不等式的性质（2）

不等式的性质（2）

课    题：不等式的性质（2）

教学目的：

1 理解同向不等式，异向不等式概念；

2 理解不等式的性质定理1―3及其证明；

3 理解证明不等式的逻辑推理方法.

4 通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯

教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件

教学难点：1 理解定理1、定理2的证明，即“a＞b b＜a和a＞b，b＞c a＞c”的证明 这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则

2 定理3的推论，即“a＞b，c＞d a＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据 但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学方法:

引导启发结合法――即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用

教学过程：

一、复习引入：

1.判断两个实数大小的充要条件是：

2.(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?

(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?

从而引出不等式的性质及其证明方法.

二、讲解新课：

1.同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式 例如：a>b，c<d，是异向不等式

2.不等式的性质：

定理1：如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b.(对称性)

       即：a>b b<a；b<a a>b

证明：∵a>b ∴a-b>0

由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0

即b-a<0  ∴b<a     (定理的后半部分略) .

点评：可能个别学生认为定理l没有必要证明，那么问题：若a>b，则 和 谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性 “实数a、b的大小”与“a-b与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性.

定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c.(传递性)

        即a>b，b>c a>c

证明：∵a>b，b>c  ∴a-b>0， b-c>0

    根据两个正数的和仍是正数，得

    (a-b)+( b-c)>0  即a -c>0

∴a>c

根据定理l，定理2还可以表示为：c<b，b<a c<a

点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n个的情形.

定理3：如果a>b，那么a+c>b+c.

      即a>b a+c>b+c

证明：∵a>b，  ∴a-b>0，

       ∴(a+c)-( b+c)>0  即a+c>b+c

点评：(1)定理3的逆命题也成立；

(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从―边移到另一边.

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d.(相加法则)   

        即a>b， c>d a+c>b+d.

证法一：

a+c>b+d

证法二：

a+c>b+d