3.1.1方程的根与函数的零点 公开课教案
教学目标：
1、 能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2、 理解函数的零点与方程的联系。
3、 渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。
教学重点、难点：
1、 重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。
2、 难点：函数零点存在的条件。
教学过程：
1、 问题引入
探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
一元二次方程
方程的根
二次函数
图像与x轴的交点
x2-2x-3=0
x1=-1，x2=3
y=x2-2x-3
（-1，0），（3，0）
x2-2x+1=0
x1= x2=1
y=x2-2x+1
（1，0）
x2-2x+3=0
无实数根
y=x2-2x+3
无交点
（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像
（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像
（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像
归纳：
（1） 如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；
（2） 如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。
反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；
二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。
2、 函数的零点
（1） 概念
对于函数y=f(x)(x∈d),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈d)的零点。
（2） 意义
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
（3） 求函数的零点
① 代数法：求方程f(x)=0的实数根
② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
3、 函数零点的存在性
（1） 二次函数的零点
△=b2-4ac
ax2+bx+c=0的实数根
y=ax2+bx+c的零点数
△ 0
有两个不等的实数根x1、x2
两个零点x1、 x2
△=0
有两个相等的实数根x1= x2
一个零点x1（或x2）
