第五章 相交线与平行线
本章小结
小结1 本章概述
本章的主要内容是两条直线的位置关系 相交与平行.特别是垂直和平行关系是平面几何所要研究的基本内容之一.这一章的内容是很重要的基本知识，是几何学习的重要阶段，要引起高度重视.教材在给出对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的基础上又给出了对顶角、邻补角的性质、垂线的基本性质和平行线的判定和性质，最后给出平移的概念、性质以及利用平移绘制图案．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】了解对顶角、余角、补角的概念；掌握等角的余角相等，等角的补角相等；掌握垂线、垂线段的概念；知道两条直线平行，同位角相等以及同位角相等，两直线平行，进一步探索平行线的性质和判定.
【本章难点】掌握垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义；通过具体实例认识平移；能按要求作出简单平面图形平移后的图形，利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用．
小结3 中考透视
中考所考查的内容主要体现在以下几个方面：
1. 对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的理解，对顶角、邻补角以及垂线性质的应用，包括实际应用.
2. 同位角、内错角、同旁内角的含义，能由线找出角、由角说出线.
3. 平行线的识别与特征，以及在实际问题中的应用.
4. 简单命题的证明．
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 有关基本图形的问题
【专题解读】 本章中主要考查数图形的个数问题，构造基本图形以及基本图形的组合，如平行线与角平分线的组合，平行线与平行线的组合等.
例1 如图5-132所示，直线AB,CD,EF都经过点O，图中共有几对对顶角？
分析 数基本图形不能重复，不能遗漏.我们知道两条直线相交有两对对顶角，图中有3组两条直线相交，故对顶角有2×3=6（对）.
解：共有6对对顶角.
【解题策略】 数图形个数及书写时，应注意顺序性，这样不易重复和遗漏.
例2 如图5-133所示，图中共有几对同旁内角？
分析 我们知道两条直线被第三条直线所截共形成八个角，其中有两对同旁内角.图形中有两个“三线八角”，即CD,EF被GH所截，形成两对同旁内角，AB,EF被GH所截，又形成两对同旁内角，所以共有4对同旁内角.
解：图中共有4对同旁内角.
【解题策略】 注意观察同旁内角的特点.
例3 如图5-134所示，AB∥CD,P为AB,CD之间的一点，已知∠1=32°，∠2=25°，求∠BPC的度数.
分析 此图不是我们所学的“三线八角”的基本图形，需添加一些线（辅助线）把它们转化成我们熟悉的基本图形.
解：如图5-134所示，过点P作射线PN∥AB.
因为AB∥CD(已知)，
所以PN∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)，
所以∠4=∠2=25°（两直线平行，内错角相等）.
因为PN∥AB(已知)，
所以∠3=∠1=32°（两直线平行，内错角相等）.
所以∠BPC=∠3+∠4=32°+25°=57°.
【解题策略】 构造基本图形就是将残缺的基本图形补全.
例4 如图5-135所示，已知AB∥CD,EF分别交AB,CD于G,H,GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD.试说明GM∥HN.
分析 要说明GM∥HN,可说明∠1=∠2，而由GM,HN分别为∠AGF,∠EHD的平分线，可知∠1= ∠AGF,∠2= ∠EHD,又由AB∥CD,有∠AGF=∠EHD,故有∠1=∠2，从而结论成立.
解：因为GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD(已知)，
所以∠1= ∠AGF,
∠2= ∠EHD(角平分线定义).
又因为AB∥CD(已知)，
所以∠AGF=∠EHD(两直线平行，内错角相等)，
所以∠1=∠2，
所以GM∥HN（内错角相等，两直线平行）.
【解题策略】 此题考查平行线的性质、判定以及角平分线的综合应用.
例5 如图5-136所示，已知AB∥CD,BC∥DE.试说明∠B=∠D.
分析 条件为直线平行，故可根据平行线的性质说明.
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠B=∠C(两直线平行，内错角相等).
因为BC∥DE(已知)，
所以∠C=∠D(两直线平行，内错角相等).
【解题策略】 此题重点考查了平行线的性质的应用.
例6 如图5-137所示，已知AB∥CD,G为AB上任一点，GE,GF分别交CD于E,F.试说明∠1+∠2+∠3=180°.
分析 要说明180°问题，想到了“平角”和“两直线平行，同旁内角互补”这两个知识点，故可用它们解决问题.
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠4=∠2，∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）.
因为∠4+∠1+∠5=180°（平角定义），
所以∠2+∠1+∠3=180°（等量代换）.
【解题策略】 此题把说明∠2+∠1+∠3=180°转化为说明∠1+∠5+∠4=180°，应用等量代换解决了问题.
例7 如图5-138所示，AB,DC相交于点O,OE,OF分别平分∠AOC,∠BOC.试说明OE⊥OF
解：因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOC(已知)，
所以∠1= ∠AOC,∠2= ∠BOC(角平分线定义).
所以∠1+∠2= ∠AOC+ ∠BOC
= (∠AOC+∠BOC).
又因为∠AOC+∠BOC=180°(邻补角定义)，
所以∠1+∠2= ×180°=90°，
所以OE⊥OF(垂直定义).
【解题策略】 根据角平分线定义将∠1和∠2分别转化为 ∠AOC和 ∠BOC是解此题的关键.
例8 如图5-139所示，已知AB∥CD,∠CED=90°.试说明∠1+∠2=90°.
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠3=∠1，∠4=∠2（两直线平行，内错角相等）.
因为∠3+∠4+∠CED=180°(平角定义)，
∠CED=90°(已知)，
所以∠3+∠4=90°，
所以∠1+∠2=90°（等量代换）.
【解题策略】 根据两直线平行分别将∠1和∠2转化为∠3和∠4，再根据平角定义由∠3+∠4+∠CED=180°和已知∠CED=90°可说明∠1+∠2=90°.
例9 如图5-140所示，在三角形ABC中，CD⊥AB于D,FG⊥AB于G,ED∥BC.试说明∠1=∠2.
解：因为CD⊥AB,FG⊥AB(已知)，
所以∠CDB=∠FGB=90°(垂直定义)，
所以∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）.
因为DE∥BC(已知)，
所以∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），
所以∠1=∠2（等量代换）.
【解题策略】 多次运用平行线的性质说明∠1，∠2，∠3的关系.
二、规律方法专题
专题2 基本命题的计算与证明
【专题解读】 基本命题的计算与证明涉及的题型有（1）有关角的计算； (2)有关角相等的判定；（3）判定平行问题；（4）判定垂直问题；（5）判定共线问题.
例10 如图5-141所示，已知∠4=70°，∠3=110°，∠1=46°，求∠2的度数.
分析 由∠3+∠4=180°，知AB∥CD,故∠2=180°-∠1.
解：因为∠4=70°，∠3=110°（已知），
所以∠4+∠3=180°，
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，
所以∠2=180°-∠1=180°-46°=134°（两直线平行，同旁内角互补）.
【解题策略】 此题考查由同旁内角互补判定两直线平行，由两直线平行可行同旁内角互补，从而计算相关的角.
例11 如图5-142所示，AB∥CD,EB∥DF.试说明∠1=∠2.
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠1+∠3=∠2+∠4（两直线平行，内错角相等）.
因为EB∥DF(已知)，
所以∠3=∠4（两直线平行，内错角相等），
所以∠1=∠2（等式性质）.
【解题策略】 判定角相等的方法有：
（1）同角（等角）的余角相等；
（2）同角（等角）的补角相等；
（3）对顶角相等；
（4）角平分线定义；
（5）两直线平行，同位角相等；
（6）两直线平行，内错角相等.
例12 如图5-143所示，DF∥AC,∠1=∠2.试说明DE=AB.
分析 要说明DE∥AB,可说明∠1=∠A,而由DF∥AC,有∠2=∠A.又因为∠1=∠2，故有∠1=∠A,从而得出结论.
解：因为DF∥AC(已知)，
所以∠2=∠A(两直线平行，同位角相等).
因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠A（等量代换），
所以DE∥AB(同位角相等，两直线平行).
【解题策略】 判定平行的方法有：
（1）平行于同一条直线的两直线平行；
（2）垂直于同一条直线的两直线平行；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）内错角相等，两直线平行；
（5）同旁内角互补，两直线平行.
例13 如图5-144所示，∠1=∠2，CD∥EF.试说明EF⊥AB.
分析 要说明EF⊥AB,可说明∠2=90°，而由CD∥EF,可得∠1+∠2=180°，又∠1=∠2，所以有∠1=∠2=90°，从而得出结论.
解：因为CD∥EF(已知)，
所以∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
又因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠2=90°，
所以EF⊥AB（垂直定义）.
【解题策略】 判定垂直的方法有：
（1）说明两条相交线的一个交角为90°；
（2）说明邻补角相等；
（3）垂直于平行线中的一条，也必垂直于另一条.
例14 如图5-145所示，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.试说明E,O,F三点在一条直线上.
分析 要说明E,O,F三点共线，只需说明∠EOF=180°.
解：因为AB,CD相交于点O（已知），
所以∠AOC=∠BOD(对顶角相等).
因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOD（已知），
所以∠1= ∠AOC,
∠2= ∠BOD(角平分线定义)，
所以∠1=∠2（等量代换）.
因为∠1+∠EOD=180°(邻补角定义)，
所以∠2+∠EOD=180°(等量代换)，
即∠EOF为平角，所以E,O,F三点共线.
【解题策略】 判定三点共线问题的方法有：
（1）构成平角；
（2）利用平行公理说明；
（3）利用垂线的性质说明.
三、思想方法专题
专题3 转化思想
【专题解读】 在计算过程中，我们总是想办法将未知的转化为已知的.
例15 如图5-146所示，直线AB,CD相交于点O,OD平分∠AOE,且∠COA:∠AOD=7:2,求∠BOE的度数.
分析 欲求∠BOE,因为∠BOE与∠AOE互为邻补角，所以可先求∠AOE,而∠AOE=2∠AOD,所以只需求∠AOD即可，由已知条件可求得∠AOD.
解：∵∠COA+∠AOD=180°,∠COA:∠AOD=7:2,
∴∠COA= ×180°=140°,∠AOD= ×180°=40°.
∵OD平分∠AOE,
∴∠AOE=2∠AOD=2×40°=80°,
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-80°=100°.
【解题策略】 互为邻补角的两个角的和为180°、对顶角相等是在有关求角的大小的问题中常用的两个等量关系，要注意发现图形中的这两种角，它们常隐藏在直线条件的背后.
2011中考真题相交线与平行线精选
一、选择题
1.（2011云南保山2，3分）如图，l1∥l2，∠1=120°，则∠2= .
考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。
分析：由邻补角的定义，即可求得∠3的度数，又由l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵∠1=120°，
∴∠3=180°?∠1=60°，
∵l1∥l2，
∴∠2=∠3=60°．
故答案为：60．
点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等．
2. （2011?南通）如图，AB∥CD，∠DCE=80°，则∠BEF=（ ）
A、120°B、110° C、100°D、80°
考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。
专题：计算题。
分析：根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°，代入求出即可．
解答：解：∵AB∥CD，∴∠DCE+∠BEF=180°，∵∠DCE=80°，∴∠BEF=180°?80°=100°．故选C．
点评：本题主要考查对平行线的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°是解此题的关键．
3. （2011山东日照，3，3分）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ）
A．70°B．80° C．90°D．100°
考点：三角形内角和定理；平行线的性质。
专题：计算题。
分析：根据两直线平行，同位角相等，求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数．
解答：解：∵AB∥CD，∠C=125°，
∴∠EFB=125°，
∴∠EFA=180?125=55°，
∵∠A=45°，
∴∠E=180°?∠A?∠EFA=180°?45°?55°=80°．
故选B．
点评：本题应用的知识点为：两直线平行，同位角相等；三角形内角和定理．
4. （2011山西，5，2分）如图所示，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ）
A．35° B． 70° C． 110° D． 120°
考点：平行线的性质，三角形的外角，多学科综合
专题：相交线与平行线
分析：由DC∥OB得∠ADC ＝∠AOB＝35°，又由反射角相等知∠ADC＝∠ODE ＝35°，因为∠DEB是△ODE的外角，所以∠DEB＝∠ODE＋∠AOB＝70°．
解答：B
点评：利用反射角相等得出∠ADC＝∠ODE ＝35°．掌握平行线的性质，三角形的外角以及反射角相等．
5. （2011台湾，8，4分）如图中有四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（ ）
A．∠2＝∠4＋∠7B．∠3＝∠1＋∠6 C．∠1＋∠4＋∠6＝180°D．∠2＋∠3＋∠5＝360°
考点：三角形内角和定理；对顶角．邻补角；三角形的外角性质。
分析：根据对顶角的性质得出∠1＝∠AOB，再用三角形内角和定理得出得出∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，即可得出答案．
解答：解：∵四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角，
∵∠1＝∠AOB，
∵∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠4＋∠6＝180°．
故选C．
点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．
6. （2011新疆建设兵团，3，5分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．
则∠C等于（ ）
A、40° B、65° C、75°D、115°
考点：平行线的性质．
分析：由∠A＝40°，∠AOB＝75°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的值．
解答：解：∵∠A＝40°，∠AOB＝75°．
∴∠B＝180°?∠A?∠AOB＝180°?40°?75°＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝65°．
故选B．
点评：此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等的定理的应用．
7. （2011重庆綦江，5，4分）如图，直线a∥b，AC?AB，AC交直线b于点C，∠1＝65°，则∠2的度数是（ ）
A．65°B．50°C．35°D．25°
考点：平行线的性质。
专题：几何计算题。
分析：首先由AC?AB与∠1＝65°，求得∠B的度数，然后由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵AC?AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠1＋∠B＝90°，
∵∠1＝65°，
∴∠B＝25°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠B＝25°．
故选D．
点评：此题考查了平行线的性质与垂直的定义．题目比较简单，解题时要注意数形结合思想的应用．
8. （2010重庆，4，4分）如图，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则∠BAD的度数等于( )
A．60° B．50° C． 45° D． 40°
考点：平行线的性质
分析：根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD的度数．
解答：解：∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°?80°?60°=40°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D=40°．故选D．
点评：本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．
9. （2011湖北潜江，5，3分）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（ ）
A．23°B．16°C．20°D．26°
考点：平行线的性质。
专题：计算题。
分析：根据平行线的性质得到∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180，求出∠ECD，根据∠BCE＝∠BCD ∠ECD求出即可．
解答：解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，
∴∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝180° ∠FEC＝26°，
∴∠BCE＝∠BCD ∠ECD＝46° 26°＝20°．
故选C．
点评：本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握，能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键．
10. （2011?河池）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，∠A=30°，∠COD=105°．则∠D的大小是（ ）
A、30°B、45°
C、65°D、75°
考点：平行线的性质；三角形内角和定理。
分析：首先根据两直线平行，内错角相等得出∠C=∠A=30°，然后由△COD的内角和为180°，求出∠D的大小．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠A=30°．
在△COD中，∵∠C+∠COD+∠D=180°，
∴∠D=180°?30°?105°=45°．
故选B．
点评：本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，属于基础题型，比较简单．
11. （2011?安顺）如图，己知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C的度数是（ ）
A、100°B、110°
C、120°D、150°
考点：平行线的性质。
分析：由∠CDE=150°，根据邻补角的定义，即可求得∠CDB的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠ABD的度数，由BE平分∠ABC，求得∠ABC的度数，然后根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠C的度数．
解答：解：∵∠CDE=150°，
∴∠CDB=180°?∠CDE=30°，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDB=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=180°?∠ABC=120°．
故选C．
点评：此题考查了平行线的性质，邻补角的定义与角平分线的定义．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用．
12. （2011?德州，4，3分）如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（ ）
A、55°B、60°C、65°D、70°
考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；平行线的性质。
分析：设∠2的对顶角为∠5，∠1在l2上的同位角为∠4，结合已知条件可推出∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，即可得出∠3的度数
解答：解：∵直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，
∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，
∴∠3=65°．
故选C．
点评：本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质和对顶角的性质，关键在于根据已知条件找到有关相等的角．
13. （2011?临沂，3，3分）如图．己知AB∥CD，∠1=70°，则∠2的度数是（ ）
A、60°B、70°C、80°D、110
考点：平行线的性质。
分析：由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数，又由邻补角的性质，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠3=70°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=110°．
故选D．
点评：此题考查了平行线的性质．注意数形结合思想的应用．
14. （2011泰安，8，3分）如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β＝20°，则∠α的度数为（ ）
A．25°B．30° C．20°D．35°
考点：平行线的性质；对顶角．邻补角；三角形的外角性质。
专题：计算题。
分析：根据平角的定义求出∠ACR，根据平行线的性质得出∠FDC＝∠ACR＝70°，求出∠AFD，即可得到答案．
解答：解：
∵∠β＝20°，∠ACB＝90°，
∴∠ACR＝180°－90°－20°＝70°，
∵l∥m，
∠FDC＝∠ACR＝70°，
∴∠AFD＝∠FDC－∠A＝70°－45°＝25°，
∴∠a＝∠AFD＝25°，
故选A．
点评：本题主要考查对平行线的性质，三角形的外角性质，对顶角．邻补角等知识点的理解和掌握，求出∠AFD的度数是解此题的关键．
15. （2011四川泸州，4，2分）如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是（ ）
A.45° B.55° C.65° D.75°
考点：平行线的判定与性质；对顶角、邻补角．专题：计算题．
分析：因为∠1与∠2互补，所以a∥b，又因为∠3=∠5，所以∠4与∠5互补，则∠4的度数可求．
解答：解：∵∠1与∠2互补，
∴a∥b，
∵∠3=∠5，
∴∠5=135°，
∵a∥b，
∴∠4与∠5互补，
∴∠4=180°－135°=45°．
故选A．
点评：本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
16. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果
∠1=32°，那么∠2的度数是（ ）
A、32° B、58° C、68° D、60°
【
答案】B
【考点】平行线的性质；余角和补角．
【专题】计算题
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
【解答】解：根据题意可知∠1+∠2=90°，所以∠2=90°-∠1=58°．故选B．
【点评】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°．解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．
17．（2011?南充，3，3分）如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B=60°，下列结论成立的是（ ）
A、∠C=60°B、∠DAB=60°C、∠EAC=60°D、∠BAC=60°
考点：平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：根据平行线的性质，根据内错角相等，逐个排除选项即可得出结果．
解答：解：A、无法判断，故本选项错误，
B、∠B=60°，∴∠DAB=60°，故本选项正确，
C、无法判断，故本选项错误，
D、无法判断，故本选项错误，
故选B
点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．.
18. （2011四川雅安，5,3分）如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，若∠1=72°，∠2=58°，则∠3=（ ）
A.45°B.50° C.60°D.58°
考点：平行线的性质。
专题：证明题。
分析：根据两直线l1∥l2，推知内错角∠3=∠5；然后由对顶角∠2=∠4、三角形内角和定理以及等量代换求得∠3=50°．
解答：解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）；
又∵∠2=∠4（对顶角），∠1=72°，∠2=58°，
∴∠5=50°（三角形内角和定理），
∴∠3=50°（等量代换）．
故选B．
点评：本题考查是平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
19. （2011四川省宜宾市，4，3分）如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB. 若∠D=70°，
则∠CEB等于( )
A.70° B.80°
C.90° D.110°
考点：平行线的性质．
分析：由DF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BED的度数，又由邻补角的定义，即可求得答案．
答案：解：∵DF∥AB，
∴∠BED=∠D=70°，
∵∠BED+∠BEC=180°，
∴∠CEB=180°-70°=110°．
故选D．
点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等，注意数形结合思想的应用．
20.(2011四川雅安5，3分)如图，直线 被直线 所截，且 ，若∠1=72°，∠2=58°，则∠3=（
A 45° B 50° C 60° D 58°
考点：平行线的性质。
专题：证明题。
分析：根据两直线l1∥l2，推知内错角∠3=∠5；然后由对顶角∠2=∠4、三角形内角和定理以及等量代换求得∠3=50°．
解答：解：∵l1∥l2，∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）；
又∵∠2=∠4（对顶角），∠1=72°，∠2=58°，
∴∠5=50°（三角形内角和定理），
∴∠3=50°（等量代换）．
故选B．
点评：本题考查是平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
21. （2011福建龙岩，6，4分）如图．若乙、丙都在甲的北偏东70°方向上．乙在丁的正北方向上，且乙到丙、丁的距离相同．则α的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
考点：方向角；平行线的性质；等腰三角形的性质。
分析：由已知及平行线的性质可得乙丙与乙丁正北方向的角也等于70°，又由乙到丙、丁的距离相同，所以2倍的角α等于70°，从而求出α的度数．
解答：解：已知乙、丙都在甲的北偏东70°方向上．乙在丁的正北方向上，
所以由平行线的性质得乙丙与乙丁正北方向的角也等于70°，又乙到丙、丁的距离相同，
所以2α=70°，所以α=35°，故选C．
点评：此题考查的是方向角，解答此题的关键是由平行线的性质及等腰三角形的性质得出答案．
22. （2011天水，5，4）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，如果∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A、30°B、45°
C、40°D、50°
考点：平行线的性质。
分析：由将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由平角的定义，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵a∥b，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠2=50°．
故选D．
点评：此题考查了平行线的性质与平角的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
23. （2010广东佛山，6，3分）依次连接菱形的各边 中点，得到的四边形是（）
A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形
考点矩形的判定；三角形中位线定理；菱形的性质。
分析先连接AC、BD，由于E、H是AB、AD中点，利用三角形中位线定理可知EH∥BD，同理易得FG∥BD，那么有EH∥FG，同理也有EF∥HG，易证四边形EFGH是平行四边形，而四边形ABCD是菱形，利用其性质有AC⊥BD，就有∠AOB=90°，再利用
EF∥AC以及EH∥BD，两次利用平行线的性质可得∠HEF=∠BME=90°，即可得证．
解答证明：如右图所示，四边形ABCD是菱形，顺次连接个边中点E、F、G、H，连接AC、BD，
∵E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，同理有FG∥BD，∴EH∥FG，
同理EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，又∵EF∥AC，∴∠BME=90，
∵EH∥BD，∴∠HEF=∠BME=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选A．
点评本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、平行线的性质、菱形的性质．解题的关键是证明四边形EFGH是平行四边形以及∠HEF=∠BME=90°．
24. （2011广东省茂名，3，3分）如图，已知AB∥CD，则图中与∠1互补的角有（ ）
A、2个B、3个
C、4个D、5个
考点：平行线的性质；余角和补角。
分析：由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得∠1+∠AEF=180°，由邻补角的定义，即可得∠1+∠EFD=180°，则可求得答案．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠AEF=180°，
∵∠1+∠EFD=180°．
∴图中与∠1互补的角有2个．
故选A．
点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．题目比较简单，解题时注意数形结合思想的应用．
25.（2011?株洲5，分）某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB=45°，则∠FDC的度数是（ ）
A、30°B、45° C、60°D、75°
考点：平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：由邻补角的定义即可求得∠BAD的度数，又由AB∥CD，即可求得∠ADC的度数，则问题得解．
解答：解：∵∠EAB=45°，
∴∠BAD=180°?∠EAB=180°?45°=135°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC=∠BAD=135°，
∴∠FDC=180°?∠ADC=45°．
故选B．
点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等．
26.（2011年湖南省湘潭市，11，3分）如图，a∥b，若∠2=130°，则∠1= 50度．
考点：平行线的性质．
分析：由a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1的度数．
解答：解：a∥b，
∴∠1+∠2=180°，
又∵∠2=130°，
∴∠1=50°．
故答案为：50．
点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同旁内角互补．
27.（2011吉林长春，8，3分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1．l2于B．C两点，连接AC．BC．若∠ABC=54°，则∠1的大小为（ ）
A．36° B．54° C．72° D．73°
考点：平行线的性质；圆的认识．
分析：由l1∥l2，∠ABC=54°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数，又由以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1．l2于B．C两点，连接AC．BC，可得AC=AB，即可证得∠ACB=∠ABC=54°，然后由平角的定义即可求得答案．
解答：解：∵l1∥l2，∠ABC=54°，
∴∠2=∠ABC=54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1．l2于B．C两点，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=54°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=72°．
故选C．
点评：此题考查了平行线的性质与等腰三角形的性质，以及平角的定义．注意两直线平行，内错角相等．
28.如图，直线a∥b，∠1=115°，则∠2=
65
考点：平行线的性质．
分析：由对顶角相等，可求得∠3的度数，又由a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠2的度数．
解答：解： ∵∠1=115°，
∴∠3=∠1=115°，
∵a∥b，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-115°=65°．
故答案为：65．
点评：此题考查了平行线的性质．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
29.（2011辽宁阜新,5,3分）如图，已知AB∥CD，OM是∠BOF的平分线，∠2=70°，则∠1的度数为（ ）
A.100°B.125° C.130°D.140°
考点：平行线的性质。
分析：由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠BOM的度数，又由OM是∠BOF的平分线，即可求得∠BOF的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠1的度数．
解答：解：∵AB∥CD，∠2=70°，
∴∠BOM=∠2=70°，
∵OM是∠BOF的平分线，
∴∠BOF=2∠BOM=140°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠BOF=140°．
故选D．
点评：此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等与两直线平行，内错角相等定理的应用．
30．．（2010河南，2，3分）如图，直线a，b被c所截，a∥b，若∠1=35°，则∠2的大小为（ ）A．35 B．145 C．55 D．125
考点：平行线的性质
分析：由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵a∥b，
∴∠3=∠1=35°，
∴∠2=180°?∠3=180°?35°=145°．
故选B．
点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．
31. (2011襄阳，4，3分)如图，CD∥AB，∠1＝120°，∠2＝80°，则∠E的度数是( )
A．40°B．60° C．80°D．120°
考点：平行线的性质；三角形的外角性质。
专题：几何综合题。
分析：首先由平行线的性质得出∠1等于三角形CDE的外角，再由三角形的外角性质求出∠E．
解答：解：∵CD∥AB，
∴∠1＝∠EDF＝120°，
∴∠E＝∠EDF－∠2＝120°－80°＝40°．
故选：A．
点评：此题考查的知识点是平行线的性质及三角形的外角性质，关键是由平行线的性质得出三角形CED的外角．
32. （2011湖北十堰，5，3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，DE过点C，且DE//AB，若∠ACD=500，则∠B的度数是（ ）
第5题图
A．500 B．400 C．300 D．250
考点：平行线的性质.
专题：几何图形问题.
分析：首先由平行线的性质得∠A=∠ACD=50°，再由∠A+∠B=90°，求出∠B．
解答：解：∵DE∥AB，
∴∠A=∠ACD=50°，
又∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠B=90°?50°=40°，
故选：B．
点评：此题考查的知识点是平行线的性质，关键是由平行线的性质求出∠A．
33. （2011湖北孝感，3，3分）如图，直线AB．CD交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO=30°，则∠DOT等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
考点：平行线的性质。
分析：由CE∥AB，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠BOD的度数，又由OT⊥AB，求得∠BOT的度数，然后由∠DOT=∠BOT?∠DOB，即可求得答案．
解答：解：∵CE∥AB，
∴∠DOB=∠ECO=30°，
∵OT⊥AB，
∴∠BOT=90°，
∴∠DOT=∠BOT?∠DOB=90°?30°=60°．
故选C．
点评：此题考查了平行线的性质，垂直的定义．解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意两直线平行，同位角相等．
34. （2011湖南怀化,4,3分）如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（ ）
A．100°B．60°
C．40°D．20°
考点：平行线的性质。
分析：首先过点C作CD∥a，由a∥b，即可得CD∥a∥b，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3的度数．
解答：解：过点C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，
∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°．
故选A．
点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
35.如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，
∠2=50°，则∠3的度数为（ ）
A、80 B、50 C、30 D、20
【答案】D
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质.
【专题】计算题
【分析】由BC∥DE得内错角∠CBD=∠2，由三角形外角定理可知∠CBD=∠1+∠3，由此可求∠3．
【解答】 解：如图，∵BC∥DE，∴∠CBD=∠2=50°，
又∵∠CBD为△ABC的外角，∴∠CBD=∠1+∠3，即∠3=50°-30°=20°．故选D．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，关键是利用平行线的性质，将所求角与已知角转化到三角形中，寻找角的等量关系．
36. （2011贵州毕节，11，3分）如图，已知AB∥CD，∠E＝ ，∠C＝ ，则∠EAB的度数是( )
A． B． C． D．
考点：平行线的性质；三角形的外角性质。
分析：由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠1的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠EAB的度数．
解答：解：∵ AB∥CD，∴∠1=∠C=52°，∵∠E=28°，∴∠EAB=∠1+∠E=52°+28°=80°．
故选D．
点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等，注意数形结合思想的应用．
37. （2011贵州遵义，4，3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若 ，则 的度数为
A. B.
C. D.
【考点】平行线的性质．
【分析】由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角相等，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，
∵∠1=45°，
∴∠3=90°-∠1=45°，
∴∠4=180°-∠3=135°，
∵EF∥MN，
∴∠2=∠4=135°．
故选D．
点评：此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．
38.（2011海南，11，3分）如图．已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝48°，那么∠2的度数为（ ）
A．42°B．48°C．52°D．132°
考点：平行线的性质。
分析：由a∥b，∠1＝48°，根据两直线平行，同位角相等得到∠3＝∠1＝48°，再根据对顶角相等即可得到∠2．
解答：解：如图，
∵a∥b，∠1＝48°，
∴∠3＝∠1＝48°，
∴∠2＝∠3＝48°．
故选B．
点评：本题考查了两直线平行的性质：两直线平行，同位角相等；也考查了对顶角的性质．
39. （2011广东湛江,10,3分）如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于（ ）
A、70° B、80° C、90° D、100°
考点：平行线的性质；对顶角、邻补角．
专题：计算题．
分析：在题中∠AEC和∠DEB为对顶角相等，∠DEB和∠D为同旁内角互补，据此解答即可．
解答：解：因为AB∥DF，
所以∠D+∠DEB=180°，
因为∠DEB与∠AEC是对顶角，
所以∠DEB=100°，
所以∠D=180°-∠DEB=80°．
故选B．
点评：本题比较容易，考查平行线的性质及对顶角相等．
40. （2011广东肇庆，5，3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（ ）
A、7B、7.5 C、8D、8.5
考点：平行线分线段成比例。
分析：由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得 ，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案．
解答：解：∵a∥b∥c，
∴ ，
∵AC=4，CE=6，BD=3，
∴ ，
解得：DF= ，
∴BF=BD+DF=3+ =7.5．
故选B．
点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
41.（2011广西崇左，13，3分）如图所示BC∥DE，∠1=108°，∠AED=75°，则∠A的大小是( )
A．60° B．33° C．30° D．23°
考点：平行线的性质．
分析：由BC∥DE，∠1=108°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠A的大小．
解答：解：∵BC∥DE，∠1=108°，
∴∠2=∠1=108°，
∵∠2=∠A+∠AED，∠AED=75°，
∴∠A=∠2?∠AED=33°．
故选B．
点评：此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
42.（2011年广西桂林，3，3分）下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（ ）．
考点：对顶角、邻补角；平行线的性质；三角形的外角性质．
分析：根据对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，可判断；
答案：解：A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2=180°；故本选项错误；
B、∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；
C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；
D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，本题考查的知识点较多，熟记其定义，是解答的基础．
43. （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，5，3分）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC= ，∠CEF= ，则∠BCE等于
A. B. C. D.
考点：平行线的性质．
分析：根据平行线的性质得到∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180，求出∠ECD，根据∠BCE=∠BCD-∠ECD求出即可．
答案：解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，
∴∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180°，
∴∠ECD=180°-∠FEC=26°，
∴∠BCE=∠BCD-∠ECD=46°-26°=20°．
故选C．
点评：本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握，能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键．
44.（2011?恩施州3,3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ）
A、43°B、47° C、30°D、60°
考点：平行线的性质。
专题：计算题。
分析：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到Rt△CDE中，利用内角和定理求解．
解答：解：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，
∵AB∥DE，
∴∠β=∠EDC，
又∠CED=∠α=43°，
∠ECD=90°，
∴∠β=∠EDC=90°?∠CED=90°?43°=47°，
故选B．
点评：本题考查了平行线的性质．关键是延长BC，构造两条平行线之间的截线，将问题转化到直角三角形中求解．
45. （2011浙江宁波，8，3）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为（ ）
A、57°B、60° C、63°D、123°
考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：根据三角形内角和为180°，以及对顶角相等，再根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠EAB的度数．
解答：解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠C+∠E，
∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠A＝57°，
故选A．
点评：本题考查了三角形内角和为180°，对顶角相等，以及两直线平行同旁内角互补，难度适中．
46.（2011浙江绍兴，3，4分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED的度数是（ ）
A．17°B．34° C．56°D．68°
考点：平行线的性质。
分析：首先由AB∥CD，求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，求得∠CBE的度数，然后根据三角形外角的性质求得∠BED的度数．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=34°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠CBE=∠ABC=34°，
∴∠BED=∠C+∠CBE=68°．
故选D．
点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形外角的性质．此题难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用.
47. （2011浙江金华，5，3分）如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．30° B.25° C.20° D.15°
考点：平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
解答：解：根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，
∴∠2=90°?∠1?45°=25°，
故选B．
点评：本题主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质，互为余角的两角的和为90°，难度适中．
48. （2011浙江丽水，5，3分）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A、30°B、25°
C、20°D、15°
考点：平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
解答：解：根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，
∴∠2=90°?∠1?45°=25°，
故选B．
点评：本题主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质，互为余角的两角的和为90°，难度适中．
49.（2011浙江义乌，8，3分）如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于（ ）
A．60°B．25°C．35°D．45°
考点：三角形内角和定理；平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：由已知可以推出∠A的同旁内角的度数为120°，根据三角形内角和定理得∠E＝35°
解答：解：设AE和CD相交与O点
∵AB∥CD，∠A＝60°
∴∠AOD＝120°
∴∠COE＝120°
∵∠C＝25°
∴∠E＝35°
故选C．
点评：本题主要考查平行线的性质、三角新股内角和定理，关键看出∠A的同旁内角的对顶角是三角形的一个内角
二、填空题
1. （2011江苏淮安，12，3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1=70°，则∠2= .
考点：平行线的性质。
分析：由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义即可求得∠2的度数．
解答：解：∵a∥b，∴∠3=∠1=70°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=110°．
故答案为：110°．
点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是数形结合思想的应用．
2. （2011?泰州，15，3分）如图，直线a、b被直线l所截，a∥b，∠1=70°，则∠2 ．
考点：平行线的性质。
分析：由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．
解答：解：
∵a∥b，
∴∠3=∠1=70°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=110°．
故答案为：110°．
点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等
3. （2011?江苏徐州，12，3）如图AB∥CD，AB与DE交于点F，∠B=40°，∠D=70°，则∠E= ．
考点：平行线的性质；三角形的外角性质。
专题：推理填空题。
分析：由两直线AB∥CD，推知内错角∠1=∠D=70°；然后根据三角形外角定理求得∠1=∠B+∠E，从而求得∠E=30°．
解答：解：∵AB∥CD，∠D=70°，
∴∠1=∠D=70°（两直线平行，内错角相等）；
又∵∠1=∠B+∠E（外角定理），
∴∠E=70°?40°=30°．
故答案是：30°．
点评：本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质．求∠2的度数时，∠1的度数是连接已知条件∠B=40°与∠D=70°的纽带．
4. （2011陕西，12，3分）如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E ，若 ， 则 ．
考点：平行线的性质。
分析：由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数．
解答：解：∵AC∥BD，
∴∠B=∠1=64°，
∴∠BAC=180°?∠1=180°?64°=116°，
∵AE平分∠BAC交BD于点E，
∴∠BAE= ∠BAC=58°，
∴∠2=∠BAE+∠B=64°+58°=122°．
故答案为：122°．
点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
5..如图，点B、C、D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB=90°，如果∠ECD=36°，那么∠A=
54°．
考点：平行线的性质；三角形内角和定理．
专题：几何图形问题；数形结合．
分析：由∠ACB=90°，∠ECD=36°，求得∠ACE的度数，又由CE∥AB，即可求得∠A的度数．
解答：解：∵∠ECD=36°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=90°-36°=54°，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠ACE=54°．
故答案为：54°．
点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
6.（2011?湘西州）如图，已知直线a∥b，∠1=60°，则∠2度数是 60 °．
考点：平行线的性质。
分析：由直线a∥b，∠1=60°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵直线a∥b，∠1=60°，
∴∠2=∠1=60°．
故答案为：60．
点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
7. （2011?西宁）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠3=20°，则∠2= 50° ．
考点：平行线的性质；三角形的外角性质。
专题：综合题。
分析：先根据三角形的外角性质求得∠4的度数，再根据平行线的性质即可求解．
解答：解：由三角形的外角性质可得∠4=∠1+∠3=50°，
∵∠2和∠4是两平行线间的内错角，
∴∠2=∠4=50°．
故答案为：50°．
点评：本题综合考查了三角形的外角性质和平行线的性质，得到∠4的度数是解题的关键
8. （2011山东济南，19，3分）如图，直线l与直线a、b分别交与点A、B，a∥b，若∠1=70°，则∠2= °．
考点：平行线的性质。
分析：首先由a∥b，∠1=70°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．
解答：
解：
∵a∥b，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=110°．
故答案为：110．
点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等．
9.（2011新疆乌鲁木齐，12，4）如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若∠B＝30°，∠D＝60°．则∠BOD＝ 90 度．
考点：平行线的性质；三角形内角和定理。
分析：由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A的度数，又由∠B＝30°，根据三角形的内角和等于180°，即可求得∠BOD的度数．
解答：解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D＝60°，∵∠B＝30°，
∴∠BOD＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－60°＝90°．
故答案为：90．
点评：此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．注意两直线平行，内错角相等．
10. （2011四川广安，12，3分）如图所示，直线 ∥ ．直线 与直线 ， 分别相交于点 、点 ， ，垂足为点 ，若 ，则 ＝ _________
考点：平行线，垂线
专题：平行线与相交线
分析：因为 ，所以∠ABM＝∠1＝58°．又因为AM⊥ ，所以∠2＋∠ABM＝90°，所以∠2＝90°－58°＝32°．
解答：32°
点评：结合已知条件分析图形，由图形之间的位置关系可得数量关系，如由平行线得到相等的角，由垂直得到直角三角形，从而利用直角三角形的两个锐角互余的性质求解．
11. （2011四川攀枝花，14，4分）如图，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3= 60° ．
考点：平行线的性质。
专题：计算题。
分析：先根据平行线的性质及对顶角相等求出∠3所在三角形其余两角的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠3的度数．
解答：解：如图所示：∵l1∥l2，∠2=65°，∴∠6=65°，∵∠1=55°，∴∠1=∠4=55°，在△ABC中，∠6=65°，∠4=55°，∴∠3=180°?65°?55°=60°．故答案为：60°．
点评：本题重点考查了平行线的性质、对顶角相等及三角形内角和定理，是一道较为简单的题目．
12. （2011四川遂宁，13，4分）下列命题①不相交的直线是平行线；②同位角相等；③矩形的对角线相等且互相平分；④平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；⑤同圆中同弦所对的圆周角相等．其中错误的序号是 ．
考点：命题与定理；同位角、内错角、同旁内角；平行线；平行四边形的性质；矩形的性质；圆周角定理；轴对称图形；中心对称图形。
专题：应用题。
分析：根据平行的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，圆周角的性质来判断所给选项是否正确即可．
解答：解：①在同一平面内，不相交的直线是平行线，故本选项错误，②两直线平行，同位角相等，故本选项错误，③矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确，④平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故本选项错误，⑤同弦对应的圆周角中，在弦的同侧时，两圆周角相等，在两侧时两圆周角互补，故本选项错误，故答案为①②④⑤．
点评：本题主要考查了综合利用相关性质和判定，难度适中．
13. （2011四川遂宁，24，8分）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点．当n=1时，如图（1），一条直线将一个平面分成两个部分；当n=2时，如图（2），两条直线将一个平面分成四个部分；则：当n=3时，三条直线将一个平面分成 7 部分；当n=4时，四条直线将一个平面分成 11 部分；若n条直线将一个平面分成an个部分，n+1条直线将一个平面分成an+1个部分．试探索an、an+1、n之间的关系．
考点：规律型：图形的变化类。
专题：规律型。
分析：一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分．
解答：解：当n=1时，分成2部分，
当n=2时，分成4=2+2部分，
当n=3时，分成7=4+3部分，
当n=4时，分成11=7+4部分，
规律发现，有几条线段，则分成的部分比前一种情况多几部分， an、an+1、n之间的关系是：an+1=an+（n+1）．
故答案为：7，11，an+1=an+（n+1）．
点评：本题是对图形变化问题的考查，根据前四种情况发现有几条线段则分成的空间比前一种增加几部分是解题的关键．
14.（2011?江西，15，3）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2= 度．
考点：对顶角、邻补角；余角和补角。
专题：计算题。
分析：根据对顶角相等得到∠1=∠3，∠2=∠4，而三角形尺为直尺，即可得到∠1+∠2=90°．
解答：解：如图，
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
而∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故答案为：90．
点评：本题考查了对顶角的性质：对顶角相等．
15. （2011丽江市中考，2,3分）如图，l1∥l2，∠1=120°，则∠2= 60°
考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。
分析：由邻补角的定义，即可求得∠3的度数，又由l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵∠1=120°，∴∠3=180°?∠1=60°，∵l1∥l2，∴∠2=∠3=60°．
故答案为：60．
点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等．
16. （2011湖州，12，4分）如图：CD平分∠ACB，DE∥AC且∠1=30°，则∠2= 60 度．
考点：平行线的性质；角平分线的定义.
专题：计算题.
分析：已知CD平分∠ACB，DE∥AC，可推出∠ACB=∠2，易求解．
解答：解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠1；∵DE∥AC，∴∠ACB=∠2；
又∵∠1=30°，∴∠2=60°．
点评：本题应用的知识点为两直线平行，同位角相等；角平分线的定义．
17. （2011浙江金华，15，4分）如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是 .
考点：平行四边形的性质；平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理。
专题：计算题。
分析：根据平行四边形的性质得到AB=CD=3，AD=BC=4，根据平行线的性质得到∠HCB=∠B=60°，根据三角形的内角和定理求出∠FEB=∠CEH=30°，根据勾股定理求出BF、CH、EF、EH的长，根据三角形的面积公式即可求出答案．
解答：解：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，
∵EF⊥AB，
∴EH⊥DC，∠BFE=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠HCB=∠B=60°，
∴∠FEB=∠CEH=180°?∠B?∠BFE=30°，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=2，
∴CH=BF=1，
由勾股定理得：EF=EH=
∴?DFH面积= FH×DH=4 ,所以△DEF的面积是2 ．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
18. （2011浙江衢州，12，4分）如图，直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角器的一条刻度线OF的读数为70°，OF与AB交于点E，那么∠AEF= 70° ．
考点：平行线的性质。
专题：几何图形问题。
分析：由平行线的性质，两直线平行、同位角相等，得出∠AEF等于量角器的一条刻度线OF的读数．
解答：解：由已知量角器的一条刻度线OF的读数为70°，即∠COF=70°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠COF=70°，
故答案为：70°．
点评：此题考查的知识点是平行线的性质，关键是要明确量角器的一条刻度线OF的读数即是∠COF的度数．
19. 如图，a∥b，∠1=40°，∠2=80°，则∠3= 120度．
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等，求出∠2的同位角的度数，再利用三角形的外角的性质求得∠3的度数．
【解答】解：如图，∵a∥b，∠2=80°，∴∠4=∠2=80°（两直线平行，同位角相等）
∴∠3=∠1+∠4=40°+80°=120°．故答案为120°．
【点评】本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形外角的性质．特别注意三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
20. （2011?贵阳11,4分）如图，ED∥AB，AF交ED于点C，∠ECF=138°，则∠A= 42 度．
考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。
专题：推理填空题。
分析：首先由邻补角求出∠DCF，再由平行线的性质得出∠A．
解答：解：∠DCF=180°?∠ECF=180°?138°=42°，
又ED∥AB，
∴∠A=∠DCF=42°．
故答案为：42．
点评：此题考查的知识点是平行线的性质及邻补角，关键是先由邻补角求出∠DCF，再由平行线的性质求出∠A．
21. （2011邵阳，15，3分）如图所示，AB∥CD，MN分别交AB、CD于点F、E．已知∠1=35°，∠2= 35 °．
考点：平行线的性质.
分析：根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
解答：解：∵AB∥CD，∴∠2=∠1，∵∠1=35°，∴∠2=35°．故答案为：35°．
点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等．
22. 14、如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为 4．
【考点】角平分线的性质；平行线的性质．
【专题】几何计算题．
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．
【解答】 解：过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，
∴AP⊥BP，PN⊥BC，
∴PM=PE=2，，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．故答案为：4．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键．
23.（2011年湖南省湘潭市，15，3分）如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC= 4．
考点：平行线分线段成比例．
专题：计算题．
分析：△ABC中，DE∥BC，应用平行线分线段成比例的性质，可解答；
解答：解：∵△ABC中，DE∥BC，
∴ ,
∵AD=3，DB=6，AE=2，
∴ ，
∴EC=4．
故答案为：4．
点评：本题主要考查平行线分线段分线段成比例定理的理解及运用；找准对应关系，避免错选其他答案．
24.（2011辽宁本溪，11，3分）如图：AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF．EG⊥FG于点G，若∠BEM=50°，则∠CFG= ．
考点：平行线的性质
专题：应用题
分析：首先由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠CFE的度数，又由内角和定理，求得∠GFE的度数，则可求得∠CFG的度数．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF=∠BEM=50°，
∴∠CFE=130°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠GEF= ∠AEF=25°，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF=90°，
∴∠GFE=90°?∠GEF=65°，
∴∠CFG=∠CEF?∠GFE=65°．
故答案为：65°．
点评：此题考查了平行线的性质，垂直的定义以及角平分线的性质．注意两直线平行，同旁内角互补．
25. （2011福建福州，13，4分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，则∠A+∠B+∠C= 270 度．
考点：直角梯形；平行线的性质．
分析：根据平行线的性质得到∠A+∠B=180°，由已知∠C=90°，相加即可求出答案．
解答：解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠C=90°，∴∠A+∠B+∠C=180°+90°=270°，故答案为：270．
点评：本题主要考查对直角梯形，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出∠A+∠B的度数是解此题的关键．
26. （2011广州，15，3分）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a//b，a⊥b，那么b⊥c； ②如果b//a，c//a，那么b//c；
③如果b⊥a，c⊥a ，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a ，那么b//c.
其中真命题的是_________。（填写所有真命题的序号）
【考点】命题与定理；平行线的判定与性质．
【专题】推理填空题．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故本选项正确，
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故本选项正确，
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故本选项错误，
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故本选项正确，
故答案为①②④．
【点评】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，难度适中．
三、解答题
1. （2011山东淄博19，分）如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1=∠2，∠3=75°，求∠4的度数．
考点：平行线的判定与性质。
专题：应用题。
分析：根据平行线的判定得出AB∥CD，从而得出∠3=∠4，即可得出答案．
解答：解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠3=∠4=75°（两直线平行，内错角相等）．
点评：本题主要考查了平行线的判定与性质，比较简单．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
1.如图5-147所示，直线AB,CD相交于点E,DF∥AB.若∠AEC=100°,则∠D等于 （ ）
A.70° B.80° C.90° D.100°
2.下列命题不正确的是 （ ）
A.若两个相等的角有一组边平行，则另一组边也平行
B.两条直线相交，所成的两组对顶角的平分线互相垂直
C.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直
D.经过直线外一点，有且只有一条线与已知直线平行
3.如图5-148所示，直线a,b都和直线c相交，给出下列条件：
①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠8=180°，其中能判断a∥b的（ ）
A. ①③ B.②④ C. ①③④ D. ①②③④
4.下列命题不正确的是 （ ）
A.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行
B.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
C.两条直线被第三条直线所截，如果同位角互补，那么这两条直线平行
D.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
5.互为邻补角的两个角的平分线所成的角是 （ ）
A.小于90°的角 B.等于90°的角
C.大于90°的角 D.不能确定
6.如图5-149所示，直线l1∥l2,∠1=120°,则∠2= 度.
7.如图5-150所示，已知直线a,b被直线c所截，且a∥b，∠1=65°,那么∠2等于（ ）
A.145° B.65° C.55° D.35°
8.如图5-151所示，AB∥CD,EF分别交AB,CD于M,N,NG平分∠DNF,∠1=60°,则∠2等于 （ ）
A.40° B.50° C.60° D.70°
9.下列说法中正确的有 （ ）
①同位角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④三条直线两两相交总有三个交点；
⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图5-152所示，下列推理正确的是 （ ）
A.因为∠1=∠4，所以BC∥AD
B.因为∠2=∠3，所以AB∥CD
C.因为AD∥BC,所以∠BCD+∠ADC=180°
D.因为∠1+∠2+∠C=180°,所以BC∥AD
二、填空题
11.如图5-153所示，AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,∠1=47°,则∠2的大小是 .
12.如图5-154所示，∠1和∠2是直线 ， 被第三条直线 所截得的角.
13.如图5-155所示，AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°,则∠3= .
14.如图5-156所示，∠1=56°，∠2=124°，∠3=85°，则∠4= .
15.从钝角∠AOB的顶点引射线OP⊥OA,若∠BOP:∠AOP=2:3,则∠AOB= .
16.如图5-157所示，AD∥BC,BD平分∠ABC,若∠A=110°,则∠D= .
17.如图5-158所示，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,∠1与∠2 ，∠2与∠3是 ，∠2与∠4 ，∠1与∠3 .
18.如图5-159所示，AD∥BC,∠D=100°,CA平分∠BCD,则∠DAC= .
19.在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种.
三、解答题
20.如图5-160所示，直线AB,CD,EF相交于O点，AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=28°,求∠AOG的度数.
21.如图5-161所示，点A,O,B在一条直线上，OE平分∠COB,OD⊥OE于O.试说明OD平分∠AOC.
22.如图5-162所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.试说明AD∥BC.
23.如图5-163所示，将四边形ABCD先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度.（每个小正方形的边长为1个单位长度）
参考答案
1.B［提示：∵∠AEC+∠AED=180°,∠AEC=100°,∴∠AED=80°.∵AB∥DF,∴∠D=∠AED=80°.故选B.］
2.A［提示：A中有不平行的情况，B是邻补角性质，C是平行线性质，D是平行公理.］
3.D［提示：根据平行线的判定.］
4.C［提示：A:平行线的传递性.B：平行线的判定.C：同位角相等.D:平行线的判定.］
5.B［提示：根据邻补角和角平行线的性质.］
6. 120
7.B［提示：两直线平行，内错角相等.］
8.C［提示：先求∠END,再求∠FND,∠2= ∠FND=60°.］
9.B［提示：①没说两直线平行，②如果这点在该直线上就作不出平行线，④如果三线共点就有1个交点.］
10.C［提示：A,B,D选错了被截线，C两直线平行，同旁内角互补.］
11.133°［提示：∵∠1=∠3，∠1=47°，∴∠3=47°.∵AB∥CD,∴∠3+∠2=180°,∴∠2=180°-∠3=133°.］
12.AC BD AB
13.60°
14.95°［提示：根据∠1+∠2=180°得∠1的对顶角+∠2=180°，得到平行线，则∠3+∠4=180°.］
15.150°［提示：∠AOP=90°,∠BOP=60°.］
16.35°
17.互余 对顶角 互补 互余［提示：根据垂直、互余、对顶角、邻补角的性质解答.］
18.40°［提示：∠BCD=180°-∠D=80°,°∠ACB= ∠BCD=40°,∠DAC=∠ACB=40°.］
19.平行 相交
20.解：∵AB⊥CD,∴∠AOF=90°-∠FOD=90°-28°=62°,∴∠AOE=180°-∠AOF=118°.∵OG平分∠AOE,∴∠AOG= ∠AOE=59°.
21.解：因为DO⊥OE,所以∠2+∠3=90°，又因为点A,O,B在一条直线上，所以∠AOB=180°,所以∠4+∠1=90°.又因为OE平分∠BOC,所以∠1=∠2，所以∠3=∠4，所以OD平分∠AOC.
22.解：∵∠5=∠6（已知），∴AB∥CE(内错角相等，两直线平行)，∴∠4+∠2+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠3=∠4，∠1=∠2（已知），∴∠3+∠1+∠5=180°（等式性质），∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
23.解：如图5-164所示，四边形EFGH即为所求.
