四人一组讨论交流：①对数运算的实质是什么？②零与负数有没有对数？③ 与 有什么关系？④若将 中的b换成 ，你们有什么发现？若将 中的N换成 呢？
a的名称a的取值范围N的名称N的取值范围b的名称b的取值范围
【处理：①学生独立探索、合作交流，教师巡回视导，重点关注学生是否从定义出发，考察相关字母名称及取值范围，因势利导；②根据学生讨论情况，运用自定义动画完善此表；③结合学生讨论板书如下：
性质：（1）零与负数没有对数
（2） 或
（三）变式训练，巩固新知
（课件展示）问题1：将下列指数式写成对数式
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
处理：（1）提两名学生板演，将其余学生按座次左右依次分为A、B两组，A组完成单号，B组完成双号，交换互查。（2）评价完毕后，强调：（1） 是对数的重要性质，必须熟练掌握。（板书：性质3： ）
（2）注意：指数式与对数式互化最关键是搞清N与b在指数与对数式中的位置关系。
（课件展示）问题2：将下列对数式写成指数式
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
处理：学生口答，教师依据学生口答顺序，用课件展示正确答案。
问题3：求下列各式的值
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
处理：教师引导学生从指数式与对数式关系入手，探求（1），并示范板书（1）解题过程。其余各题由学生分组独立完成。
机动练习及课外探究：
（1）填空：① =_____,②对数式 中X的取值范围是
；
（2）求值：① ；② ；③
（四）全课小结，细化新知
1、提问：通过本节学习，你们有哪些收获？
2、在学生回答的基础上，概括如下：
本节课主要学习一个概念（对数）；掌握三个性质（零与负数没有对数； 或 ； ）；掌握一种方法（利用指数式与对数式的关系求对数值的方法）；注意个问题：（1）指数式与对数式互化的关键是搞清N与b在指数与对数式中的位置关系；（2）常用对数与自然对数是两种特殊对数，务必牢固掌握。（3）
（五）推荐作业， 延展新知
1、 0和负数无对数
3、
思考：大家对对数概念和一些特殊式子已知有了一定的了解，但实际科学研究和了解自然起了巨大作用，还有哪类对数？（阅读课本）
引导板书 常用对数 自然对数
为了方便： （e=2.71828）
原式
简记
例如：
应用示例，练习巩固
问题1、将下列指数式写成对数式。
（1） （2） （3） （4）
学生板演：解：略
变式训练：指数式写成对数式。
（1） （2） （3）
思考：指数式与对数式互化注意问题？
最关键是搞清N与b在指数与对数式中的位关系，其中对数定义是指数式
与对数式互化的根据。
问题2、将下列对数式写成指数式。（让学生阅读题目，独立解题。）
（1） （2） （3） （4）
变式训练：把对数式写成指数式。（点评）
（1） （2） （3） （4）
问题3、求值（师生点评总结）
（1） （2） （3） （4） （5）
活动：学生独立解题，回答问题依据。（利用指数式与对数式关系转化为
指数式求解）
变形训练：
求下列各项的值：（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
点评：本题注意方根的运算，也可借助对数恒等式来解（#）
总结提炼（学生先总结，学到什么知识，后老师总结）
１、对数的含义
２、对数式 中字母取值范围a>0且a≠1 b∈R N>0
３、三个公式 （问0和负数有没有对数）
４、两个特殊对数
５、应用指对数式经化及求值注意地方
课后思考题（选做）
（1）对数式 中X的取值范围是 。
（2）若 ，则X= 。
（3）计算： （a>0 b>0 c>0 N>0）
课后练习：P80 1、2、3 P87 A、1、2
课后作业：
1、P87 习题3-4 A 3、（1）（3）（5）（7）（9） 4
2、 请同学们阅读课本，搜集有关对数发展材料，寻找有关换底公式材料，为下一步学习打基础。
１、板书设计：引入（1）（2）
对数定义（注意事项） 指数式和对数式的互化 小结
对数与指数幂间关系 问题1、
提出问题（交流探究） 2、 作业
两种常见对数 3、
谢谢大家再见！！
知能训练：
１、把下列指数式写成对数式
（1） （2） （3） （4） （5）
2、把下列对数式写成指数式
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
3、求值（x的值）
(1) （2） （3） （4）
4、（1）求 的值
（2）已知： 、 ，求
