§1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质
【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．
1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．
2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．
用符号表示为：P∈αP∈β?α∩β＝l且P∈l．
3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．
(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面．
(2)推论2 经过____________，有且只有一个平面．
(3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．
一、填空题
1．下列命题：
①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为________．
2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系用符号可记作____________．
3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．
4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．
①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β；
②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN；
③A∈α，A∈β?α∩β＝A；
④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合．
5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)
①两条直线； ②一点和一直线；
③一个三角形； ④三个点．
6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．
7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．
(1)AD/∈α，a?α________．
(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．
(3)a?α，a∩α＝A________．
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．
8．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．
9．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
二、解答题
10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
能力提升
12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．
求证：(1)C1、O、M三点共线；
(2)E、C、D1、F四点共面；
(3)CE、D1F、DA三线共点．
1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．
2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．
3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．
§1．2 点、线、面之间的位置关系
1．2．1 平面的基本性质
答案
知识梳理
1．两点 A∈αB∈α?AB?α
2．两个平面有一个公共点 一条直线
3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线
作业设计
1．1
解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．
2．M∈b?β 3．1,2或3
4．③
解析 ∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．
故α∩β＝A的写法错误．
5．③
6．1或4
解析 四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．
7．(1)C (2)D (3)A (4)B
8．A∈m
解析 因为α∩β＝m，A∈a?α，所以A∈α，
同理A∈β，故A在α与β的交线m上．
9．③
10．解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC?平面SAC，
∴E∈平面SAC．
同理，可证E∈平面SBD．
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
11．证明 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
12．证明
∵l1?β，l2?β，l1 l2，
∴l1∩l2交于一点，记交点为P．
∵P∈l1?β，P∈l2?γ，
∴P∈β∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3交于一点．
13．证明 (1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，
∴EF∥A1B．
∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．
∴E、C、D1、F四点共面．
(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．
又∵EF＝12A1B．
∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．
则P∈D1F?平面ADD1A1，
P∈CE?平面ADCB．
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．
∴CE、D1F、DA三线共点．
1.2.1 平面的基本性质
【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．
1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．
2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．
用符号表示为：P∈αP∈β?α∩β＝l且P∈l．
3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．
(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面．
(2)推论2 经过____________，有且只有一个平面．
(3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．
一、填空题
1．下列命题：
①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为________．
2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系用符号可记作____________．
3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．
4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．
①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β；
②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN；
③A∈α，A∈β?α∩β＝A；
④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合．
5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)
①两条直线； ②一点和一直线；
③一个三角形； ④三个点．
6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．
7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．
(1)AD/∈α，a?α________．
(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．
(3)a?α，a∩α＝A________．
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．
8．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．
9．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
二、解答题
10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
能力提升
12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．
求证：(1)C1、O、M三点共线；
(2)E、C、D1、F四点共面；
(3)CE、D1F、DA三线共点．
1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．
2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．
3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．
§1．2 点、线、面之间的位置关系
1．2．1 平面的基本性质
答案
知识梳理
1．两点 A∈αB∈α?AB?α
2．两个平面有一个公共点 一条直线
3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线
作业设计
1．1
解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．
2．M∈b?β 3．1,2或3
4．③
解析 ∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．
故α∩β＝A的写法错误．
5．③
6．1或4
解析 四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．
7．(1)C (2)D (3)A (4)B
8．A∈m
解析 因为α∩β＝m，A∈a?α，所以A∈α，
同理A∈β，故A在α与β的交线m上．
9．③
10．解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC?平面SAC，
∴E∈平面SAC．
同理，可证E∈平面SBD．
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
11．证明 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
12．证明
∵l1?β，l2?β，l1 l2，
∴l1∩l2交于一点，记交点为P．
∵P∈l1?β，P∈l2?γ，
∴P∈β∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3交于一点．
13．证明 (1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，
∴EF∥A1B．
∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．
∴E、C、D1、F四点共面．
(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．
又∵EF＝12A1B．
∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．
则P∈D1F?平面ADD1A1，
P∈CE?平面ADCB．
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．
∴CE、D1F、DA三线共点．
