§1.3.2【奇偶性】设计
---普通高中课程标准实验教科书(人教版)数学1必修
【教材分析】本节课是新课标高中数学A版必修一中第一章函数的基本性质内容的第三课时，奇偶性是对函数的整体性质的描述，在了解单调性是对函数的局部性质的描述之后，学生通过对比手段比较容易接受。函数的奇偶性是函数基本性质的重要内容，本节课是让学生理解奇偶性的概念，掌握奇偶性的判断方法与严格步骤，为以后进一步分析函数的重要性质做好准备。
【学生分析】现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，并且学习的信心不够，对数学产生不了兴趣，通过函数单调性和最值的学习，学生已体会了数形结合的思想，并且观察抽象能力，以及特殊到一般的概括、归纳能力，逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索，发现，研究函数奇偶性的认识基础，通过指导教会学生独立思考，大胆探索和灵活运用数形结合，归纳等数学思想的学习方法。
【设计思路】先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象的直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算证明对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立函数奇偶的概念。首先引导学生给出偶函数的概念，仿造偶函数的建立过程，学生可以探究发现奇函数的概念，从而培养学生的归纳、探究能力，增强学习数学的兴趣。
【目标】
1.知识与技能：
●理解函数的奇偶性及其几何意义；
●学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
●掌握判断函数奇偶性的方法与步骤。
2.过程与方法：
●通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力；
●学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，渗透数形结合的数学思想；
●借助计算机观察图象、抽象概括、归纳数学问题，体验数与形结合的数学思想。
3．情感态度与价值观：
●通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力
●通过观察具体得图象，感受生活中的对称美以及数学的美；
●通过对函数奇偶性的学习，提高自主学习能力，了解数形结合思想，提高数学表达和交流的能力。
【教学重点】函数的奇偶性及其几何意义
【教学难点】判断函数的奇偶性的方法与格式
【教学策略】
探究式与启发式结合教学
学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．
探究式教学、多媒体辅助教学，实体道具讲授对称美
【设计思路】
教学过程
教学环节教学程序及设计设计意图
创
设
情
境，
引
入
新
课生活中存在许多美有和谐美，自然美，对称美，那么今天我们就来研究一下数学中的对称美，利用多媒体技术，展示对称美的概念：
生活中的喜字，中国房屋的对称式建造等；
观察生活中的各种实例，那现在我们一起来研究下数学中的对称；
1、画出下列函数的图象，
分析：根据“五点法”可以描出图象
2（1）仔细观察第1题的两个图象，你会发现它们有什么共同特点么？
分析：容易得到定义域关于原点对称，图象关于y轴对称。让学生自己动手画图，这两个图象都关于y轴对称。观察图象，让学生思考得出自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值相等这个重要的结论。
创设情境，引入新课新课讲授（2）对于f(x)和g(x)两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)，f(x)与f(-x),有什么关系吗？同理g(x)与g(-x)呢？
分析：引导学生通过具体的函数值及图象归纳出f(x)=f(-x)，g(x)=g(-x)。最后教师通过解析式证明任意的一个x以上两个等式都恒成立。
（3）一般地，若函数图象关于y轴对称,函数值f(x)与f(-x)有什么关系么？
分析：关于y轴对称即自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值相等。
3、小结：我们把自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值相等这样的函数叫偶函数。那么，偶函数的数学定义是什么呢?引出新定义。
一、偶函数的概念
一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
注意：
（1）定义域关于原点对称（任意一个x,都有-x在定义域内）；
（2）任意一个x都有f(x)=f(-x)既关于Y轴对称
文字语言：自变量相反时对应的函数值相等
二、奇函数的概念
类比偶函数的探究过程及方法得出奇函数的概念
4、画出下列函数的图象。
正确理解偶函数的定义，以及偶函数的表达方式。
教学环节教学程序及设计设计意图
创
设
情
境，
引
入
新
课
新
课
讲
授
教学环节
分析：根据“五点法”可以描出图象
5（1）仔细观察第4题的两个图象，你会发现它们有什么共同特点么？
分析：容易得到定义域关于原点对称，图象关于原点对称。
（2）对于f(x)和g(x)两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)，f(x)与f(-x),有什么关系吗？同理g(x)与g(-x)呢？
分析：引导学生通过具体的函数值及图象归纳出f(-x)＝－f(x)，g(-x)＝－g(x)。最后教师通过解析式证明任意的一个x以上两个等式都恒成立。
（3）一般的，若函数图象关于原点对称,函数值f(x)与f(-x)有什么关系么？
分析：关于原点对称即自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数。
3、小结：我们把自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数这样的函数叫奇函数。那么，类比偶函数的定义同学们能否给奇函数下一个定义呢?引出新定义。
三、奇函数的概念
一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x,都有f(-x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
注意：
（1）定义域关于原点对称（任意一个x,都有-x在定义域内）；
（2）任意一个x都有f(-x)＝－f(x)。图像关于原点对称
文字语言：自变量相反时对应的函数值相反
四、奇偶函数的图象的特征：
（1）偶函数的图象关于y轴对称；
（2）奇函数的图象关于原点对称。
五．强调
定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，而函数的单调性是局部性质
通过与单调性的对比进行学习
六、【例题1】判断下列函数的奇偶性
（1）f（x）= (2)f(x)=
(3)f(x)=x+ (4)f(x)=
(5)f(x)=
(6)f(x)= +
让学生自己动手画图，这两个图象都关于原点对称。观察图象，类比偶函数的探究过程，让学生思考得出自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数这个重要的结论。
正确理解奇函数的定义，以及奇函数的表达方式。
从图象直观上判断函数的奇偶性
设计意图
解：
（1）对于函数f（x）= ，其定义域为R，因为定义域内的每一个x，都有
f(-x)= = =f（x）
所以，函数f（x）= 为偶函数。
（2）对于函数f(x)= ，其定义域为R，因为定义域内的每一个x，都有
f(-x)= =－ =－f（x）
所以，函数f(x)= 为奇函数。
（3）对于函数f(x)=x+ ，其定义域为
，因为定义域内的每一个x，都有
f(-x)=－x＋ =－(x+ )=－f（x）
所以，函数f(x)=x+ 为奇函数。
(4)根据偶函数的定义，f(x)= 为偶函数。
（5）对于函数f(x)= ，其定义域为 ，因为函数的定义域关于原点不对称，所以函数f(x)= 既不是奇函数也不是偶函数。
（6）对于函数f(x)= + ，其定义域为 ，因为定义域内的每一个x，都有
f(x)=0
所以，f（-x）=f(x)
故函数f(x)= + 为偶函数,
又f（-x）=－f(x)
故函数f(x)= + 为奇函数。
即该函数既是奇函数又是偶函数。
七归纳函数的奇偶性类别及相应例子
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
既奇又偶函数
八．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤
1）首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
2）确定f(-x)与f(x)的关系；
3）作出相应的结论：
若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数
若f(-x)=－f(x)，则f(x)是奇函数
【巩固练习】判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3）
通过具体实例的详细分析，让学生清楚判断奇偶性的严格步骤与格式。
通过例子巩固新知识，强化思想
归纳小结，强化思想1、偶函数的概念
一般地，如果对于函数的定义域内任意一
个x,都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
2、奇函数的概念
一般地，如果对于函数的定义域内任意一
个x,都有f(-x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤
1）首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
2）确定f(-x)与f(x)的关系；
3）作出相应的结论：
若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数
若f(-x)=－f(x)，则f(x)是奇函数
4、判断奇偶性的方法：图象法和定义法
总结这节课的主要内容，有利于学生系统的掌握所学内容。
作业布置教材 第1题（3）（4）
作业时学生信息的反馈，教师可以发现学生存在的问题，弥补教学的不足。
---普通高中课程标准实验教科书(人教版)数学1必修
【教材分析】本节课是新课标高中数学A版必修一中第一章函数的基本性质内容的第三课时，奇偶性是对函数的整体性质的描述，在了解单调性是对函数的局部性质的描述之后，学生通过对比手段比较容易接受。函数的奇偶性是函数基本性质的重要内容，本节课是让学生理解奇偶性的概念，掌握奇偶性的判断方法与严格步骤，为以后进一步分析函数的重要性质做好准备。
【学生分析】现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，并且学习的信心不够，对数学产生不了兴趣，通过函数单调性和最值的学习，学生已体会了数形结合的思想，并且观察抽象能力，以及特殊到一般的概括、归纳能力，逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索，发现，研究函数奇偶性的认识基础，通过指导教会学生独立思考，大胆探索和灵活运用数形结合，归纳等数学思想的学习方法。
【设计思路】先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象的直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算证明对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立函数奇偶的概念。首先引导学生给出偶函数的概念，仿造偶函数的建立过程，学生可以探究发现奇函数的概念，从而培养学生的归纳、探究能力，增强学习数学的兴趣。
【目标】
1.知识与技能：
●理解函数的奇偶性及其几何意义；
●学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
●掌握判断函数奇偶性的方法与步骤。
2.过程与方法：
●通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力；
●学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，渗透数形结合的数学思想；
●借助计算机观察图象、抽象概括、归纳数学问题，体验数与形结合的数学思想。
3．情感态度与价值观：
●通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力
●通过观察具体得图象，感受生活中的对称美以及数学的美；
●通过对函数奇偶性的学习，提高自主学习能力，了解数形结合思想，提高数学表达和交流的能力。
【教学重点】函数的奇偶性及其几何意义
【教学难点】判断函数的奇偶性的方法与格式
【教学策略】
探究式与启发式结合教学
学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．
探究式教学、多媒体辅助教学，实体道具讲授对称美
【设计思路】
教学过程
教学环节教学程序及设计设计意图
创
设
情
境，
引
入
新
课生活中存在许多美有和谐美，自然美，对称美，那么今天我们就来研究一下数学中的对称美，利用多媒体技术，展示对称美的概念：
生活中的喜字，中国房屋的对称式建造等；
观察生活中的各种实例，那现在我们一起来研究下数学中的对称；
1、画出下列函数的图象，
分析：根据“五点法”可以描出图象
2（1）仔细观察第1题的两个图象，你会发现它们有什么共同特点么？
分析：容易得到定义域关于原点对称，图象关于y轴对称。让学生自己动手画图，这两个图象都关于y轴对称。观察图象，让学生思考得出自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值相等这个重要的结论。
创设情境，引入新课新课讲授（2）对于f(x)和g(x)两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)，f(x)与f(-x),有什么关系吗？同理g(x)与g(-x)呢？
分析：引导学生通过具体的函数值及图象归纳出f(x)=f(-x)，g(x)=g(-x)。最后教师通过解析式证明任意的一个x以上两个等式都恒成立。
（3）一般地，若函数图象关于y轴对称,函数值f(x)与f(-x)有什么关系么？
分析：关于y轴对称即自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值相等。
3、小结：我们把自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值相等这样的函数叫偶函数。那么，偶函数的数学定义是什么呢?引出新定义。
一、偶函数的概念
一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
注意：
（1）定义域关于原点对称（任意一个x,都有-x在定义域内）；
（2）任意一个x都有f(x)=f(-x)既关于Y轴对称
文字语言：自变量相反时对应的函数值相等
二、奇函数的概念
类比偶函数的探究过程及方法得出奇函数的概念
4、画出下列函数的图象。
正确理解偶函数的定义，以及偶函数的表达方式。
教学环节教学程序及设计设计意图
创
设
情
境，
引
入
新
课
新
课
讲
授
教学环节
分析：根据“五点法”可以描出图象
5（1）仔细观察第4题的两个图象，你会发现它们有什么共同特点么？
分析：容易得到定义域关于原点对称，图象关于原点对称。
（2）对于f(x)和g(x)两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)，f(x)与f(-x),有什么关系吗？同理g(x)与g(-x)呢？
分析：引导学生通过具体的函数值及图象归纳出f(-x)＝－f(x)，g(-x)＝－g(x)。最后教师通过解析式证明任意的一个x以上两个等式都恒成立。
（3）一般的，若函数图象关于原点对称,函数值f(x)与f(-x)有什么关系么？
分析：关于原点对称即自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数。
3、小结：我们把自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数这样的函数叫奇函数。那么，类比偶函数的定义同学们能否给奇函数下一个定义呢?引出新定义。
三、奇函数的概念
一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x,都有f(-x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
注意：
（1）定义域关于原点对称（任意一个x,都有-x在定义域内）；
（2）任意一个x都有f(-x)＝－f(x)。图像关于原点对称
文字语言：自变量相反时对应的函数值相反
四、奇偶函数的图象的特征：
（1）偶函数的图象关于y轴对称；
（2）奇函数的图象关于原点对称。
五．强调
定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，而函数的单调性是局部性质
通过与单调性的对比进行学习
六、【例题1】判断下列函数的奇偶性
（1）f（x）= (2)f(x)=
(3)f(x)=x+ (4)f(x)=
(5)f(x)=
(6)f(x)= +
让学生自己动手画图，这两个图象都关于原点对称。观察图象，类比偶函数的探究过程，让学生思考得出自变量取一对互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数这个重要的结论。
正确理解奇函数的定义，以及奇函数的表达方式。
从图象直观上判断函数的奇偶性
设计意图
解：
（1）对于函数f（x）= ，其定义域为R，因为定义域内的每一个x，都有
f(-x)= = =f（x）
所以，函数f（x）= 为偶函数。
（2）对于函数f(x)= ，其定义域为R，因为定义域内的每一个x，都有
f(-x)= =－ =－f（x）
所以，函数f(x)= 为奇函数。
（3）对于函数f(x)=x+ ，其定义域为
，因为定义域内的每一个x，都有
f(-x)=－x＋ =－(x+ )=－f（x）
所以，函数f(x)=x+ 为奇函数。
(4)根据偶函数的定义，f(x)= 为偶函数。
（5）对于函数f(x)= ，其定义域为 ，因为函数的定义域关于原点不对称，所以函数f(x)= 既不是奇函数也不是偶函数。
（6）对于函数f(x)= + ，其定义域为 ，因为定义域内的每一个x，都有
f(x)=0
所以，f（-x）=f(x)
故函数f(x)= + 为偶函数,
又f（-x）=－f(x)
故函数f(x)= + 为奇函数。
即该函数既是奇函数又是偶函数。
七归纳函数的奇偶性类别及相应例子
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
既奇又偶函数
八．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤
1）首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
2）确定f(-x)与f(x)的关系；
3）作出相应的结论：
若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数
若f(-x)=－f(x)，则f(x)是奇函数
【巩固练习】判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3）
通过具体实例的详细分析，让学生清楚判断奇偶性的严格步骤与格式。
通过例子巩固新知识，强化思想
归纳小结，强化思想1、偶函数的概念
一般地，如果对于函数的定义域内任意一
个x,都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
2、奇函数的概念
一般地，如果对于函数的定义域内任意一
个x,都有f(-x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤
1）首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
2）确定f(-x)与f(x)的关系；
3）作出相应的结论：
若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数
若f(-x)=－f(x)，则f(x)是奇函数
4、判断奇偶性的方法：图象法和定义法
总结这节课的主要内容，有利于学生系统的掌握所学内容。
作业布置教材 第1题（3）（4）
作业时学生信息的反馈，教师可以发现学生存在的问题，弥补教学的不足。
