1.6等腰梯形的轴对称性
一、知识点：
1．等 腰梯形的定义：
①梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行为梯形 。
梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为 腰。
②等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2．等腰梯形的性质：
①等腰梯形是轴对称图形，是两底中点的连线所在的直线。
②等腰梯形同一底上两底角相等。
③等腰梯形的对角线相等。
3．等腰梯形的判定：
①在同一底上的2个 底角相等的梯形是等腰梯形。
②补充：对角线相等的梯形是等腰梯形。
二、举例：
例1：填空：
1、等腰梯形的腰 长为12cm，上底长为15cm，上底与腰的夹角为120°，则下底长为 cm．
2、如果一个等腰梯形的二个内角的和为 1000 ，那么此梯形的四个内角的度数分别为 ．
3、等腰梯形上底的长与腰长相等，而一条对角线与一腰垂直，则梯形上底角的度数是______；
4、已知等腰梯形的 一个底角等于600，它的两底分别为13cm和37cm，它的周长为____ __ _；
5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝ CD，∠A＝120°， 对角线BD平分∠ABC，则
∠BDC的度数是 ；又若AD＝5，则BC＝ ．
6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AD，B D = BC，
则∠C= 0。
例2：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．试说明：AO＝DO．
例3：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD。试说明：梯形A BCD是等腰梯形。
例4：如图，在等腰梯形AB CD中，AD∥BC，AD＝3cm，BC＝7cm，E为CD的中点，四边形ABED的周长比△BCE的周长大2 cm，试求AB的长．
例5：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，M为BC中点，则：
(1)点M到两腰AB、CD的距离相等吗?请说出你的理由。
(2)若连结AM、DM，那么△AMD是等腰三角形吗 ?为什么?
(3)又若N为A D的中点，那么MN⊥AD 一定成立．你能说明为什么吗?
例6、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，E为CD中点，AE与BC的延长线交于F．
(1)判断S△ABF和S梯形ABCD有何关系，并说明理由．
(2)判断S△ABE和S梯形ABCD有何关系，并说明理由．
(3)上述结论对一般梯形是否成立?为什么?
例7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，AD+BC＝AB．则：
(1)AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC吗?为什么?
(2)AE⊥BE吗?为什么?
例8：在梯形ABCD中，∠B＝900，AB＝14cm ，AD＝18cm ，BC＝21cm，点 P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从两点同时出发，多少秒后，梯形PBQD 是等腰梯形？
三、作业
1、如图， 等腰梯形ABC中，AD// BC，AB=CD，DE⊥BC于E，AE=BE，BF ⊥AE于F，请你判断线段BF与图中的哪条线段相等，先写出你的猜想，再说明理由。
2、如图，四边形A BCD是等腰梯形，BC∥AD，AB＝DC，BC＝2AD＝4 cm，BD⊥CD，AC⊥AB，BC边的中点为E．
(1)判断△ADE的形状(简述理由)，并求其周长．
(2)求AB的长．
(3)AC与DE是否互相垂直平分?说出你的理由．
3、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延长BD到E ，使DE＝DB，作EF⊥AB交BA的延长线于F，求AF．
一、知识点：
1．等 腰梯形的定义：
①梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行为梯形 。
梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为 腰。
②等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2．等腰梯形的性质：
①等腰梯形是轴对称图形，是两底中点的连线所在的直线。
②等腰梯形同一底上两底角相等。
③等腰梯形的对角线相等。
3．等腰梯形的判定：
①在同一底上的2个 底角相等的梯形是等腰梯形。
②补充：对角线相等的梯形是等腰梯形。
二、举例：
例1：填空：
1、等腰梯形的腰 长为12cm，上底长为15cm，上底与腰的夹角为120°，则下底长为 cm．
2、如果一个等腰梯形的二个内角的和为 1000 ，那么此梯形的四个内角的度数分别为 ．
3、等腰梯形上底的长与腰长相等，而一条对角线与一腰垂直，则梯形上底角的度数是______；
4、已知等腰梯形的 一个底角等于600，它的两底分别为13cm和37cm，它的周长为____ __ _；
5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝ CD，∠A＝120°， 对角线BD平分∠ABC，则
∠BDC的度数是 ；又若AD＝5，则BC＝ ．
6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AD，B D = BC，
则∠C= 0。
例2：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．试说明：AO＝DO．
例3：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD。试说明：梯形A BCD是等腰梯形。
例4：如图，在等腰梯形AB CD中，AD∥BC，AD＝3cm，BC＝7cm，E为CD的中点，四边形ABED的周长比△BCE的周长大2 cm，试求AB的长．
例5：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，M为BC中点，则：
(1)点M到两腰AB、CD的距离相等吗?请说出你的理由。
(2)若连结AM、DM，那么△AMD是等腰三角形吗 ?为什么?
(3)又若N为A D的中点，那么MN⊥AD 一定成立．你能说明为什么吗?
例6、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，E为CD中点，AE与BC的延长线交于F．
(1)判断S△ABF和S梯形ABCD有何关系，并说明理由．
(2)判断S△ABE和S梯形ABCD有何关系，并说明理由．
(3)上述结论对一般梯形是否成立?为什么?
例7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，AD+BC＝AB．则：
(1)AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC吗?为什么?
(2)AE⊥BE吗?为什么?
例8：在梯形ABCD中，∠B＝900，AB＝14cm ，AD＝18cm ，BC＝21cm，点 P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从两点同时出发，多少秒后，梯形PBQD 是等腰梯形？
三、作业
1、如图， 等腰梯形ABC中，AD// BC，AB=CD，DE⊥BC于E，AE=BE，BF ⊥AE于F，请你判断线段BF与图中的哪条线段相等，先写出你的猜想，再说明理由。
2、如图，四边形A BCD是等腰梯形，BC∥AD，AB＝DC，BC＝2AD＝4 cm，BD⊥CD，AC⊥AB，BC边的中点为E．
(1)判断△ADE的形状(简述理由)，并求其周长．
(2)求AB的长．
(3)AC与DE是否互相垂直平分?说出你的理由．
3、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延长BD到E ，使DE＝DB，作EF⊥AB交BA的延长线于F，求AF．
