数学：1.3《实际生活中的反比例函数》教案2(湘教版九年级下)
三维目标
一、知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
重点
掌握从实际问题中建构反比例函数模型．
难点
从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注 意分析过程，渗透数形结合的思想．
教具准备
多媒体课件(课本例2“码头卸货”问题)
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
某商场出售一批进价为 2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：
x(元)3456
y(个)20151210
(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)的对应点；
(2)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
(3)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润?
设计意图：
进一步展示现 实生活中两个变量之间的反比例函数关系，激发学生 学习数学的兴趣和强烈的求知欲．
师生行为：
学生亲自动手操作，并在小组内合作交流．
教师巡视学生小组讨论的结果．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生动手操作的能力；
③学生数形结合的意识；
③学生数学建模的意识；
④学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法．
生：(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出了对应点(3，20)，(4，15)，(5，12)，(6，10)．
(2)由下图可猜测此函数为反比例函数图象的一支，设y＝kx ，把点(3，20)代人y＝kx ，得 k＝60．
所以y＝60x ．
把点(4，15)(5，12)(6，10)代人上式均成立．
所以y与x的函数关系式为y＝60x ．
生：(3)物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，即 x≤10，根据y＝60x 在第一象限y随x的增大而减小，所以
60y ≤10，y＞1O，∴1Oy≥60，y≥6．
所以W＝(x－2)y＝(x－2)×60x ＝60－120x
当x＝10时，W有最大值．
即当日销售单价x定为10元时，才能获得最大利润．
师：同学们的分析都很好，除了能用数学模 型刻画现实问题外，还能用数学知识解释生活中的问题．
下面我们再来看又一个生活中的问题．
二、讲授新课
活动2
码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间．
(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨／天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?
设计意图：
进一步分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释是什么?可以看作什么?逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，还应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．
师生行为：
学生先独立思考，然后小组交流合作．
教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系，在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否自己建构函数模型，
②学生能否将函数，方程、不等式的知识联系起来；
③学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志．
师：从题设中，我们不难发现：v和t之间的函数关系，实际上是卸货速度与卸货时间之间的关系．根据卸货速度＝货物的总量÷卸货时间，就可得到v和t的函数关系．但货物的总量题中并未直接告诉，如何求得．
生：中告诉了我们码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间，根据装货速度×装货时间＝货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量，即货物的总量为30×8＝240吨．
师：很好!下面同学们就来自己完成．
生：解 ：(1)设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有：k＝3×80＝240．
所以v与t的函数式为
v＝240t ．
(2)由于遭到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，求平均每天至少卸多少吨货物?即当t≤5时，v至少为多少呢?
由v＝240t 得t＝240v ，
t≤5，所以240v ≤5，
又∵v＞O，所以240≤5v
解得v≥48．
所以船上的货物要在不超过5日内卸载完毕，平均每天至少却4.8吨货物．
生：老师，我认为得出v与t的函数关系后，借助于图象也可以完成第(2)问．
画出v＝240t 在第一象限内的图象(因为t＞O)．如下图．
当t＝5时，代入v＝240t ，得v＝48
根据反比例函数的性质．v＝240t 在第一象限，v随t的增大而减小．所以当0＜t≤5时，v≥48．即若货物不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．
生：我认为还可以用方程来解．
把t＝5代入v＝240t ，得
v＝2405 ＝48，
从结果可以看出，如果全部货物恰好5天卸完，则平均每天要卸货48吨．若货物在不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．
师：同学们的思维非常敏捷，竟想出这么多的办法来解决这个实际问题，太棒了!
我们不妨再来看一个题，肯定能做得更好!
三、巩固提寓
活动3
一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地．
(1)甲、乙两地相距多少千米?
(2)如果汽车把速度提高到v(千米／时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化?
(3)写出t与v之间的函数关系式；
(4)因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?
(5)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间?
设计意图：
本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释，通过两种方法的比较，可以加深对这类问题的理解．
师生行为：
先由学生独立完成，后在小组内讨论交流．
教师可巡视，对“学围生”以适当的帮助．
解 ：(1)50×6＝300(千米)；
(2)t将减小；
(3)t＝300v ；
(4)由题意可知300v ≤5，
∴v≥60(千米／时)；
(5)t＝30080 ＝3.75小时
四、课时小结
本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函 数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么? 可以看到什么?逐步形成考察实际问题的能力，在 解决问题时不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系．
板书设计
活动与探究
某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维修费为[14 (x－1)＋500]元．
(1)如果将该设备从开始投入使用 到报废共付的养护与维修费及购实该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗．请你将每天的平均损耗y(元)表示为使用天数x(天)的函数．
(2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废?
注：在解本题时可能要用到以下两个数学知识点(如果需要可以直接引用下述结论)．
A. 对于任意正整数n，下列等式 一定成立
l＋2＋3＋4＋……＋n＝n(n＋1)2 ；
B．对于确定的正常数a，b以及在正实数范围内取值的变量x，一定有ax＋xb≥
2axxb＝2ab成立．可以看出，2是ab一个常数，也就是说函数y＝ax＋xb有最小值2ab，而且当ax＝xb时，y取得最小值．
解：(1)设该设备投入使用x天，每天的平均损耗为：
(2)y＝500000x＋x8＋49978≥2×500000x?x8＋49978＝99978
当且仅当50000x＝x8 ，即x＝2000时，取等号．
三维目标
一、知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
重点
掌握从实际问题中建构反比例函数模型．
难点
从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注 意分析过程，渗透数形结合的思想．
教具准备
多媒体课件(课本例2“码头卸货”问题)
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
某商场出售一批进价为 2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：
x(元)3456
y(个)20151210
(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)的对应点；
(2)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
(3)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润?
设计意图：
进一步展示现 实生活中两个变量之间的反比例函数关系，激发学生 学习数学的兴趣和强烈的求知欲．
师生行为：
学生亲自动手操作，并在小组内合作交流．
教师巡视学生小组讨论的结果．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生动手操作的能力；
③学生数形结合的意识；
③学生数学建模的意识；
④学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法．
生：(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出了对应点(3，20)，(4，15)，(5，12)，(6，10)．
(2)由下图可猜测此函数为反比例函数图象的一支，设y＝kx ，把点(3，20)代人y＝kx ，得 k＝60．
所以y＝60x ．
把点(4，15)(5，12)(6，10)代人上式均成立．
所以y与x的函数关系式为y＝60x ．
生：(3)物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，即 x≤10，根据y＝60x 在第一象限y随x的增大而减小，所以
60y ≤10，y＞1O，∴1Oy≥60，y≥6．
所以W＝(x－2)y＝(x－2)×60x ＝60－120x
当x＝10时，W有最大值．
即当日销售单价x定为10元时，才能获得最大利润．
师：同学们的分析都很好，除了能用数学模 型刻画现实问题外，还能用数学知识解释生活中的问题．
下面我们再来看又一个生活中的问题．
二、讲授新课
活动2
码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间．
(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨／天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?
设计意图：
进一步分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释是什么?可以看作什么?逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，还应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．
师生行为：
学生先独立思考，然后小组交流合作．
教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系，在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否自己建构函数模型，
②学生能否将函数，方程、不等式的知识联系起来；
③学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志．
师：从题设中，我们不难发现：v和t之间的函数关系，实际上是卸货速度与卸货时间之间的关系．根据卸货速度＝货物的总量÷卸货时间，就可得到v和t的函数关系．但货物的总量题中并未直接告诉，如何求得．
生：中告诉了我们码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间，根据装货速度×装货时间＝货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量，即货物的总量为30×8＝240吨．
师：很好!下面同学们就来自己完成．
生：解 ：(1)设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有：k＝3×80＝240．
所以v与t的函数式为
v＝240t ．
(2)由于遭到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，求平均每天至少卸多少吨货物?即当t≤5时，v至少为多少呢?
由v＝240t 得t＝240v ，
t≤5，所以240v ≤5，
又∵v＞O，所以240≤5v
解得v≥48．
所以船上的货物要在不超过5日内卸载完毕，平均每天至少却4.8吨货物．
生：老师，我认为得出v与t的函数关系后，借助于图象也可以完成第(2)问．
画出v＝240t 在第一象限内的图象(因为t＞O)．如下图．
当t＝5时，代入v＝240t ，得v＝48
根据反比例函数的性质．v＝240t 在第一象限，v随t的增大而减小．所以当0＜t≤5时，v≥48．即若货物不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．
生：我认为还可以用方程来解．
把t＝5代入v＝240t ，得
v＝2405 ＝48，
从结果可以看出，如果全部货物恰好5天卸完，则平均每天要卸货48吨．若货物在不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．
师：同学们的思维非常敏捷，竟想出这么多的办法来解决这个实际问题，太棒了!
我们不妨再来看一个题，肯定能做得更好!
三、巩固提寓
活动3
一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地．
(1)甲、乙两地相距多少千米?
(2)如果汽车把速度提高到v(千米／时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化?
(3)写出t与v之间的函数关系式；
(4)因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?
(5)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间?
设计意图：
本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释，通过两种方法的比较，可以加深对这类问题的理解．
师生行为：
先由学生独立完成，后在小组内讨论交流．
教师可巡视，对“学围生”以适当的帮助．
解 ：(1)50×6＝300(千米)；
(2)t将减小；
(3)t＝300v ；
(4)由题意可知300v ≤5，
∴v≥60(千米／时)；
(5)t＝30080 ＝3.75小时
四、课时小结
本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函 数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么? 可以看到什么?逐步形成考察实际问题的能力，在 解决问题时不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系．
板书设计
活动与探究
某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维修费为[14 (x－1)＋500]元．
(1)如果将该设备从开始投入使用 到报废共付的养护与维修费及购实该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗．请你将每天的平均损耗y(元)表示为使用天数x(天)的函数．
(2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废?
注：在解本题时可能要用到以下两个数学知识点(如果需要可以直接引用下述结论)．
A. 对于任意正整数n，下列等式 一定成立
l＋2＋3＋4＋……＋n＝n(n＋1)2 ；
B．对于确定的正常数a，b以及在正实数范围内取值的变量x，一定有ax＋xb≥
2axxb＝2ab成立．可以看出，2是ab一个常数，也就是说函数y＝ax＋xb有最小值2ab，而且当ax＝xb时，y取得最小值．
解：(1)设该设备投入使用x天，每天的平均损耗为：
(2)y＝500000x＋x8＋49978≥2×500000x?x8＋49978＝99978
当且仅当50000x＝x8 ，即x＝2000时，取等号．
