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专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第五讲 导数及其应用
【最新考纲透析】
1.导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数 的导数。
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3）能求简单的复合函数（仅限于形如 的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题
5．定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。
【核心要点突破】
要点考向1：利用导数研究曲线的切线
考情聚焦：1．利用导数研究曲线 的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。
2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
考向链接：1．导数的几何意义
函数 在 处的导数 的几何意义是：曲线 在点 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数 对时间 的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：
（1）求出函数 在点 的导数，即曲线 在点 处切线的斜率；
（2）在已知切点坐标 和切线斜率的条件下，求得切线方程为 。
注：①当曲线 在点 处的切线平行于 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为 ；
②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。
例1：（2010 ?海南高考?理科T3）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为 ，所以，在点 处的切线斜率 ，所以，切线方程为 ，即 ，故选A.
要点考向2：利用导数研究导数的单调性
考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。
考向链接：利用导数研究函数单调性的一般步骤。
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数 ；
（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数 的定义域内解（或证明）不等式 ＞0或 ＜0。
②若已知 的单调性，则转化为不等式 ≥0或 ≤0在单调区间上恒成立问题求解。
例2：（2010?山东高考文科?Ｔ21）已知函数
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，讨论 的单调性.
【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线 在点 处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.
【规范解答】（1） 当
所以
因此， ,即曲线
又
所以曲线
（2）因为 ,所以 ,令
当 时， 所以
当 时， >0，此时 ，函数 单调递减；
当 时， <0，此时 ，函数 单调递增.
当 时，由 ，
即 ，解得 .
① 当 时， ， 恒成立，此时 ，函数 在（0，+∞）上单调递减;
② 当 时， ，
时， ,此时 ,函数 单调递减
时， <0,此时 ,函数 单调递增
时， ，此时 ，函数 单调递减
③ 当 时，由于 ,
时， ,此时 ,函数 单调递减：
时， <0,此时 ,函数 单调递增.
综上所述：
当 时，函数 在 上单调递减;函数 在 上单调递增
当 时,函数 在 上单调递减
当 时，函数 在 上单调递减；函数 在 上单调递增；
函数 在 上单调递减.
【方法技巧】1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；
(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能.
2、分类讨论的原则
(1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；
(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.
3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；
(4)归纳总结，得出结论.
要点考向3：利用导数研究函数的极值与最值
考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，几乎是近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必用方法。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。
考向链接：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：
（1）确定定义域。（2）求导数 。（3）①或求极值，则先求方程 =0的根，再检验 在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 =0的根的大小或存在情况，从而求解。
2．求函数 的极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例3：（2010?天津高考理科?Ｔ2１）已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当 时，
（III）如果 ，且 ，证明
【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。
【规范解答】
（Ⅰ）解：f’ ，令f’(x)=0,解得x=1，
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
x( )1( )
f’(x)+0-
f(x) 极大值
所以f(x)在( )内是增函数，在( )内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而 ’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)= F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
(Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知， > ,则 = ，所以 > ,从而 > .因为 ，所以 ，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以 > ,即 >2。
要点考向4：利用导数研究函数的图象
考情聚焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。
例4：（2010?福建高考理科?Ｔ20）(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线C.
（i）求函数f(x)的单调区间；
(ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P2（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3 f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则 为定值：
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a 0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。
【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。
【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解 及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。
【规范解答】（Ⅰ) (i) ，令 得到 ，令 有 ，因此原函数的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 ；
(ii) ， ， ，因此过点 的切线方程为： ，即 ，由 得 ，所以 或 ，故 ，进而有 ，用 代替 ，重复上面的计算，可得 和 ，又 ， ，因此有 。
（Ⅱ）【命题】若对于任意函数 的图像为曲线 ，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于 的实数 ，曲线与其在点 处的切线交于另一点 ，曲线 与其在点 处的切线交于另外一点 ，线段 、 与曲线 所围成面积为 ，则 。
【证明】对于曲线 ，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑 的情形， ， ， ，因此过点 的切线方程为：
，联立 ，得到： ，
化简：得到
从而 所以 同样运用(i)中方法便可以得到
所以 。
【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。
【高考真题探究】
1.（2010?全国高考卷Ⅱ文科?Ｔ7）若曲线 在点 处的切线方程是 ，则
（A） (B)
(C) (D)
【命题立意】本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程知识。
【思路点拨】由题意知， 曲线 在点 处的切线的斜率为1，根据导数的几何意义得y在x=0
处的导数为1，再把（0，b）代入切线方程可以解出a 、b的值。
【规范解答】 选A， , 在点 处的切线方程是 。
斜率为1，所以 ,所以 .
2．（2010?江西高考理科?Ｔ１２）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 ，则导函数 的图像大致为
【命题立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力．
【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法；也可先求面积的函数，再求其导数，最后结合图像进行判断.
【规 范解答】选A．方法一：在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段的变化趋势相同，只有选项A、C符合要求，从而先排除B、D，在第二段变化中，面积的增长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项C，故选A.
方法二：设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离为1，且设 ，则依据题意可得：
其导函数 故选A .
【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中考查较多.
3．（2010?全国高考卷Ⅱ理科?Ｔ10）若曲线 在点 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 [来
（A）64 （B） 32 （C）16 （D）8
【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三角形的面积。
【规范解答】选A， 所以曲线 在点 处的切线：
所以，
【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1）“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率。（2）“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，
故应先设切点，再求切点坐标。
4．（2010?北京高考理科?Ｔ１8）已知函数 ( )=In(1+ )- + ， ( ≥0)。
(Ⅰ)当 =2时，求曲线 = ( )在点(1， (1))处的切线方程；
(Ⅱ)求 ( )的单调区间。
【命题立意】本题考查了导数的应用，考 查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。
【思路点拨】（1）求出 ，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由 讨论 的正负，从而确定单调区间。
【规范解答】（I）当 时， ，
由于 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为
即
（II） ， .
当 时， .
所以，在区间 上， ；在区间 上， .
故 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
当 时，由 ，得 ，
所以，在区间 和 上， ；在区间 上，
故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .
当 时，
故 的单调递增区间是 .
当 时， ，得 ， .
所以在区间 和 上， ；在区间 上，
故 得单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
【方法技巧】
（1） 过 的切线方程为 。
（2）求单调区间时要在定义域内讨论 内的正负。
5．（2010?全国高考卷Ⅱ理科?Ｔ22）设函数 ．
（Ⅰ）证明：当 时， ；
（Ⅱ）设当 时， ，求a的取值范围．
【命题立意】本题考查了导数的单调性、极值等知识，结合不等式考查推理论证能力、运算求解能力，
考查分类讨论思想、化归与转化思想。
【思路点拨】（Ⅰ）可以构造函数，利用导数单调性，求当 时的最值证明不等式成立，
（Ⅱ）可结合（Ⅰ）的结论和方法证明，要注意对a分类讨论.
【规范解答】（Ⅰ）当 时， 当且仅当
令 ， 则
当 时， 是增函数； 当 时， 是减函数；
于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当 时， 即
所以当x> -1时，
（Ⅱ）由题设 ，此时
当a<0时，若 ，则 不成立；
当a 0时， 令 h(x)=axf(x)+f(x)-x ，则 .当且仅当
⑴当 时，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在 是减函数， 即
⑵当a> 时，由⑴知x
当 时， 所以h(x)>h(0)=0，即
综上，a的取值范围是[0, .
6．（2010?江苏高考?Ｔ20）设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 。如果存在实数 和函数 ，其中 对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 。
(1)设函数 ，其中 为实数。
(i)求证：函数 具有性质 ； (ii)求函数 的单调区间。
(2)已知函数 具有性质 ，给定 设 为实数，
， ，且 ，
若 < ，求 的取值范围。
【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
【思路点拨】(1)求出 ，并将其表示为 的形式，注意 .
(2)利用一的结论求解。
【规范解答】
（1）(i)
∵ 时， 恒成立，
∴函数 具有性质 ；
(ii)（方法一）设 ， 与 的符号相同。
当 时， ， ，故此时 在区间 上递增；
当 时，对于 ，有 ，所以此时 在区间 上递增；
当 时， 图像开口向上，对称轴 ，而 ，所以当x>1时 ，所以此时 在区间 上递增；
当 时， 图像开口向上，对称轴 ，方程 的两根为： ，而
当 时， ， ，故此时 在区间 上递减；同理得： 在区间 上 递增。
综上所述，当 时， 在区间 上递增；
当 时， 在 上递减； 在 上递增。
（方法二）当 时，对于 ，
所以 ，故此时 在区间 上递增；
当 时， 图像开口向上，对称轴 ，方程 的两根为： ，而
当 时， ， ，故此时 在区间 上递减；同理得： 在区间 上递增。
综上所述，当 时， 在区间 上递增；
当 时， 在 上递减； 在 上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又 对任意的 都有 >0，
所以对任意的 都有 ， 在 上递增。
又 。
当 时， ，且 ，
若 ，∴ ，（不合题意）。
综合以上讨论，得所求 的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知， 的导函数 ，其中函数 对于任意的 都成立。所以，当 时， ，从而 在区间 上单调递增。
①当 时，有 ，
，得 ，同理可得 ，所以由 的单调性知 、 ，
从而有 < ，符合题设。
②当 时， ，
，于是由 及 的单调性知 ，所以 ≥ ，与题设不符。
③当 时，同理可得 ，进而得 ≥ ，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的 的取值范围是（0，1）
【跟踪模拟训练】
一、选择题（共6小题，每小题6分，总分36分）
1.若函数 在R上可导，且 ，则（C）
A． B． C． D．无法确定
2．函数 在定义域 内可导，若 ，且当 时， ，设 ， ， ，则（D）
A． B． C． D．
3．设函数 在 上可导，且 ，则当 时有(A)
A． B．
C． D．
4．设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图像如右图所示，则y=f(x)的图像最有可能的是（ C）
5． 在区间 上的最大值是（ C ）
A． B．0C．2D．4
6．如图，函数 的图象在点P处的切线是 ，则 =（ C ）．
A． B．0C． D．不确定
二、填空题（共3小题，每小题6分，总分18分）
7．过原点作函数 的图像的切线，则切点坐标是
8．函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1, ，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________
9．函数 的单调减区间为 。
三、解答题（10、11小题各15分，12题16分）
10．已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1 )求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
11．（2010?安徽安庆高三二模（文））已知函数 .
⑴当 时，求函数 的最小值；
⑵若 在 上是单调函数，求 的取值范围.
12．（2010届?北京市朝阳区高三一模（文））已知函数 ， ．
（Ⅰ）若函数 在 处取得极值，试求 的值，并求 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，若函数 在 上存在单调递增区间，求 的取值范围．
参考答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．C
7．
8．【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由 ，即可求得切线与x轴交点的横 坐标。
【规范解答】由y=x2(x>0)得， ，
所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：
当 时，解得 ，
所以 .
【答案】21
9．【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
，
由 得单调减区间为 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
【答案】
10．【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a<0时，对x∈R有f′(x)>0.
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,
由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值
f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，又f(-3)=
-19<-3.f(3)=17>1,结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是
(-3,1).
11．解析：（1）当 时，
………2分
令 得 或 （ ，舍去负值）。 ……… 3分
函数 及导数 的变化情况如下表：
∴当 时，函数 的最小值是 ……… 6分
（2） ， ………7分
令
要使 在 上为单调函数，只需对 ，都有 或
，∴ ，∴ ………8分
①当 时， 恒成立即 恒成立； ……… 10分
②当 时， ，∴ ，∴ 恒成立；……12分
综上所述：当 时， 在 上为单调函数 ………13分
12．解析：（Ⅰ） = .
因为函数 在 处取得极值，所以 ，解得 .
于是函数 ， , .
函数 在点 处的切线的斜率 ，
则 在点 处的切线方程为 . …………………………6分
（Ⅱ）当 时， 是开口向下的抛物线，要使 在 上存在子区间使 ，应满足 或
解得 ，或 ，所以 的取值范围是 ．……14分
【备课资源】
1．（2008全国Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【解 析】选A. ，于是切线的斜率 ，∴有
2.（2009?江西高考）设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点 （1，f(1)）处切线的斜率为( )
【解析】选A.由已知g′(1)=2,而f′（x）=g′(x)+2x,
所以f′(1)=g′(1)+2×1=4.
3.若函数y=f(x)的导函数在区间［a,b］上是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是( )
【解析】选A.因为函数y=f(x)的导函数y=f′(x)在区间［a,b］上是增函数，即在区间［a,b］上各点处的斜率k是递增的，由图易知，选A.
4.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈(- , )时,f(x)=x+sinx,则（ ）
(A)f(1)(B)f(2)(C)f(3)(D)f(3)
5.函数f(x)=x3+3ax2+3［(a+2)x+1］有极大值又有极小值,则a的取值范围是________.
【解析】f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若f(x)既有极大值,又有极小值,则f′(x)=0 有两个不等的实根,
即Δ=(6a) 2-4×3×3(a+2)>0,a2-a-2>0,
解得a>2或a<-1.
答案:{aa<-1或a>2}
6.（2009?马鞍山模拟）由直线x=1,x=2,曲线y=sinx及x轴所围图形的面积为_________.
【解析】由已知方程
=cos1-(2cos21-1)=1+cos1-2cos21
答案：1+cos1-2cos21
7.已知函数
(1)求 的导数 ;
(2)求证:不等式sin3x＞x3cosx在(0, ]上恒成立;
(3)求 的最大值.
9.（2009?马鞍山模拟）已知函数f(x)= x2-alnx,
（1）若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值；
（2）若函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，求 实数a的取值范围;
（3）讨论方程f(x)=0解的个数，并说明理由.
【解析】(1)∵f′(2)=1,∴a=2，
∵(2,f(2))在直线y=x+b上，
∴b=f(2)-2=2-2ln2-2=-2ln2.
10.（2009?芜湖模拟）若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：
f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l：y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(其中e为自然对数的底数).
(1)求F（x)=h(x)-φ(x)的极值;
(2)函数h(x)和φ(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由.
11.（2009?山东高考）已知函数f(x)= ax3+bx2+x+3,其中a≠0.
(1)当a,b满足什么条件时，f(x)取得极值?
(2)已知a>0.且f(x)在区间(0,1］上单调递增，试用a表示出b的取值范围.
【解析】(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1，令f′(x)=0得ax2+2bx+1=0.
若f(x)可取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解，其中Δ=4b2-4a.
当Δ=(2b)2-4a≤0时无极值.
当Δ=(2b)2-4a>0，即b2>a时.
f′(x)=ax2+2bx+1=0有两个不同的解，即
因此f′(x)=a(x-x1)(x-x2),
①当a＞0时,f(x),f’(x)随x的变化情况如下表:
由此表可知f(x)在点x1,x2处分别取得极大值和极小值.
②当a＜0时, f(x),f’(x)随x的变化情况如下表:
由此表可知f(x)在点x1,x2处分别取得极大值和极小值.
综上所述,当a和b满足b2＞a时,f(x)能取得极值.
专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第五讲 导数及其应用
【最新考纲透析】
1.导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数 的导数。
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3）能求简单的复合函数（仅限于形如 的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题
5．定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。
【核心要点突破】
要点考向1：利用导数研究曲线的切线
考情聚焦：1．利用导数研究曲线 的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。
2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
考向链接：1．导数的几何意义
函数 在 处的导数 的几何意义是：曲线 在点 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数 对时间 的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：
（1）求出函数 在点 的导数，即曲线 在点 处切线的斜率；
（2）在已知切点坐标 和切线斜率的条件下，求得切线方程为 。
注：①当曲线 在点 处的切线平行于 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为 ；
②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。
例1：（2010 ?海南高考?理科T3）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为 ，所以，在点 处的切线斜率 ，所以，切线方程为 ，即 ，故选A.
要点考向2：利用导数研究导数的单调性
考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。
考向链接：利用导数研究函数单调性的一般步骤。
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数 ；
（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数 的定义域内解（或证明）不等式 ＞0或 ＜0。
②若已知 的单调性，则转化为不等式 ≥0或 ≤0在单调区间上恒成立问题求解。
例2：（2010?山东高考文科?Ｔ21）已知函数
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，讨论 的单调性.
【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线 在点 处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.
【规范解答】（1） 当
所以
因此， ,即曲线
又
所以曲线
（2）因为 ,所以 ,令
当 时， 所以
当 时， >0，此时 ，函数 单调递减；
当 时， <0，此时 ，函数 单调递增.
当 时，由 ，
即 ，解得 .
① 当 时， ， 恒成立，此时 ，函数 在（0，+∞）上单调递减;
② 当 时， ，
时， ,此时 ,函数 单调递减
时， <0,此时 ,函数 单调递增
时， ，此时 ，函数 单调递减
③ 当 时，由于 ,
时， ,此时 ,函数 单调递减：
时， <0,此时 ,函数 单调递增.
综上所述：
当 时，函数 在 上单调递减;函数 在 上单调递增
当 时,函数 在 上单调递减
当 时，函数 在 上单调递减；函数 在 上单调递增；
函数 在 上单调递减.
【方法技巧】1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；
(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能.
2、分类讨论的原则
(1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；
(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.
3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；
(4)归纳总结，得出结论.
要点考向3：利用导数研究函数的极值与最值
考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，几乎是近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必用方法。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。
考向链接：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：
（1）确定定义域。（2）求导数 。（3）①或求极值，则先求方程 =0的根，再检验 在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 =0的根的大小或存在情况，从而求解。
2．求函数 的极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例3：（2010?天津高考理科?Ｔ2１）已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当 时，
（III）如果 ，且 ，证明
【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。
【规范解答】
（Ⅰ）解：f’ ，令f’(x)=0,解得x=1，
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
x( )1( )
f’(x)+0-
f(x) 极大值
所以f(x)在( )内是增函数，在( )内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而 ’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)= F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
(Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知， > ,则 = ，所以 > ,从而 > .因为 ，所以 ，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以 > ,即 >2。
要点考向4：利用导数研究函数的图象
考情聚焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。
例4：（2010?福建高考理科?Ｔ20）(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线C.
（i）求函数f(x)的单调区间；
(ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P2（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3 f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则 为定值：
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a 0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。
【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。
【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解 及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。
【规范解答】（Ⅰ) (i) ，令 得到 ，令 有 ，因此原函数的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 ；
(ii) ， ， ，因此过点 的切线方程为： ，即 ，由 得 ，所以 或 ，故 ，进而有 ，用 代替 ，重复上面的计算，可得 和 ，又 ， ，因此有 。
（Ⅱ）【命题】若对于任意函数 的图像为曲线 ，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于 的实数 ，曲线与其在点 处的切线交于另一点 ，曲线 与其在点 处的切线交于另外一点 ，线段 、 与曲线 所围成面积为 ，则 。
【证明】对于曲线 ，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑 的情形， ， ， ，因此过点 的切线方程为：
，联立 ，得到： ，
化简：得到
从而 所以 同样运用(i)中方法便可以得到
所以 。
【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。
【高考真题探究】
1.（2010?全国高考卷Ⅱ文科?Ｔ7）若曲线 在点 处的切线方程是 ，则
（A） (B)
(C) (D)
【命题立意】本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程知识。
【思路点拨】由题意知， 曲线 在点 处的切线的斜率为1，根据导数的几何意义得y在x=0
处的导数为1，再把（0，b）代入切线方程可以解出a 、b的值。
【规范解答】 选A， , 在点 处的切线方程是 。
斜率为1，所以 ,所以 .
2．（2010?江西高考理科?Ｔ１２）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 ，则导函数 的图像大致为
【命题立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力．
【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法；也可先求面积的函数，再求其导数，最后结合图像进行判断.
【规 范解答】选A．方法一：在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段的变化趋势相同，只有选项A、C符合要求，从而先排除B、D，在第二段变化中，面积的增长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项C，故选A.
方法二：设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离为1，且设 ，则依据题意可得：
其导函数 故选A .
【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中考查较多.
3．（2010?全国高考卷Ⅱ理科?Ｔ10）若曲线 在点 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 [来
（A）64 （B） 32 （C）16 （D）8
【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三角形的面积。
【规范解答】选A， 所以曲线 在点 处的切线：
所以，
【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1）“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率。（2）“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，
故应先设切点，再求切点坐标。
4．（2010?北京高考理科?Ｔ１8）已知函数 ( )=In(1+ )- + ， ( ≥0)。
(Ⅰ)当 =2时，求曲线 = ( )在点(1， (1))处的切线方程；
(Ⅱ)求 ( )的单调区间。
【命题立意】本题考查了导数的应用，考 查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。
【思路点拨】（1）求出 ，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由 讨论 的正负，从而确定单调区间。
【规范解答】（I）当 时， ，
由于 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为
即
（II） ， .
当 时， .
所以，在区间 上， ；在区间 上， .
故 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
当 时，由 ，得 ，
所以，在区间 和 上， ；在区间 上，
故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .
当 时，
故 的单调递增区间是 .
当 时， ，得 ， .
所以在区间 和 上， ；在区间 上，
故 得单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
【方法技巧】
（1） 过 的切线方程为 。
（2）求单调区间时要在定义域内讨论 内的正负。
5．（2010?全国高考卷Ⅱ理科?Ｔ22）设函数 ．
（Ⅰ）证明：当 时， ；
（Ⅱ）设当 时， ，求a的取值范围．
【命题立意】本题考查了导数的单调性、极值等知识，结合不等式考查推理论证能力、运算求解能力，
考查分类讨论思想、化归与转化思想。
【思路点拨】（Ⅰ）可以构造函数，利用导数单调性，求当 时的最值证明不等式成立，
（Ⅱ）可结合（Ⅰ）的结论和方法证明，要注意对a分类讨论.
【规范解答】（Ⅰ）当 时， 当且仅当
令 ， 则
当 时， 是增函数； 当 时， 是减函数；
于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当 时， 即
所以当x> -1时，
（Ⅱ）由题设 ，此时
当a<0时，若 ，则 不成立；
当a 0时， 令 h(x)=axf(x)+f(x)-x ，则 .当且仅当
⑴当 时，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在 是减函数， 即
⑵当a> 时，由⑴知x
当 时， 所以h(x)>h(0)=0，即
综上，a的取值范围是[0, .
6．（2010?江苏高考?Ｔ20）设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 。如果存在实数 和函数 ，其中 对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 。
(1)设函数 ，其中 为实数。
(i)求证：函数 具有性质 ； (ii)求函数 的单调区间。
(2)已知函数 具有性质 ，给定 设 为实数，
， ，且 ，
若 < ，求 的取值范围。
【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
【思路点拨】(1)求出 ，并将其表示为 的形式，注意 .
(2)利用一的结论求解。
【规范解答】
（1）(i)
∵ 时， 恒成立，
∴函数 具有性质 ；
(ii)（方法一）设 ， 与 的符号相同。
当 时， ， ，故此时 在区间 上递增；
当 时，对于 ，有 ，所以此时 在区间 上递增；
当 时， 图像开口向上，对称轴 ，而 ，所以当x>1时 ，所以此时 在区间 上递增；
当 时， 图像开口向上，对称轴 ，方程 的两根为： ，而
当 时， ， ，故此时 在区间 上递减；同理得： 在区间 上 递增。
综上所述，当 时， 在区间 上递增；
当 时， 在 上递减； 在 上递增。
（方法二）当 时，对于 ，
所以 ，故此时 在区间 上递增；
当 时， 图像开口向上，对称轴 ，方程 的两根为： ，而
当 时， ， ，故此时 在区间 上递减；同理得： 在区间 上递增。
综上所述，当 时， 在区间 上递增；
当 时， 在 上递减； 在 上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又 对任意的 都有 >0，
所以对任意的 都有 ， 在 上递增。
又 。
当 时， ，且 ，
若 ，∴ ，（不合题意）。
综合以上讨论，得所求 的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知， 的导函数 ，其中函数 对于任意的 都成立。所以，当 时， ，从而 在区间 上单调递增。
①当 时，有 ，
，得 ，同理可得 ，所以由 的单调性知 、 ，
从而有 < ，符合题设。
②当 时， ，
，于是由 及 的单调性知 ，所以 ≥ ，与题设不符。
③当 时，同理可得 ，进而得 ≥ ，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的 的取值范围是（0，1）
【跟踪模拟训练】
一、选择题（共6小题，每小题6分，总分36分）
1.若函数 在R上可导，且 ，则（C）
A． B． C． D．无法确定
2．函数 在定义域 内可导，若 ，且当 时， ，设 ， ， ，则（D）
A． B． C． D．
3．设函数 在 上可导，且 ，则当 时有(A)
A． B．
C． D．
4．设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图像如右图所示，则y=f(x)的图像最有可能的是（ C）
5． 在区间 上的最大值是（ C ）
A． B．0C．2D．4
6．如图，函数 的图象在点P处的切线是 ，则 =（ C ）．
A． B．0C． D．不确定
二、填空题（共3小题，每小题6分，总分18分）
7．过原点作函数 的图像的切线，则切点坐标是
8．函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1, ，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________
9．函数 的单调减区间为 。
三、解答题（10、11小题各15分，12题16分）
10．已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1 )求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
11．（2010?安徽安庆高三二模（文））已知函数 .
⑴当 时，求函数 的最小值；
⑵若 在 上是单调函数，求 的取值范围.
12．（2010届?北京市朝阳区高三一模（文））已知函数 ， ．
（Ⅰ）若函数 在 处取得极值，试求 的值，并求 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，若函数 在 上存在单调递增区间，求 的取值范围．
参考答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．C
7．
8．【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由 ，即可求得切线与x轴交点的横 坐标。
【规范解答】由y=x2(x>0)得， ，
所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：
当 时，解得 ，
所以 .
【答案】21
9．【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
，
由 得单调减区间为 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
【答案】
10．【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a<0时，对x∈R有f′(x)>0.
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,
由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值
f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，又f(-3)=
-19<-3.f(3)=17>1,结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是
(-3,1).
11．解析：（1）当 时，
………2分
令 得 或 （ ，舍去负值）。 ……… 3分
函数 及导数 的变化情况如下表：
∴当 时，函数 的最小值是 ……… 6分
（2） ， ………7分
令
要使 在 上为单调函数，只需对 ，都有 或
，∴ ，∴ ………8分
①当 时， 恒成立即 恒成立； ……… 10分
②当 时， ，∴ ，∴ 恒成立；……12分
综上所述：当 时， 在 上为单调函数 ………13分
12．解析：（Ⅰ） = .
因为函数 在 处取得极值，所以 ，解得 .
于是函数 ， , .
函数 在点 处的切线的斜率 ，
则 在点 处的切线方程为 . …………………………6分
（Ⅱ）当 时， 是开口向下的抛物线，要使 在 上存在子区间使 ，应满足 或
解得 ，或 ，所以 的取值范围是 ．……14分
【备课资源】
1．（2008全国Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【解 析】选A. ，于是切线的斜率 ，∴有
2.（2009?江西高考）设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点 （1，f(1)）处切线的斜率为( )
【解析】选A.由已知g′(1)=2,而f′（x）=g′(x)+2x,
所以f′(1)=g′(1)+2×1=4.
3.若函数y=f(x)的导函数在区间［a,b］上是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是( )
【解析】选A.因为函数y=f(x)的导函数y=f′(x)在区间［a,b］上是增函数，即在区间［a,b］上各点处的斜率k是递增的，由图易知，选A.
4.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈(- , )时,f(x)=x+sinx,则（ ）
(A)f(1)
5.函数f(x)=x3+3ax2+3［(a+2)x+1］有极大值又有极小值,则a的取值范围是________.
【解析】f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若f(x)既有极大值,又有极小值,则f′(x)=0 有两个不等的实根,
即Δ=(6a) 2-4×3×3(a+2)>0,a2-a-2>0,
解得a>2或a<-1.
答案:{aa<-1或a>2}
6.（2009?马鞍山模拟）由直线x=1,x=2,曲线y=sinx及x轴所围图形的面积为_________.
【解析】由已知方程
=cos1-(2cos21-1)=1+cos1-2cos21
答案：1+cos1-2cos21
7.已知函数
(1)求 的导数 ;
(2)求证:不等式sin3x＞x3cosx在(0, ]上恒成立;
(3)求 的最大值.
9.（2009?马鞍山模拟）已知函数f(x)= x2-alnx,
（1）若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值；
（2）若函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，求 实数a的取值范围;
（3）讨论方程f(x)=0解的个数，并说明理由.
【解析】(1)∵f′(2)=1,∴a=2，
∵(2,f(2))在直线y=x+b上，
∴b=f(2)-2=2-2ln2-2=-2ln2.
10.（2009?芜湖模拟）若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：
f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l：y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(其中e为自然对数的底数).
(1)求F（x)=h(x)-φ(x)的极值;
(2)函数h(x)和φ(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由.
11.（2009?山东高考）已知函数f(x)= ax3+bx2+x+3,其中a≠0.
(1)当a,b满足什么条件时，f(x)取得极值?
(2)已知a>0.且f(x)在区间(0,1］上单调递增，试用a表示出b的取值范围.
【解析】(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1，令f′(x)=0得ax2+2bx+1=0.
若f(x)可取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解，其中Δ=4b2-4a.
当Δ=(2b)2-4a≤0时无极值.
当Δ=(2b)2-4a>0，即b2>a时.
f′(x)=ax2+2bx+1=0有两个不同的解，即
因此f′(x)=a(x-x1)(x-x2),
①当a＞0时,f(x),f’(x)随x的变化情况如下表:
由此表可知f(x)在点x1,x2处分别取得极大值和极小值.
②当a＜0时, f(x),f’(x)随x的变化情况如下表:
由此表可知f(x)在点x1,x2处分别取得极大值和极小值.
综上所述,当a和b满足b2＞a时,f(x)能取得极值.
