第1讲 指数与指数函数
一．知识归纳
1、整数指数幂的运算性质：
(1)
(2) 根式：
（3）分数指数幂 ；
分数指数幂的运算性质：
2、指数函数y=ax的图象与性质
指数函数
一般形式Y=ax (a>0且a≠1)
定义域(-∞,+ ∞)
值域(0,+ ∞)
过定点（０，1）
图 象
单调性a>1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数
值分布y>1 ? y<1?
二、题型讲解
题型一．指数式的运算
例1（1）化简
（2）若 ，求 的值；
解：（1）原式= ；（2）原式= ；
题型二．指数函数的图像及性质的应用
例2.（2011北京理）若函数 则不等式 的解集为____________.
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
（1）由 .
（2）由 .
∴不等式 的解集为 ，∴应填 .
练习1.（2011北京文）已知函数 若 ，则 .
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 的值. 属于基础知识、基本运算的考查.
由 ， 无解，故应填 .
练习2.（2011江苏卷）已知 ，函数 ，若实数 、 满足 ，则 、 的大小关系为 .
【解析】考查指数函数的单调性。
，函数 在R上递减。由 得：m例3.(2011年广东卷文)函数 的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
【答案】D
【解析】 ,令 ,解得 ,故选D
例4、若直线y=2a与函数 的图像有两个公共点，则a的取值范围是 ；
解：
题型3．利用图象比较值的大小
例6 比较 的大小．
题型三、指数函数的综合问题
例7（08江苏20）若 ， ， 为常数，且
求 对所有实数 成立的充要条件（用 表示）
【解析】：本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用。
恒成立
（*）
若 ，则（*） ，显然成立；若 ，记
当 时，
所以 ，故只需 。
当 时，
所以 ，故只需 。
综上所述， 对所有实数 成立的充要条件是
课后作业：《走向高考》
作业:
1.化简
（1） 答案：
（2） 答案：45
2.已知 求
3.若关于x的方程 有实数根，求m的取值范围
备用：已知函数 , 的定义域这区间[-1,1]
(1)求g(x)的解析式；
(2)判断g(x)的单调性；
(3)若方程g(x)=m有解,求m的取值范围.
解：:(1) ,
(2) .当 令 .
由二次函数的单调性 是减函数.
∴函数g(x)在[-1,1]上是减函数.
(3) 由(2)知 ,则方程g(x)=m有解 .在[-1,1]内有解；
一．知识归纳
1、整数指数幂的运算性质：
(1)
(2) 根式：
（3）分数指数幂 ；
分数指数幂的运算性质：
2、指数函数y=ax的图象与性质
指数函数
一般形式Y=ax (a>0且a≠1)
定义域(-∞,+ ∞)
值域(0,+ ∞)
过定点（０，1）
图 象
单调性a>1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数
值分布y>1 ? y<1?
二、题型讲解
题型一．指数式的运算
例1（1）化简
（2）若 ，求 的值；
解：（1）原式= ；（2）原式= ；
题型二．指数函数的图像及性质的应用
例2.（2011北京理）若函数 则不等式 的解集为____________.
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
（1）由 .
（2）由 .
∴不等式 的解集为 ，∴应填 .
练习1.（2011北京文）已知函数 若 ，则 .
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 的值. 属于基础知识、基本运算的考查.
由 ， 无解，故应填 .
练习2.（2011江苏卷）已知 ，函数 ，若实数 、 满足 ，则 、 的大小关系为 .
【解析】考查指数函数的单调性。
，函数 在R上递减。由 得：m
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
【答案】D
【解析】 ,令 ,解得 ,故选D
例4、若直线y=2a与函数 的图像有两个公共点，则a的取值范围是 ；
解：
题型3．利用图象比较值的大小
例6 比较 的大小．
题型三、指数函数的综合问题
例7（08江苏20）若 ， ， 为常数，且
求 对所有实数 成立的充要条件（用 表示）
【解析】：本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用。
恒成立
（*）
若 ，则（*） ，显然成立；若 ，记
当 时，
所以 ，故只需 。
当 时，
所以 ，故只需 。
综上所述， 对所有实数 成立的充要条件是
课后作业：《走向高考》
作业:
1.化简
（1） 答案：
（2） 答案：45
2.已知 求
3.若关于x的方程 有实数根，求m的取值范围
备用：已知函数 , 的定义域这区间[-1,1]
(1)求g(x)的解析式；
(2)判断g(x)的单调性；
(3)若方程g(x)=m有解,求m的取值范围.
解：:(1) ,
(2) .当 令 .
由二次函数的单调性 是减函数.
∴函数g(x)在[-1,1]上是减函数.
(3) 由(2)知 ,则方程g(x)=m有解 .在[-1,1]内有解；
