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22.2.2 配方法

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22.2.2 配方法

教学内容
    间接即通过变形运用开平方法降次解方程.

    教学目标
    理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
    通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.

    重难点关键
    1.重点:讲清“直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.
    2.难点与关键:不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.

    教学过程
    一、复习引入

    (学生活动)请同学们解下列方程
    (1)3x2-1=5   (2)4(x-1)2-9=0   (3)4x2+16x+16=9
    老师点评:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=± 或mx+n=± (p≥0).
    如:4x2+16x+16=(2x+4)2

    二、探索新知
    列出下面二个问题的方程并回答:
    (1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?
    (2)能否直接用上面三个方程的解法呢?

    问题1:印度古算中有这样一资骸耙蝗汉镒臃至蕉樱吒咝诵嗽谟蜗罚?八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮,告我总数共多少,两队猴子在一起”.
    大意是说:一群猴子分成两队,一队猴子数是猴子总数的 的平方,另一队猴子数是12,那么猴子总数是多少?你能解决这个问题吗?

    问题2:如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为5000m2,道路的宽为多少?

    老师点评:问题1:设总共有x只猴子,根据题意,得:x=( x)2+12
    整理得:x2-64x+768=0
    问题2:设道路的宽为x,则可列方程:(20-x)(32-2x)=500
    整理,得:x2-36x+70=0
    (1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有.
    (2)不能.
    既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:
    x2-64x+768=0  移项→ x=2-64x=-768
    两边加( )2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024
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