圆的内接四边形
1. 知识结构2. 重点、难点分析
重点:圆内接四边形的性质定理.它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理,同时也是转移角的常用方法.
难点:定理的灵活运用.使用性质定理时应注重观察图形、分析图形,不要弄错四边形的
外角和它的内对角的相互对应位置.
3. 教法建议
本节内容需要一个课时.
(1)教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境(参看教学设计示例),组织学生自主观察、分析和探究;
(2)在教学中以“发现——证实——应用”为主线,以“非凡——一般”的探究方法,引导学生发现与证实的思想方法.
一、教学目标:
(一)知识目标
(1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念;
(2)把握圆内接四边形的概念及其性质定理;
(3)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证实.
(二)能力目标
(1)通过圆的非凡内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究,培养学生观察、分析、概括的能力;
(2)通过定理的证实探讨过程,促进学生的发散思维;
(3)通过定理的应用,进一步提高学生的应用能力和思维能力.
(三)情感目标
(1)充分发挥学生的主体作用,激发学生的探究的热情;
(2)渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.
二、教学重点和难点:
重点:圆内接四边形的性质定理.
难点:定理的灵活运用.
三、教学过程设计
(一)基本概念
假如一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形,而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆.
(二)创设研究情境
问题:一般的圆内接四边形具有什么性质?
研究:圆的非凡内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形)
教师组织、引导学生研究.
1、边的性质:
(1)矩形:对边相等,对边平行.
(2)正方形:对边相等,对边平行,邻边相等.
(3)等腰梯形:两腰相等,有一组对边平行.
归纳:圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质.
2、角的关系
猜想:圆内接四边形的对角互补.
(三)证实猜想
教师引导学生证实.(参看思路)
思路1:在矩形中,外接圆心即为它的对角线的中点,∠A与∠B均为平角∠BOD的一半,在一般的圆内接四边形中,只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连,能得到什么结果呢?
∠A= ,∠C=
∴∠A ∠C=
思路2:在正方形中,外接圆心即为它的对角线的交点.把圆心与各顶点相连,与各边所成的角均方45°的角.在一般的圆内接四边形中,把圆心与各顶点相连,能得到什么结果呢?
这时有2(α β γ δ)=360°
所以 α β γ δ=180°
而 β γ=∠A,α δ=∠C,
∴∠A ∠C=180°,可得,圆内接四边形的对角互补.
(四)性质及应用
定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任意一个外角等于它的内对角.
(对A层学生应知,逆定理成立, 4点共圆)
例 已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,经过A的直线与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.过B的直线与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F.
求证:CE∥DF.
(分析与证实学生自主完成)
说明:①连结AB这是一种常见的引辅助线的方法.对于这道例题,连结AB以后,可以构造出两个圆内接四边形,然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决.
②教师在课堂教学中,善于调动学生对例题、重点习题的剖析,多进行一点一题多变,一题多解的练习,培养学生发散思维,勇于创新.
巩固练习:教材P98中1、2.
(五)小结
知识:圆内接多边形——圆内接四边形——圆内接四边形的性质.
思想方法:①“非凡——一般”研究问题的方法;②构造圆内接四边形;③一题多解,一题多变.
(六)作业:教材P101中15、16、17题;教材P102中B组5题.
探究活动
问题: 已知,点A在⊙O上,⊙A与⊙O相交于B、C两点,点D是⊙A上(不与B、C重合)一点,直线BD与⊙O相交于点E.试问:当点D在⊙A上运动时,能否判定△CED的外形?说明理由.
分析 要判定△CED的外形,当运动到BD经过⊙A的圆心A时,此时点E与点A重合,可以发现△CED是等腰三角形,从而猜想对一般情况是否也能成立,进一步观察可发现在运动过程中∠D及∠CED的大小保持不变,△CED的外形保持不变.
提示:分两种情况
(1)当点D在⊙O外时.证实△CDE∽△CAD’即可
(2)当点D在⊙O内时. 利用圆内接四边形外角等于内对角可证实△CDE∽△CAD’即可
说明:(1)本题应用同弧所对的圆周角相等,及圆内接四边形外角等于内对角,改变圆周角顶点位置,进行角的转换;
(2)本题为图形外形判定型的探索题,结论的探索同样运用图形运动思想,证实结论将一般位置转化成非凡位置,同时获得添辅助线的方法,这也是添辅助线的常用的思想方法;
(3)一般地,有时对几种不同位置图形探索得到相同结论,但不同位置的证实方法不同时,也要进行分类讨论.本题中,假如将直线BD运动到使点E在BD的反向延长线上时,
△CDE仍然是等腰三角形.
