不等式的性质(2)
课 题:不等式的性质(2)
教学目的:
1 理解同向不等式,异向不等式概念;
2 理解不等式的性质定理1―3及其证明;
3 理解证明不等式的逻辑推理方法.
4 通过对不等式性质定理的掌握,培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯
教学重点:掌握不等式性质定理1、2、3及推论,注意每个定理的条件
教学难点:1 理解定理1、定理2的证明,即“a>b b<a和a>b,b>c a>c”的证明 这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则
2 定理3的推论,即“a>b,c>d a+c>b+d”是同向不等式相加法则的依据 但两个同向不等式的两边分别相减时,就不能得出一般结论
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学方法:
引导启发结合法――即在教师引导下,由学生利用已学过的有关知识,顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用
教学过程:
一、复习引入:
1.判断两个实数大小的充要条件是:
2.(1)如果甲的年龄大于乙的年龄,那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?
(2)如果甲的个子比乙高,乙的个子比丙高,那么甲的个子比丙高吗?为什么?
从而引出不等式的性质及其证明方法.
二、讲解新课:
1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如:a>b,c>d,是同向不等式 异向不等式:两个不等号方向相反的不等式 例如:a>b,c<d,是异向不等式
2.不等式的性质:
定理1:如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b.(对称性)
即:a>b b<a;b<a a>b
证明:∵a>b ∴a-b>0
由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0
即b-a<0 ∴b<a (定理的后半部分略) .
点评:可能个别学生认为定理l没有必要证明,那么问题:若a>b,则 和 谁大?根据学生的错误来说明证明的必要性 “实数a、b的大小”与“a-b与零的关系”是证明不等式性质的基础,本定理也称不等式的对称性.
定理2:如果a>b,且b>c,那么a>c.(传递性)
即a>b,b>c a>c
证明:∵a>b,b>c ∴a-b>0, b-c>0
根据两个正数的和仍是正数,得
(a-b)+( b-c)>0 即a -c>0
∴a>c
根据定理l,定理2还可以表示为:c<b,b<a c<a
点评:这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n个的情形.
定理3:如果a>b,那么a+c>b+c.
即a>b a+c>b+c
证明:∵a>b, ∴a-b>0,
∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c
点评:(1)定理3的逆命题也成立;
(2)利用定理3可以得出:如果a+b>c,那么a>c-b,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,可以把它从―边移到另一边.
推论:如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.(相加法则)
即a>b, c>d a+c>b+d.
证法一:
a+c>b+d
证法二:
a+c>b+d