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第四章 曲线运动
万有引力及航天
1.本章主要从运动学和动力学的角度研究物体曲线运动的条件及方法．内容分两大部分，一是利用运动的合成与分解研究抛体运动，二是利用牛顿定律研究匀速圆周运动及其在天体中的应用。
2.本章是牛顿力学的重要组成部分，包含重要的物理分析思想――合成与分解，是高考的重点内容，也是热点内容。
3.曲线运动经常结合带电体在电场、磁场中的偏转考查，着重考查综合分析能力．天体运动常以选择题或综合大题的形式出现。
第一课时 曲线运动、运动的合成与分解
【教学要求】
1．知道曲线运动的特点及物体做曲线运动的条件；
2．理解运动的合成与分解及其遵循的法则。
【知识再现】
一、曲线运动
1．曲线运动的速度方向
曲线运动中速度的方向是时刻__________的，质点在某一点（或某一时刻）的速度方向是_______________方向。曲线运动是变速运动（但变速运动不一定是曲线运动），具有加速度。
2．物体做曲线运动的条件
当运动物体____________的方向跟它的速度方向_______________时，物体就做曲线运动。做曲线运动的物体，它的加速度的方向跟它所受合力的方向相同，跟它的速度方向却不在同一直线上。
二、运动的合成与分解
1．分运动与合运动是一种___________关系，运动的合成与分解是研究曲线运动的一种基本方法．
2．合运动与分运动的关系
等时性：各分运动所经历的时间与合运动经历的时间___________。
独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动影响。
等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果。
3．运动的合成分解运算法则
运动的合成分解即物体运动的________、________、________的合成分解，因它们都是矢量，都遵从________________。
运动的分解要按照实际效果来分解．当物体同时参与两个不同方向的运动时，物体实际运动一定是合运动，然后再根据运动的效果来分析它的两个分运动。
知识点一曲线运动的特点
物体所受合外力与速度方向不在一条直线上，且合外力指向曲线轨迹的内侧．
【应用1】一个物体以初速vo从A点开始在光滑水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹如图中实线所示，图中B为轨迹上的一点，虚线是过A、B两点并与轨迹相切的直线，虚线和实线将水平面划分为5个区域，则关于施力物体的位置，下面说法正确的( )
A．如果这个力是引力，则施力物体一定在⑤区域
B．如果这个力是引力，则施力物体一定在②区域
C．如果这个力是斥力，则施力物体可能在②区域
D．如果这个力是斥力，则施力物体可能在③区域
导示: 物体做曲线运动时，受合外力方向总是指向曲线的凹侧．由此知物体若是受引力作用，施力物体定在④区域，若受斥力作用，则施力物体是在②区域．故选C。
知识点二运动的合成与分解
两直线运动的合运动的性质和轨迹由各分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定．
①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动．
②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动．
③两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在一条直线上，是直线运动；若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上，是曲线运动．
【应用2】关于运动的合成与分解，下列说法正确的是（ ）
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个匀加速直线运动的合运动可能是曲线运动
D．两个初速度为零的匀加速直线运动互成角度，合运动一定是匀加速直线运动
导示:两个直线运动的合运动，比如一个是匀速直线运动。另一个是匀加速直线运动两者相互垂直，则合运动就是曲线运动。A显然错误。若两个互成角度的匀速直线运动合成，利用速度合成公式求出v(合速度)，大小方向均不变，故B对。两个匀加速直线运动的合运动，因题中没有讲明两分运动是否在一条直线上，可能性如下：如同方向则肯定为直线运动，成某一角度如900，假设分运动l的初速度v1．加速度a1，分运动2的初速度v2，加速度a2，作矢量图如图所示。求出合加速度a和合初速度v，可以看出：
当 时，a与v仍在同一条直线上，合运动是直线运动；当 时，a与v不在一条直线上，物体将做曲线运动．故c对．若初速度为零，则加速度a恒定，物体做初速度为零的匀加速直线运动。故D对。
故答案应该选B、C、D。
类型一曲线运动中力、加速度和速度的关系
【例1】如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力方向反向而大小不变(即由F变为-F)。在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是 ( )
A、物体不可能沿曲线Ba运动
B、物体不可能沿直线Bb运动
C、物体不可能沿曲线Bc运动
D、物体不可能沿原曲线B返回A
导示:物体在A点时的速度VA，沿A点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线AB运动，此力F必有垂直于VA的分量，即F力只可能为右图中所示的各种方向之一；当物体到达B点时，瞬时速度VB沿B点的切线方向，这时受力F′=-F，即F′只可能为图中B点所示的方向之一；可知物体以后只可能沿曲线Bc运动，所以本题的正确选项是A、B、D。
做曲线运动的物体其速度方向就是曲线在那一点的切线方向．由于曲线运动中物体速度的方向时刻在变．故曲线运动一定是变速运动，必有加速度，一定受到与速度不共线且指向曲线凹侧的合外力。但合外力不一定变化．加速度不一定变化。
类型二小船渡河问题
【例2】一条宽度为l的河流，水流速度为v水，已知船在静水中的速度为v船，那么：
（1）怎样渡河时问最短?
（2）若v船>v水，怎样渡河位移最小?
（3）若v船导示: (1)如甲图所示，设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1=v船sinθ,渡河所需的时间为t=l/v1=l/v船sinθ可以看出：l、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=900时，sinθ=1(最大)。所以，船头与河岸垂直t=l/v船。
(2)如乙图所示，渡河的最小位移即河的宽度，为了使渡河位移等于l，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。
根据三角函数关系有：v船cosθ-v水=0
cosθ=v水/v船 θ=arccosv水/v船
因为0≤cosθ≤1，所以只有在v船>v水时，船才有可能垂直河岸横渡。
(3)如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢?如丙图所示，设船头v船与河岸成θ角，合速度v合与河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短。那么，在什么条件下α角最大呢?以v合的矢尖为圆心、v船大小为半径画圆，当v合与圆相切时，α角最大，根据cosθ=v船/v水，船头与河岸的夹角应为θ=arccos v船/v水，船漂下的最短距离为xmin=(v水-v船cosθ) ，
此时渡河的最短位移：s=l/cosθ=lv水/v船。
答案：(1) l/v船
(2)船头指向河的上游并与河岸成arcosv水/v船角
(3)船头与河岸的夹角为θ=arcosv船 / v水
类型三与绳（杆）牵连物体的速度分解
【例3】如图所示，跨过同一高度处的光滑定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，细线与水平杆的岬角θ=53°。定滑轮离水平杆的高度为h=0.2m，当由静止释放后，A所能获得的最大速度为___________m/s
(cos53°=0.6，sin53°=0.8)
导示:物体A在绳的拉力作用下向右做加速运动，B向下加速运动，当A运动到滑轮的正下方时，速度达最大值，此时A沿绳方向速度为零，故B的速度为零。对A、B组成的系统，由机械能守恒定律有
(1)常用的运动分解的方法有两种：一种是先虚拟一个合运动位移，看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的方法。另一种方法是先确定合速度的方向，即物体实际运动方向，然后分析这个合速度产生的实际效果。以确定
两个分速度的方向．
(2)绳连物问题，一般是向着沿绳和垂直绳的两个方向分解，沿绳的分速度就是绳子拉长或缩短的速度，另一个分速度就是使绳子摆动的速度。（“光线”连“光斑”的问题与之类似)。
1．(潍坊市08届高三教学质量检测)狗拉雪橇，沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行驶。下图为四个关于雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的示意图(o为圆心)，其中正确的是（ ）
2．(临沂五中08届高三上学期期中考试)如图所示，当小车A以恒定的速度v向左运动时，则对于B物体来说，下列说法正确的是（ ）
A．匀加速上升 B．匀速上升
C．B物体受到的拉力大于B物体受到的重力
D．B物体受到的拉力等于B物体受到的重力
3．（湖北省百所重点中学2008 届联考）小河宽为d，河水中各点水流速的大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v水=kx，k=4v0/d，x是各点到近岸的距离．若小船在静水中的速度为v0，小船的船头垂直河岸渡河，则下列说法中正确的是（ ）
A．小船渡河的轨迹为曲线
B．小船渡河的时间大于d/v0
C．小船到达离河岸d/2处，船的速度为3v0
D．小船到达离河对岸3d/4处，船的渡河速度为
4．雨滴在空中以4m/s的速度竖直下落，人打伞以3m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面小而少淋雨，伞柄应指向什么方向?
答案：1、C 2、C 3、AD 4、伞柄应指向西与水平方向成530
第四章 曲线运动
万有引力及航天
1.本章主要从运动学和动力学的角度研究物体曲线运动的条件及方法．内容分两大部分，一是利用运动的合成与分解研究抛体运动，二是利用牛顿定律研究匀速圆周运动及其在天体中的应用。
2.本章是牛顿力学的重要组成部分，包含重要的物理分析思想――合成与分解，是高考的重点内容，也是热点内容。
3.曲线运动经常结合带电体在电场、磁场中的偏转考查，着重考查综合分析能力．天体运动常以选择题或综合大题的形式出现。
第一课时 曲线运动、运动的合成与分解
【教学要求】
1．知道曲线运动的特点及物体做曲线运动的条件；
2．理解运动的合成与分解及其遵循的法则。
【知识再现】
一、曲线运动
1．曲线运动的速度方向
曲线运动中速度的方向是时刻__________的，质点在某一点（或某一时刻）的速度方向是_______________方向。曲线运动是变速运动（但变速运动不一定是曲线运动），具有加速度。
2．物体做曲线运动的条件
当运动物体____________的方向跟它的速度方向_______________时，物体就做曲线运动。做曲线运动的物体，它的加速度的方向跟它所受合力的方向相同，跟它的速度方向却不在同一直线上。
二、运动的合成与分解
1．分运动与合运动是一种___________关系，运动的合成与分解是研究曲线运动的一种基本方法．
2．合运动与分运动的关系
等时性：各分运动所经历的时间与合运动经历的时间___________。
独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动影响。
等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果。
3．运动的合成分解运算法则
运动的合成分解即物体运动的________、________、________的合成分解，因它们都是矢量，都遵从________________。
运动的分解要按照实际效果来分解．当物体同时参与两个不同方向的运动时，物体实际运动一定是合运动，然后再根据运动的效果来分析它的两个分运动。
知识点一曲线运动的特点
物体所受合外力与速度方向不在一条直线上，且合外力指向曲线轨迹的内侧．
【应用1】一个物体以初速vo从A点开始在光滑水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹如图中实线所示，图中B为轨迹上的一点，虚线是过A、B两点并与轨迹相切的直线，虚线和实线将水平面划分为5个区域，则关于施力物体的位置，下面说法正确的( )
A．如果这个力是引力，则施力物体一定在⑤区域
B．如果这个力是引力，则施力物体一定在②区域
C．如果这个力是斥力，则施力物体可能在②区域
D．如果这个力是斥力，则施力物体可能在③区域
导示: 物体做曲线运动时，受合外力方向总是指向曲线的凹侧．由此知物体若是受引力作用，施力物体定在④区域，若受斥力作用，则施力物体是在②区域．故选C。
知识点二运动的合成与分解
两直线运动的合运动的性质和轨迹由各分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定．
①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动．
②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动．
③两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在一条直线上，是直线运动；若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上，是曲线运动．
【应用2】关于运动的合成与分解，下列说法正确的是（ ）
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个匀加速直线运动的合运动可能是曲线运动
D．两个初速度为零的匀加速直线运动互成角度，合运动一定是匀加速直线运动
导示:两个直线运动的合运动，比如一个是匀速直线运动。另一个是匀加速直线运动两者相互垂直，则合运动就是曲线运动。A显然错误。若两个互成角度的匀速直线运动合成，利用速度合成公式求出v(合速度)，大小方向均不变，故B对。两个匀加速直线运动的合运动，因题中没有讲明两分运动是否在一条直线上，可能性如下：如同方向则肯定为直线运动，成某一角度如900，假设分运动l的初速度v1．加速度a1，分运动2的初速度v2，加速度a2，作矢量图如图所示。求出合加速度a和合初速度v，可以看出：
当 时，a与v仍在同一条直线上，合运动是直线运动；当 时，a与v不在一条直线上，物体将做曲线运动．故c对．若初速度为零，则加速度a恒定，物体做初速度为零的匀加速直线运动。故D对。
故答案应该选B、C、D。
类型一曲线运动中力、加速度和速度的关系
【例1】如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力方向反向而大小不变(即由F变为-F)。在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是 ( )
A、物体不可能沿曲线Ba运动
B、物体不可能沿直线Bb运动
C、物体不可能沿曲线Bc运动
D、物体不可能沿原曲线B返回A
导示:物体在A点时的速度VA，沿A点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线AB运动，此力F必有垂直于VA的分量，即F力只可能为右图中所示的各种方向之一；当物体到达B点时，瞬时速度VB沿B点的切线方向，这时受力F′=-F，即F′只可能为图中B点所示的方向之一；可知物体以后只可能沿曲线Bc运动，所以本题的正确选项是A、B、D。
做曲线运动的物体其速度方向就是曲线在那一点的切线方向．由于曲线运动中物体速度的方向时刻在变．故曲线运动一定是变速运动，必有加速度，一定受到与速度不共线且指向曲线凹侧的合外力。但合外力不一定变化．加速度不一定变化。
类型二小船渡河问题
【例2】一条宽度为l的河流，水流速度为v水，已知船在静水中的速度为v船，那么：
（1）怎样渡河时问最短?
（2）若v船>v水，怎样渡河位移最小?
（3）若v船
(2)如乙图所示，渡河的最小位移即河的宽度，为了使渡河位移等于l，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。
根据三角函数关系有：v船cosθ-v水=0
cosθ=v水/v船 θ=arccosv水/v船
因为0≤cosθ≤1，所以只有在v船>v水时，船才有可能垂直河岸横渡。
(3)如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢?如丙图所示，设船头v船与河岸成θ角，合速度v合与河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短。那么，在什么条件下α角最大呢?以v合的矢尖为圆心、v船大小为半径画圆，当v合与圆相切时，α角最大，根据cosθ=v船/v水，船头与河岸的夹角应为θ=arccos v船/v水，船漂下的最短距离为xmin=(v水-v船cosθ) ，
此时渡河的最短位移：s=l/cosθ=lv水/v船。
答案：(1) l/v船
(2)船头指向河的上游并与河岸成arcosv水/v船角
(3)船头与河岸的夹角为θ=arcosv船 / v水
类型三与绳（杆）牵连物体的速度分解
【例3】如图所示，跨过同一高度处的光滑定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，细线与水平杆的岬角θ=53°。定滑轮离水平杆的高度为h=0.2m，当由静止释放后，A所能获得的最大速度为___________m/s
(cos53°=0.6，sin53°=0.8)
导示:物体A在绳的拉力作用下向右做加速运动，B向下加速运动，当A运动到滑轮的正下方时，速度达最大值，此时A沿绳方向速度为零，故B的速度为零。对A、B组成的系统，由机械能守恒定律有
(1)常用的运动分解的方法有两种：一种是先虚拟一个合运动位移，看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的方法。另一种方法是先确定合速度的方向，即物体实际运动方向，然后分析这个合速度产生的实际效果。以确定
两个分速度的方向．
(2)绳连物问题，一般是向着沿绳和垂直绳的两个方向分解，沿绳的分速度就是绳子拉长或缩短的速度，另一个分速度就是使绳子摆动的速度。（“光线”连“光斑”的问题与之类似)。
1．(潍坊市08届高三教学质量检测)狗拉雪橇，沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行驶。下图为四个关于雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的示意图(o为圆心)，其中正确的是（ ）
2．(临沂五中08届高三上学期期中考试)如图所示，当小车A以恒定的速度v向左运动时，则对于B物体来说，下列说法正确的是（ ）
A．匀加速上升 B．匀速上升
C．B物体受到的拉力大于B物体受到的重力
D．B物体受到的拉力等于B物体受到的重力
3．（湖北省百所重点中学2008 届联考）小河宽为d，河水中各点水流速的大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v水=kx，k=4v0/d，x是各点到近岸的距离．若小船在静水中的速度为v0，小船的船头垂直河岸渡河，则下列说法中正确的是（ ）
A．小船渡河的轨迹为曲线
B．小船渡河的时间大于d/v0
C．小船到达离河岸d/2处，船的速度为3v0
D．小船到达离河对岸3d/4处，船的渡河速度为
4．雨滴在空中以4m/s的速度竖直下落，人打伞以3m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面小而少淋雨，伞柄应指向什么方向?
答案：1、C 2、C 3、AD 4、伞柄应指向西与水平方向成530
